$\mathfrak S_4$ et ses métamorphoses

$\def\S{\mathfrak S}$Gai-Requin
Mais il faut également faire attention à la spécialisation du polynôme $F = T^4 + a T + b$ à partir duquel on a monté le truc. Du coup, on est obligés de lire les sections 5.7, 5.8 et 5.9 de Chambert-Loir in http://www.cmls.polytechnique.fr/perso/chambert/teach/algebre.pdf. Or je n'ai pas le temps.

De plus, le polynôme $T^6 - 4b T^2 - a^2$ est un polynôme en $T^2$. Ce qui fait débarquer le polynôme $T^3 - 4bT - a^2$ qui a même discriminant que le polynôme de degré 4. Note : il y a une formule dite de Swan qui permet de calculer les discriminants des trinômes $X^n + \alpha X^m + \beta$. Bref, pas mal de monde à installer à l'intérieur de $L/\Q(a,b)$. Dommage, je n'ai pas le temps.

Mais je prends toujours le temps pour faire des c.nneries. En ce qui concerne la production du polynôme poudre aux yeux de degré 8 (par l'intermédiaire d'un sous-groupe d'ordre 3 de $\S_4$), j'ai pris le temps de changer ma mauvaise graine multiplicative $X_1X_2^2$ que je moyennais de manière additive sur $H = C_3 = \langle (1,2,3)\rangle$ pour obtenir un $H$-résolvant.
A la place, j'ai pris une graine additive $X_1 - X_2$ que j'ai moyenné de manière multiplicative sur $C_3$, pour fabriquer une espèce de discriminant partiel, un autre $H$-résolvant donc.

[color=#000000]> graine := X1*X2^2 ;  // L'ANCIENNE
> &+Orbit(C3, graine) ;
X1^2*X3 + X1*X2^2 + X2*X3^2
> C3Resolvant := &+Orbit(C3, graine) ;
> G8 := MinimalPolynomial(A!C3Resolvant) ;
> G8 ;
T^8 - 6*a*T^7 + 24*a^2*T^6 - 52*a^3*T^5 + (81*a^4 - 14*b^3)*T^4 + (-84*a^5 + 234*a*b^3)*T^3 + 
   (64*a^6 - 329*a^2*b^3)*T^2 + (-30*a^7 + 209*a^3*b^3)*T + 9*a^8 - 139*a^4*b^3 + 625*b^6

> graine := X1 - X2 ;  // LA NOUVELLE
> Orbit(C3, graine) ;
GSet{@  X1 - X2,   X2 - X3,  -X1 + X3  @}
> C3Resolvant := &*Orbit(C3, graine) ;
> H8 := MinimalPolynomial(A!C3Resolvant) ;
> H8 ;
T^8 + 36*a^2*T^6 + (270*a^4 + 512*b^3)*T^4 + (756*a^6 - 7168*a^2*b^3)*T^2 + 729*a^8 - 13824*a^4*b^3 + 65536*b^6
[/color]

On voit que $H_8$ est bien plus simple que $G_8$. Le $G_8$, c'est lui que je ne voulais pas montrer. Ces deux polynômes ont pour groupe de Galois $\S_4$ car même corps de décomposition que le polynôme $F$ de degré 4, que j'ai noté $L$.

Enfin, $H_8$ est un polynôme en $T^2$, donc c'est tout bénéfice. Bref, beaucoup de choses à étudier dans le treillis des sous-extensions de $L/\Q(a,b)$. Bon, je ne vais pas répéter que je n'ai pas le temps.

$\def\S{\mathfrak S}\def\P{\mathbb P}$Gai-Requin
$\bullet$ En général, l'irréductibilité du spécialisé ne suffit pas à conserver le groupe de Galois. Mais ici, on n'est pas dans le ``cadre général'' : on est dans le contexte particulier de $F = T^4 + aT + b$ où $a,b$ sont des indéterminées, de groupe de Galois $\S_4$. Et des polynômes ``poudre aux yeux'' qui s'en déduisent via les actions transitives et fidèles de $\S_4$. Il y des choses à étudier dans ce cas particulier.

