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$\mathfrak S_4$ et ses métamorphoses

Envoyé par Rescassol 
$\mathfrak S_4$ et ses métamorphoses
il y a trois mois
Bonjour,

Qu'est ce qui se passe, AD, ton bouquin sur S4 et ses symétries est encore retardé jusqu'au 2 avril ?

Cordialement,

Rescassol



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
AD
Re: S4
il y a trois mois
avatar
Il vient de partir chez l'imprimeur lundi dernier.
Alain
Re: S4
il y a trois mois
Bonjour Alain,

Avez-vous des informations concernant les autres ouvrages de C&M:
- rééditions du Hindry, du Saint-Raymond ainsi que du Berhuy sur les modules?
- les parutions annoncées du 2nd tome de Testard & Le Floch, du Mansuy et du Boubaker?

En vous remerciant par avance,
cordialement,

Geodingus
Re: S4
il y a trois mois
Bonjour,

Une âme charitable me fait parvenir la Table des matières et la préface de ce livre tant attendu.

Cordialement,
Yann


Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - TDM-Préface.pdf (393.8 KB)
Re: S4
il y a trois mois
C'est sympa de le dire, ça le serait encore plus de nous en faire part !

Récrimination devenue hors de propos à l'heure qu'il est.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Math Coss.
Re: S4
il y a trois mois
Si on l'achète, peut-on l'avoir avec dédicace des auteurs ?
Re: S4
il y a trois mois
Bonjour Chaurien,

Les auteurs vont, semble-t-il, organiser une rencontre signature, au Dupont avenue de France le 19 mars. Tout cela demande à être confirmé évidemment. Vous aurez alors, Cher Ami, l'occasion de faire connaissance avec les auteurs, qui d'après ce que j'entends dire sont plutôt aimables et généreux pour ce qui se rapporte aux dédicaces... Pour le reste, je ne puis m'engager.
haha

Yann



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: S4
il y a trois mois
Bonjour,

Encore une fois, ça va être dans la capitale !!!...
Et nous, en province, on n'existe pas ?

Cordialement,

Rescassol
Re: S4
il y a trois mois
Bonjour Rescassol,

Il faut demander à C&M de vous payer un billet de train en première. Ils sont tellement riches !
Re: S4
il y a trois mois
Bonjour,

Un billet de seconde me suffirait ............

Cordialement,

Rescassol
Re: S4
il y a trois mois
avatar
Bonjour,

Je suis intéressé par une réponse pour les questions de Dr. Geodingus.
Mais que fait C&M ?
Re: S4
il y a trois mois
Le reste de la Gaule, c'est juste bon pour les sangliers, est-il dit quelque part dans un album d'Astérix, je ne me souviens plus lequel winking smiley. Fallait faire comme moi, le Chaurien monté à Paris.
Re: S4
il y a trois mois
Juste une remarque. Dans l'Avant-propos, dans les Prérequis, lorsque l'on parle des cinq groupes d'ordre 8, il est écrit :
$C_8, \mathbb C_4 \times C_2, C_2 \times C_2 \times C_2$, etc. Pourquoi cette police mathbb ?
Et quel est ce livre [9] qu'il faut acquérir ?
Bonne soirée,
Fr. Ch.
Re: $\mathfrak S_4$ et ses métamorphoses
il y a trois mois
Bonjour Chaurien,

Je suppose que la référence [9] doit correspondre au livre d'AD sur les treillis!?

Cordialement,

Geodingus
Re: S4
il y a trois mois
avatar
Citation
Chaurien
[...]Le reste de la Gaule, c'est juste bon pour les sangliers, est-il dit quelque part dans un album d'Astérix, je ne me souviens plus lequel[...]

Les lauriers de César, c'est dans la bouche d'Homéopatix, le frère de Bonemine.
Re: S4
il y a trois mois
Bien vu, cher Chaurien. C'est sans doute la faute au moins barbu des deux auteurs !

Je vais le dire à l'éditeur, qui sans doute leur réduira les D.A. de moitié !
Rien n'indique qu'il ne va pas arrêter la production pour corriger l'erreur.