$\bullet$ Autre chose. Je viens de comprendre qui est $G_3 := T^3 - 4bT - a^2$, celui qui via $T \mapsto T^2$, donne le $G_6 := G_3(T^2) = T^6 - 4b T^2- a^2$. Ce $G_3$ est ce que l'on appelle la résolvante cubique diédrale de $F$. Il a pour racines (en notant toujours $x_1,x_2,x_3,x_4$ les racines de $F$ dans $L$) les 3 éléments suivants de $L$
$$
x_1x_2 + x_3x_4, \qquad x_1x_3 + x_2x_4, \qquad x_1x_4 + x_2x_3
$$Ceci est lié au groupe diédral $D_4$ d'ordre 8 donc d'indice 3. De manière précise, si je prends comme exemplaire de $D_4$ :
$$
D_4 = \langle (1,2,3,4),\ (2,4)\rangle \qquad \qquad R_{D_4} = X_1X_3 + X_2X_4
$$alors $R_{D_4}$ est un résolvant de CE $D_4$ ...etc... Obtention du polynôme $G_3$.

Mais cette fois l'action (transitive) de $\S_4$ sur l'ensemble $(\S_4/D_4)_{\rm gauche}$ n'est plus fidèle. Son noyau est l'intersection des (trois) conjugués de $D_4$, intersection qui est le sous-groupe normal $V$ d'ordre 4 engendré par les double transpositions. Et qui fait que $\S_4 /V \simeq \S_3$. Cette action en degré 3 est celle de $\S_4$ sur les trois 2-2-partitions de $\{1,2,3,4\}$ que je mets dans le même ordre que les 3 racines de $G_3$ plus haut :
$$
\{\{1,2\}, \{3,4\}\},\qquad \{\{1,3\}, \{2,4\}\},\qquad \{\{1,4\}, \{2,3\}\}
$$
$\bullet$ Du coup, en notant $K = \Q(a,b)$ le corps de base, l'histoire $(G_3, G_6)$ fait que le corps de décomposition $L$ de $F$ sur $K$ s'écrit de deux manières (à gauche, c'est par définition)
$$
L = K(x_1,x_2,x_3,x_4) = K\big(\sqrt {x_1x_2 + x_3x_4}, \sqrt {x_1x_3 + x_2x_4}, \sqrt{x_1x_4 + x_2x_3} \big)
$$L'explication est simple. Le fait que le polynôme $F = T^4 + aT + b$ n'ait point de coefficients en $T^3$, $T^2$ provoque des relations entre les racines $x_i$. Parmi lesquelles :
$$
4(x_1x_2 + x_3x_4) = ((x_1+x_2) - (x_3+x_4))^2 \qquad \text{certificat du fait que }\quad x_1x_2 + x_3x_4 \quad \text{est un carré dans } L
$$
$\bullet$ Enfin, un truc que je trouve amusant. On a l'identité algébrique qui relie la somme de Newton d'exposant 2 aux fonctions symétriques élémentaires
$$
X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 + X_4^2 = (X_1+X_2+X_3+X_4)^2 - 2(X_1X_2 + X_1X_3 + X_1X_4 + X_2X_3 + X_2X_4 + X_3X_4)
$$Lorsque l'on y fait $X_i := x_i$, on trouve que $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 0$.