Quant à la référence [9], il s'agit bien du beau et "sublimissime" livre d'AD sur les Groupes finis et les treillis de leurs sous-groupes, qui vaut son pesant d'or.
Voir d'ailleurs la bibliographie et l'index ci-joints du S4.

Cordialement,
Yann

(Merci Math Coss)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Yannguyen.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - Bibliographie-Index-S4.pdf (313.7 KB)
Re: S4
il y a trois mois
Cher topologieproduit
des réponses à votre question se trouvent sur cette page :
[www.les-mathematiques.net]

Cordialement, Yann
Re: S4
il y a trois mois
Bonjour,

Voici une question qui vous paraîtra évidente si vous avez le livre sous la main.

Énumérer les cinq classes d'isomorphie des groupes d'ordre 8 et déterminer la classe des $2$-Sylow du groupe $\mathfrak S_4$ et du groupe ${\rm SL}(2,\mathbb F_3)$.

Cordialement,

Yann
Re: S4
il y a trois mois
Bonjour

Voici pour le plaisir des yeux un extrait de la page 28 de ce petit livre. On y voit (deux fois) le treillis des sous-groupes du groupe alterné $\mathfrak A_4$.
Les pointillés horizontaux signalent la conjugaison dans $\mathfrak A_4$ des sous-groupes en question !

Cordialement, Yann


Re: S4
il y a trois mois
avatar
Pour les dédicaces hors Paris, les auteurs sont souvent généreux et une demande formulée poliment est en générale acceptée par les auteurs. Je n'ai pas encore essuyé de refus de leur part. Aller et retour par voie postale et le tour est joué. Le coût reste modique.
Re: S4
il y a trois mois
Mais bien sûr, cher rémi ! surtout que Alain est immensément généreux !
Re: S4
il y a trois mois
Voici un exercice qui pourrait amuser les intéressés.
Évidemment, les auteurs du $\mathfrak S_4$ s'abstiendront d'y répondre.

Montrer que le groupe $\mathfrak A_4\times C_2$ ne contient pas de sous-groupe $\mathfrak S_3$ !


Cdt,

Yann
Re: S4
il y a trois mois
Bonjour,

L'exercice précédent est un joli exercice, qui ne semble pas inspirer bcp de gens !
Est-ce dû au fait que les groupes ont disparu (ou presque) des programmes des classes prépas ?
Les groupes (finis ou pas) sont pourtant au cœur de l'idée de symétrie, cette dernière étant au centre de toutes les lois de la physique... mais là n'est pas mon propos.

Pour faire avancer le schmilblick, je propose de donner une petite indication, qui équivaut à une solution.
Passer modulo le centre de $\mathfrak A_4\times C_2$...


Cordialement, Yann
Re: S4
il y a trois mois
avatar
Bonjour,
Pardonnez mon manque de culture, mais qui est $C_2$ ?
Re: S4
il y a trois mois
avatar
Bonjour Calli,
C'est le groupe cyclique d'ordre 2.
Re: S4
il y a trois mois
avatar
Ah, c'est juste $\mathbb Z/2\mathbb Z$ ? Merci.
Re: $\mathfrak S_4$ et ses métamorphoses
il y a trois mois
J'en profite pour poser la question naïve: pourquoi cette notation? Est-ce parce que $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est plutôt entendu comme muni de sa structure d'anneau, et $C_n$ comme muni seulement de la structure de groupe?

Ou bien parce que, implicitement, écrire $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ suppose connu la notion de groupe quotient, notion inutilement compliquée pour simplement définir $C_n$?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Chat-maths.
Re: $\mathfrak S_4$ et ses métamorphoses
il y a trois mois
Bonjour Calli et Chat-maths,

$C_2$ est multiplicatif alors que $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ est additif, même s'ils sont isomorphes.

Cordialement,

Geodingus
Re: S4
il y a trois mois
Bonjour,

Tous les groupes d'ordre $2$ sont isomorphes. Aucune raison de choisir $\mathbb Z/2\mathbb Z$ ou $\{\pm 1\}$, ou $\{Id_2, (1~2)\}$, ou $\{Id, s_{\Delta}\}$, etc.

Le groupe $C_2$ est le représentant universel de tous ces groupes. Il suffit de se donner sa table.

Cordialement, Yann
AD
Re: S4
il y a trois mois
avatar
Bonjour
Dr Geodingus a été plus rapide que moi pour répondre.