Ceci fait que le groupe de Galois de $L/K$, isomorphe à $\S_4$, agit sur la courbe projective de $\P^3$ définie par les deux équations :
$$
\left\{ \begin {array} {lc}
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \\
x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 0 \\
\end {array} \right.
$$C'est une courbe ``qui est connue'' : de genre 0, une conique sans point $\Q$-rationnel. Cas particulier de la ``courbe de Serre'' pour $n=4$. Ce que j'appelle la courbe de Serre est le revêtement galoisien de groupe $\S_n$, fermeture galoisienne du revêtement $\P^1 \to \P^1$ associé au polynôme à un paramètre $t$ dont voici 3 variantes
$$
M_t(X) = X^n - t(nX - n+1), \qquad \qquad S_t^{\rm one}(X) = X^n - X^{n-1} - t, \qquad\qquad S_t^{\rm two}(X) = X^n - X - t
$$Chaque polynôme est de degré 1 en $t$ ce qui permet d'écrire $t = \text{truc}(x)$ où $x$ est une racine, truc étant une fraction rationnelle. Le revêtement en question $\P^1_{x} \to \P^1_t$ est donné par cette fraction rationnelle $t = \text{truc}(x)$. A droite, $M$ pour Malle-Matzat (th 9.4 p. 73), à gauche deux variantes de Serre (Topics in Galois Theory p. 42-43). Ce n'est pas étranger au fait que $X^n - X - 1$ est irréductible sur $\Q$ pour $n \ge 2$.

Bref, de quoi s'amuser. Dommage, mais je n'ai pas le ....

$\def\S{\mathfrak S}$Gai-Requin.
Facile. Soit $F = T^4 + aT + b \in \Q(a,b)[T]$. Il est irréductible. De groupe de Galois $\S_4$ pour la bonne raison que la spécialisation $(a := -1, b := -1)$ donne un polynôme irréductible sur $\Q$ de groupe de Galois $\S_4$.

Maintenant faisons $a := 0$. Il y a plein de $b_0 \in \Q$ tels que $T^4 + b_0$ soit irréductible sur $\Q$. Mais ce dernier polynôme n'est jamais de groupe de Galois $\S_4$.

La question à se poser, c'est l'interaction entre la spécialisation de $F$ et celle correspondante de $G_6$. Sacré groupe, ce groupe $\S_4$, n'est ce pas ?

PS : combien d'occurrences du symbole $\S_4$ ?

Merci Claude !

Je me replongerai dans ton trick de l'action fidèle et transitive quand j'aurai corrigé mes innombrables copies...

Bonjour bruno16

Contacts pris avec Alain et Rached, je crois pouvoir annoncer ce qui suit.

Malheureusement, il semble que la rencontre du 19 mars au Dupont est compromise, vu la situation de mobilisation civique contre le Covid19.
Elle n'est pour le moment pas annulée, mais aucune publicité n'a été entreprise par courriels.

Je pense que l'on pourra être fixé sur tout cela lundi après-midi. La situation est volatile, et je crois qu'il serait irresponsable de réunir dans un local confiné une cinquantaine de personnes, sans que l'on puise assurer à chacun le matériel de protection nécessaire (MASQUE, GEL BACTÉRICIDE, THÉ CHAUD, ETC.)

Cordialement,

Yann

$\def\S{\mathfrak S}\def\AGL{\text{AGL}}\def\F{\mathbb F}$Gai-Requin
Je prends 5 minutes (un peu plus en fait) pour te fabriquer un polynôme poudre aux yeux de degré 12 de groupe de Galois $\S_5$. Ainsi quand tu auras fini tes copies ... Je sais que ce n'est trop le sujet du fil qui est $\S_4$ mais toi pareil, dans ton dernier fil, tu n'as pas parlé de $\S_4$.

$\bullet$ Pourquoi degré 12 ? Un peu au pif. Disons que j'ai retrouvé un fil d'Alain où il fournissait la liste des 19 classes de conjugaison de sous-groupes $H$ de $\S_5$. Utile pour fabriquer des actions transitives de $\S_5$ via $(\S_5/H)_{\rm gauche}$. Il faut de plus que l'intersection des conjugués de $H$ dans $\S_5$ soit triviale afin de disposer d'une action transitive et fidèle. J'ai pris $D_5$, d'ordre 10, d'indice 12, qui répond à la question. J'ai ajouté des indéterminées $a,b$ histoire d'en faire un peu plus.

$\bullet$ Une première étape algébrique. Je monte le corps de fractions rationnelles $\Q(a,b)$ et le polynôme $F = F_{a,b} = T^5 + aT + b$. On sait que le polynôme $F_{a:=-1, b:= -1} = T^5 - T - 1$ est irréductible sur $\Q$, de groupe de Galois $\S_5$. C'est donc lui le vrai responsable. Le polynôme de degré 12 qui va débarquer plus tard, c'est juste le trick de l'action transitive et fidèle en degré 12.

[color=#000000]> Qab<a,b> := FunctionField(Q,2) ;
> QabT<T> := PolynomialRing(Qab) ;
>                                 
> F := T^5 + a*T + b ;                                                                                        
> P<X1,X2,X3,X4,X5> := PolynomialRing(Qab, 5) ;
> A<x1,x2,x3,x4,x5> := P/IdealADU(F,P) ;
[/color]

Il y a quelque chose à noter : l'algèbre $A$, c'est mon implémentation de l'algèbre de décomposition universelle de $F$ dans laquelle je vais faire un certain calcul.

$\bullet$ Une seconde étape groupiste. Le choix de $D_5$ est facile : prendre un pentagone régulier de sommets $(1,2,3,4,5)$, installer le sommet 1 en le point de $1$ de $\C$ de coordonnées $(1,0)$ de sorte que $2,5$ et $3,4$ se correspondent par la conjugaison complexe.

Il faut noter également (cela pourrait être utile plus tard) que $D_5 \subset \AGL_1(\F_5) = \F_5 \rtimes \F_5^\times$ d'ordre 20, d'indice 6. Je parle des bijections affines sur $\F_5$, $x \mapsto b + ax$. Système de deux générateurs à gauche et le carré du second
$$
x \mapsto 1 + x = (0,1,2,3,4) \leftrightarrow (1,2,3,4,5), \qquad
x \mapsto 2x = (0) (1,2,4,3) \leftrightarrow (2,3,5,4), \qquad
x \mapsto -x = (0) (1,4)(2,3) \leftrightarrow (2,5)(3,4)
$$Note : dans $D_5$, $x \mapsto x+1$ cela à la rotation d'angle $2\pi/5$ et $x \mapsto -x$ à la conjugaison complexe.

[color=#000000]> S5 := Sym(5) ;
> D5 := sub < S5 | (1,2,3,4,5), (2,5)(3,4) > ;
[/color]

$\bullet$ De l'algèbre et du groupiste ensemble. Besoin d'un $D_5$-résolvant $R$ i.e. d'un polynôme à 5 indéterminés dont le fixateur sous $\S_5$ est excatement l'exemplaire de $D_5$ que j'ai choisi. Je fais mon petit truc habituel avec une graine. J'ai choisi une graine multiplicative $X_1X_2$ que je vais moyenner de manière additive sous $D_5$.

[color=#000000]> graine := X1*X2 ;
> R := &+Orbit(D5, graine) ;
> R ;
X1*X2 + X1*X5 + X2*X3 + X3*X4 + X4*X5
> Set(Orbit(S5,R)) ; 
{
    X1*X4 + X1*X5 + X2*X3 + X2*X5 + X3*X4,
    X1*X3 + X1*X4 + X2*X3 + X2*X5 + X4*X5,
    X1*X2 + X1*X5 + X2*X4 + X3*X4 + X3*X5,
    X1*X2 + X1*X4 + X2*X5 + X3*X4 + X3*X5,
    X1*X3 + X1*X5 + X2*X3 + X2*X4 + X4*X5,
    X1*X2 + X1*X5 + X2*X3 + X3*X4 + X4*X5,
    X1*X2 + X1*X4 + X2*X3 + X3*X5 + X4*X5,
    X1*X2 + X1*X3 + X2*X4 + X3*X5 + X4*X5,
    X1*X2 + X1*X3 + X2*X5 + X3*X4 + X4*X5,
    X1*X3 + X1*X4 + X2*X4 + X2*X5 + X3*X5,
    X1*X4 + X1*X5 + X2*X3 + X2*X4 + X3*X5,
    X1*X3 + X1*X5 + X2*X4 + X2*X5 + X3*X4
}
[/color]

Ici, on voit l'action (transitive et fidèle) de $\S_5$ sur l'ensemble des 12 polynômes ci-dessus. C'est un visage polynomial de l'action groupiste de $\S_5$ sur $(S_5/D_5)_{\rm gauche}$. J'aime bien colorer les actions groupistes.