Le groupe $C_n$ est le groupe cyclique à $n$ éléments en notation multiplicative. Il est engendré par un élément $a$ d'ordre $n$ et on a en extension $C_n=\{1,a,a^2,\ldots,a^{n-1}\}$. Il est isomorphe à $\mathbb Z/n\mathbb Z$ par l'isomorphisme : $$
\begin{array}{ccl}
\mathbb Z/n\mathbb Z&\longrightarrow&C_n\\
\bar k&\longmapsto&a^k.
\end{array}
$$ Remarquer que $a^{k+\lambda n}=a^k$ puisque $a^n=1$.
On pourrait arguer que le groupe $\mathbb U_n$ des racines $n$-èmes de l'unité lui est aussi isomorphe, mais ses éléments $e^{k\tfrac{2i\pi}n}$ font intervenir l'ensemble $\mathbb C$ des complexes qui est hors du domaine de la simple structure de groupe. C'est pourquoi cette notation épurée a été universellement adoptée.
Alain
Re: S4
il y a trois mois
Pour aller de l'avant, voici un nouvel exercice, du genre négatif.

Montrer que le groupe de Galois du polynôme $X^5-X-1\in \mathbb Q[X]$ n'est pas $\mathfrak S_4$.


Cdt, Yann
Re: $\mathfrak S_4$ et ses métamorphoses
il y a trois mois
Merci à tous pour vos clarifications sur ce choix de notation!
b.b
Re: S4
il y a trois mois
avatar
$\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}$Salut Yann

On pose $f=X^5-X-1\in\Q[X]$. Ce polynôme est irréductible (donc séparable vu qu'on est sur $\Q$). On peut le voir en réduisant modulo $5$ (plus généralement, pour $p$ premier, $X^p-X-1$ est irréductible sur $\mathbf{F}_p$, donc sur $\Q$). Soit $K_f$ un corps de décomposition de $f$ sur $\Q$. On note $G_f=\Gal(K_f/\Q)$ le groupe de Galois de $f$. Il s'identifie à un sous-groupe de $\mathfrak{S}_5$. Il suffit de montrer que $5$ divise $|\Gal(K_f/\Q)|=[K_f:\Q]$ pour en déduire que le groupe de Galois de $f$ contient un élément d'ordre $5$, ce qui l'empêche d'être isomorphe à $\mathfrak{S}_4$. Soit $\alpha\in K_f$ une racine de $f$. Le corps $\Q(\alpha)\subset K_f$ est un corps de rupture de $f$ sur $\Q$. Comme $f$ est irréductible, les extensions $\Q(\alpha)/\Q$ et $\Q[X]/(f)/\Q$ sont isomorphes, donc de même degré. On en déduit que $[\Q(\alpha):\Q]=5$ divise $|\Gal(K_f/\Q)|$ par multiplicativité des degrés.
Re: S4
il y a trois mois
Bonjour b.b.
Très bien !

Ne serait-il pas plus économique de dire que le groupe de Galois du polynôme irréductible $X^5-X-1$ opère fidèlement et transitivement sur les cinq racines ? Il s'ensuit qu'il se réalise comme sous-groupe de $\mathfrak S_5$, dont l'ordre est divisible par $5$. (Merci en passant à Baptiste R.)

Reste à donner la démo de l'irréductibilité.
grinning smiley

Cordialement, Yann
b.b
Re: S4
il y a trois mois
avatar
Oui, je ne me sers même pas de l'aspect sous-groupe de $\mathfrak{S}_5$.

Pour l'irréductibilité, réduisons modulo $3$ au lieu de $5$ finalement. On veut voir que $f$ est irréductible sur $\mathbf{F}_3$. Il suffit, pour cela, de voir qu'il n'a pas de racine dans $\mathbf{F}_3$ et $\mathbf{F}_9$. Pour $\mathbf{F}_3$, c'est OK. Pour $\mathbf{F}_9$, on peut écarter $0$ et montrer que $\alpha^5-\alpha-1=0$ est impossible pour $\alpha\in\mathbf{F}_9^*$. Soit $\alpha\in\mathbf{F}_9^*$. On a $\alpha^8=1$, donc $\alpha^4=\pm 1$, puis $\alpha^5=\pm \alpha$ ce qui mène à des contradictions en reportant ceci dans l'équation $\alpha^5-\alpha-1=0$.