Calcul du polynôme minimal $G_{12}$ de $R$ dans l'algèbre de décomposition universelle $A$ de $F = T^5 + aT + b$. Le résultat est un polynôme en $T^2$ ; je ne m"y attendais pas, il faut que je réfléchisse pourquoi. C'est très spécifique au $D_5$-résolvant choisi.

[color=#000000]> time G12 := MinimalPolynomial(A!R) ;
Time: 0.070
> G12 ;
T^12 - 10*a*T^10 + 55*a^2*T^8 - 140*a^3*T^6 + 175*a^4*T^4 + (-106*a^5 - 3125*b^4)*T^2 + 25*a^6
> G6 := &+[Coefficient(G12,2*i)*T^i : i in [0..6]] ;
> G6 ;
T^6 - 10*a*T^5 + 55*a^2*T^4 - 140*a^3*T^3 + 175*a^4*T^2 + (-106*a^5 - 3125*b^4)*T + 25*a^6
[/color]

Spécialisation de $G_{12}$ en $(a,b) = (-1,-1)$. Et vérification par magma du groupe de Galois.

[color=#000000]> Specialisation := func < a0,b0 | mapping where _, mapping is ChangeRing(QabT, Q, hom <Qab -> Q | a0,b0>) > ;
> 
> g12 := MinimalPolynomial(A!R) ;                                                                             
> g12 := Specialisation(-1,-1)(G12) ;
> g12 ;
X^12 + 10*X^10 + 55*X^8 + 140*X^6 + 175*X^4 - 3019*X^2 + 25
> Galg12, adicRoots, dalta := GaloisGroup(g12) ;
> Galg12 ;
Permutation group Galg12 acting on a set of cardinality 12
Order = 120 = 2^3 * 3 * 5
    (1, 2)(3, 4)(5, 6)(7, 8)(9, 10)(11, 12)
    (1, 11, 8, 3, 4, 6)(2, 9, 10, 12, 7, 5)
> Universe(adicRoots) ;
Unramified extension defined by the polynomial (1 + O(67^26))*x^2 + (63 + O(67^26))*x + 2 + O(67^26)  over 67-adic ring
[/color]

Le calcul du groupe de Galois ne s'est pas fait à l'aide de calculs dans $\C$ mais sur une extension quadratique non ramifiée du corps adique $\Q_{67}$. Pourquoi ? Je n'en sais rien. Il faudrait regarder le discriminant de $g_{12}$.

On voit aussi ci-dessus une action permutationnelle de $S_5$ en degré 12.

Pareil avec $G_6$ spécialisé en $(a,b) := (-1,-1)$

[color=#000000]> g6 := Specialisation(-1,-1)(G6) ;             
> g6 ; 
X^6 + 10*X^5 + 55*X^4 + 140*X^3 + 175*X^2 - 3019*X + 25
> Galg6, adicRoots, dalta := GaloisGroup(g6) ;  
> Galg6 ;                                       
Permutation group Galg6 acting on a set of cardinality 6
Order = 120 = 2^3 * 3 * 5
    (1, 5)(2, 6)(3, 4)
    (1, 2, 3, 4, 5, 6)
> Universe(adicRoots) ;
Unramified extension defined by the polynomial (1 + O(7^51))*x^6 + O(7^51)*x^5 + (1 + O(7^51))*x^4 + (5 + O(7^51))*x^3 + 
   (4 + O(7^51))*x^2 + (6 + O(7^51))*x + 3 + O(7^51) over 7-adic ring
[/color]

Là utilisation d'une extension non ramifiée de degré 6 de $\Q_7$. Pourquoi ? Je n'en sais rien.

On voit également une réalisation pas banale de $\S_5$ dans $\S_6$, pas banale car elle est transitive. C'est lié à l'existence d'un automorphisme non intérieur de $\S_6$.
Faut maintenant que je réfléchisse à ce polynôme $G_6$ de degré 6 et comment le faire débarquer directement via $\AGL_1(\F_5)$ d'indice 6.