PS : vu que $\mathbf{F}_3\subset\mathbf{F}_9$, la vérification pour $\mathbf{F}_9$ suffit en fait.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par b.b.
Re: S4
il y a trois mois
Très bien b.b ! Rien à redire.


Voici un autre exercice. Combien y a-t-il de sous-groupes $\mathfrak S_4$ dans $\mathfrak S_5$ ? Justifier.


Cordialement,
Yann



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Yannguyen.
Re: S4
il y a trois mois
Un tel sous-groupe ne peut être transitif puisque $5$ ne divise pas $24$ ; il y a donc (au moins) deux orbites et, en regroupant l'une et les autres, on voit qu'il existe $a$ et $b$ non nuls tels que $a+b=5$ et $\mathfrak{S}_4$ s'injecte dans $\mathfrak{S}_a\times\mathfrak{S}_b$. Si $a=2=b-1$, l'ordre de ce groupe est $2!3!<24$. Par suite, $a=1$ et $b=4$ ou vice versa.

Bref, un sous-groupe isomorphe à $\mathfrak{S}_4$ dans $\mathfrak{S}_5$ fixe un point : il y en a $5$.

NB : le premier paragraphe semble un peu verbeux mais si on remplace $4$ et $5$ par $5$ et $6$, il apparaît un phénomène nouveau, à savoir des sous-groupes de $\mathfrak{S}_6$ isomorphes à $\mathfrak{S}_5$ et agissant transitivement sur les six points. C'est un ingrédient classique pour montrer l'existence d'automorphismes extérieurs dans $\mathfrak{S}_6$.
Re: S4
il y a deux mois
@Math Coss : Joli !
Et si on remplace $4$ et $5$ par $7$ et $8$, as-tu une solution ad hoc ? winking smiley

Pour ceux intéressés par les automorphismes extérieurs de $\mathfrak{S}_6$, il y a [ce fil] de Claude.
Re: S4
il y a deux mois
avatar
Gai requin : j'ajoute un petit truc, faut pas lire mes conneries, je suis toujours perchés grinning smileygrinning smileygrinning smiley
Re: S4
il y a deux mois
Pour information(s). Tout d'abord, le polynôme $X^n - X - 1$ pour $n \ge 2$ est irréductible sur $\Q$. C'est connu depuis Selmer (1950-1960) mais je ne donne pas de référence précise car ce n'est pas le lieu ici. Ensuite, son groupe de Galois sur $\Q$ est le groupe symétrique $S_n$ tout entier. C'est plus difficile et utilise la théorie de la ramification/inertie en théorie des nombres. Là aussi, je dispose de références précises ...etc...
Re: $\mathfrak S_4$ et ses métamorphoses
il y a deux mois
@Claude : je suis preneur pour tes références.
Re: $\mathfrak S_4$ et ses métamorphoses
il y a deux mois
Poirot
Irréductibilité de $X^n - X - 1$ sur $\Q$. Selmer, On the irreducibility of certain trinomials, Math. Scand. vol 4, 1956, p. 287-302.

Groupe de Galois $\mathfrak S_n$, Serre, Topics in Galois Theory, [cm2vivi2002.free.fr], page 42. Cela va un peu vite (sic) : utilisation du fait que si $L/\Q$ est une extension galoisienne de groupe $G$, alors $G$ est engendré par ses sous-groupes d'inertie. Et il faut conclure en utilisant un lemme dû à Jordan, je pense. Qui dit qu'un sous-groupe transitif de $\mathfrak S_n$ qui est engendré par DES transpositions, est égal à $\mathfrak S_n$. Corollaire du lemme 4.4.4 de la page 40. Suggestion : se passer du lemme 4.4.4 et refaire le truc soi-même (sinon on se laisse embarquer dans des histoires de groupes primitifs ...etc...). Globalement, c'est de la belle ouvrage (c'est comme cela que l'on dit ?). Je ne sais pas à qui c'est dû. Serre lui-même ?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: $\mathfrak S_4$ et ses métamorphoses
il y a deux mois
Merci Claude ! Et pourquoi les sous-groupes d'inertie engendrent le groupe de Galois d'une extension ramifiée de corps de nombres ?
Re: $\mathfrak S_4$ et ses métamorphoses
il y a deux mois
$\def\S{\mathfrak S}$Poirot,

1) Peut-être plus de détails (par rapport à la page 42 de Topics in Galois Theory) chez Keith Conrad in [kconrad.math.uconn.edu].

Step 1 chez Conrad est consacrée à l'étape groupiste : un sous-groupe transitif $H$ de $\S_n$ engendré par des transpositions est égal à $\S_n$ tout entier. Il en donne 2 preuves. De mon côté, je préfère considérer les parties $E \subset \{1..n\}$ telles que $\S_E \subseteq H$ où je désigne par $\S_E$ le sous-groupe de $\S_n$ constitué des permutations de $E$ prolongées par l'identité sur le complémentaire de $E$. Et considérer $E$ maximale pour l'inclusion. Mais peut-être que cela ressemble à la première preuve de K. Conrad.

2) K. Conrad ne reprend pas en charge l'irréductibilité de $X^n - X - 1$ sur $\Q$ mais fournit une petite bibliographie. De mon côté, j'ai retrouvé une vieille note (1996) d'une page à ce sujet (d'après une collègue à l'époque qui avait revisité la preuve de Selmer si je me souviens bien).

3) A propos du fait que le groupe de Galois $G$ d'une extension galoisienne $L/\Q$ est engendré par les sous-groupes d'inertie (K. Conrad utilise également cela dans sa step 2).

Justification grosso-modo : je note $H \subset G$ le sous-groupe engendré par les sous-groupes d'inertie. Il est distingué, OK ? De sorte que l'extension $L^H/\Q$ est galoisienne de groupe $G/H$. Mais $L^H/\Q$ n'a plus de ramification ``parce que justement on vient de la neutraliser''. C'est cela qu'il faudrait détailler. D'après le théorème d'Hermite-Minkowski, on a $L^H = \Q$ donc $H = G$.
Re: $\mathfrak S_4$ et ses métamorphoses
il y a deux mois
Merci Claude !
b.b
Re: $\mathfrak S_4$ et ses métamorphoses
il y a deux mois
avatar
Merci pour toutes ces références, Claude.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par b.b.
Re: S4
il y a deux mois
Merci à tous pour ces contributions de valeur.

Je propose un nouvel exercice en rapport avec $\mathfrak S_4$.

Quel est le nombre de sous-groupes $\mathfrak S_4$ dans les groupes alternés $\mathfrak A_5$ et $\mathfrak A_6$ ?


Cdt, Yann
Re: S4
il y a deux mois
Voici un exercice d'un autre genre, qui pourrait peut-être intéresser davantage le public du forum.

Montrer que le groupe de Galois du polynôme $x^6-x^2-1$ est isomorphe à $\mathfrak S_4$.

Cdt,

Yann
Re: S4
il y a deux mois
$\def\S{\mathfrak S}$Bonjour Yannguyen
Montrer que le groupe de Galois de $X^6 - X^2 - 1$ sur $\Q$ (tu as oublié cette précision sur $\Q$) est isomorphe à $\S_4$, est ce que c'est une bonne question car une machine peut le faire ? La vraie question serait pour moi : d'où sort ce polynôme ? Et donc, c'est pas bien et je m'en excuse, je vais répondre à ma question (qui n'est pas la question posée). En faisant le pari que le groupe de Galois est bien $\S_4$ i.e. je vais monter la machine dans ce que j'estime être le bon sens.

$\bullet$ 1 La première chose à faire : quelles sont les actions transitives et fidèles de $\S_4$ en degré 6 ? Cela revient à chercher les sous-groupes $H$ de $\S_4$ d'indice 6 via $(\S_4/H)_{\rm gauche}$. En demandant à ce que l'intersection des conjugués de $H$ soit triviale pour avoir une action fidèle.

Il y a 3 classes de conjugaison de sous-groupes d'indice 6 i.e. d'ordre 4 de $\S_4$. Je laisse tomber le sous-groupe engendré par les doubles transpositions étant normal ne founira pas une action fidèle. Il reste deux classes de conjugaison dont voici des représentants :
$$
H = \langle (1,2),\ (3,4) \rangle \simeq C_2 \times C_2, \qquad \qquad H = \langle (1,2, 3,4) \rangle \simeq C_4
$$Précision: il y a 3 sous-groupes dans chaque classe (à droite le 3 provient de $(n-1)!/\varphi(n)$ avec $n = 4$).

$\bullet$ 2 Je fais le pari du sous-groupe $H$ de gauche. Si cela ne convient pas, j'essaierais celui de droite. L'action associée à $H$ est celle de $\S_4$ sur l'ensemble des 6 parties à 2 éléments de $\{1,2,3,4\}$. Besoin d'un $H$-résolvant i.e. d'un polynôme en 4 variables $X_1, X_2, X_3, X_4$ dont le fixateur sous $\S_4$ est $H$. Par exemple :
$$
X_1 X_2 \qquad \text{ou} \qquad X_1 + X_2
$$
$\bullet$ 3 Un petit diagramme qui ne peut pas faire de mal car on a tendance à oublier que ce sont les extensions galoisiennes qui ont un groupe de Galois (plus mieux que les polynômes parfois)
$$
\xymatrix {
&L \ar@{-}[ld] \ar@{-}[rd] \ar@{-}[dd]^{\S_4} \\
\Q(x_1) \ar@{-}[rd]_4 && \Q(x_1 + x_2)\ar@{-}[ld]^6\\
&\Q
}
$$Explications : les deux extensions à expliciter $\Q(x_1)$ et $\Q(x_1+x_2)$ (j'aurais pu prendre $\Q(x_1x_2)$) ont même fermeture galoisienne $L$ et tout va être fait pour que $L/\Q$ soit de groupe de Galois $\S_4$. Même fermeture galoisienne == même corps de décomposition pour des polynômes que l'on ne voit pas encore.

Je vais donc choisir un polynôme $F$ de degré 4 assez générique mais pas trop, de racines $x_1, x_2, x_3, x_4$ quelque part (c.a.d. nulle part) et faire calculer les 2 polynômes de degré 6 :
$$
G_{x_1x_2}(T) = (T - x_1x_2) (T - x_1 x_3) \cdots \qquad\qquad
G_{x_1+ x_2}(T) = \big(T - (x_1+x_2)\big) \big (T - (x_1 + x_3)\big) \cdots
$$Note : chaque produit est constitué de 6 termes, modelés sur l'ensemble des parties à deux éléments de $\{1,2,3,4\}$

$\bullet$ 4. $F$ de degré 4 un peu générique mais pas trop. J'ai fait le pari de $F = T^4 + aT + b$ qui a pour groupe de Galois $\S_4$ génériquement en $a,b$. Pas trop générique afin d'éviter les calculs pénibles (c'est pas moi qui paie mais quand même).
$$
G_{x_1x_2} = T^6 - bT^4 - a^2T^3 - b^2T^2 + b^3, \qquad\qquad
G_{x_1 + x_2} = T^6 - 4bT^2 - a^2
$$Le premier (celui de gauche) ne supporte pas de spécialisation conduisant au polynôme $T^6 - T^2 - 1$ désiré. Mais par contre pour celui de droite, il suffit de prendre $a = 1$ et $b = 1/4$. Si on n'aime pas $F(T) = T^4 + T + 1/4$ au prétexte qu'il n'est pas à coefficients entiers, on lui fait le coup de $2^8F(T/2^2) = T^4 + 64 T + 64$, le $2^8$ parce que $F$ est de degré 4 et $2^8 = (2^2)^4$.
Ce polynôme $F$ a pour groupe de Galois $\S_4$ (je ne détaille pas). Il en est de même du polynôme $G$ pour la bonne raison que ce sont les extensions galoisiennes i.e. les corps de décomposition qui commandent et pas les polynômes (jusqu'à preuve du contraire).

Voilà, voilà. Bien conscience de ne PAS avoir répondu à ta question.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: S4
il y a deux mois
Salut Claude,

Pour répondre à la question posée, il suffit ensuite de prouver que le corps de décomposition de $T^6 - T^2 - 1$ est de degré $24$ sur $\mathbb Q$...
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