Bonjour Rescassol
Il est imprimé, j'en ai un exemplaire entre les mains.
Il devait être dans les librairies au début avril !
Je suppose que la logistique de la distribution de livres est perturbée par celle de l'acheminement de médicaments et de nourriture.
De toute façon à cette date là, tu n'aurais pas pu sortir pour l'acheter :-D
Amicalement,
Alain

Bonjour Rescassol, bonjour Alain

Le livre est à la Sodis depuis plus d’une semaine. Mais le diffuseur cherche à éviter de payer les offices comme il se doit car il s’attend à une période de vaches maigres. Lui, il trouvera les moyens de se faire indemniser auprès de l’état mais pour les petits éditeurs l’ardoise va être salée.

Je parie que les commandes par Amazon seront honorées, mais cela restera caché.

Tout cela Sans preuve aucune de ma part !

Cdt,

Yann

$\def\S{\mathfrak S}\def\H{\mathbb H}$ Bonjour Yann,
J'avais loupé ton post. Qui sent la question piège, du genre ``est ce que 10 divise 16 ?''. La réponse est non.

Certes, on a une injection $\S_n \times \S_m \to \S_{n+m}$ mais l'image n'est pas un sous-groupe transitif de $\S_{n+m}$. Et comme $\H_8$ se réalise dans $\S_8$, c'est bien vrai que $\H_8 \times C_2$ se réalise dans $\S_{10}$. Mais l'image de cette réalisation n'est pas un sous-groupe transitif de $\S_{10}$. Ni celle-ci ni une autre : dire que $G$ est un sous transitif de $\S_{10}$ est équivalent à dire que $G$ contient un sous-groupe d'indice 10, ce qui force $10 \mid \#G$.

Bilan : il n'existe pas de polynôme irréductible $F \in \Q[X]$ de degré 10 de groupe de Galois $\H_8 \times C_2$. Par contre, à partir du polynôme $H$ que tu connais :
$$
H(Y) = Y^4 - 24Y^3 + 144Y^2 - 288Y + 144, \qquad G(X) = H(X^2), \qquad F(X) = (X^2 + 1) G(X)
$$tu obtiens un polynôme $F$ de degré 10 dont le groupe de Galois est $\H_8 \times C_2$. CAR on sait comment $H, G$ ont été élaborés : à partir de $\sqrt 2$, $\sqrt 3$ etc... Et $G$ a pour groupe de Galois $\H_8$.
Rappel : à partir de deux indéterminées $a,b$, on peut construire un polynôme $H_{a,b}(Y)$ de degré 4 (dit de Smith, je crois) ...etc... Et on sait que ce binz supporte la spécialisation $a := t^2 + 1$, $b := t^2 +2$. Le $H$ ci-dessus correspond à $t = 1$ i.e. $a=2, b=3$.

Qu'en dis un logiciel ?

[color=#000000]> Z := IntegerRing() ;
> ZX<X> := PolynomialRing(Z) ;

> H := X^4 - 24*X^3 + 144*X^2 - 288*X + 144 ;
> G := Evaluate(H, X^2) ;
> GalG := GaloisGroup(G) ;
> IdentifyGroup(GalG) ;
<8, 4>
> F := G * (X^2 + 1) ;
> GalF := GaloisGroup(F) ;
> IdentifyGroup(GalF) ;
<16, 12>
[/color]

Tout baigne : le code $<8,4>$ spécifie le groupe numéro 4 dans la liste des 5 groupes d'ordre 8 et $<16,12>$ le groupe numéro 12 dans la liste des 14 groupes d'ordre 16, la classification étant par exemple celle de Parattu & Wingerter in https://www.mimuw.edu.pl/~zbimar/small_groups.pdf

Que faire si on veut vraiment un polynôme irréductible de $\Q[X]$ ayant pour groupe de Galois $\H_8 \times C_2$ ? Lorsque l'on examine les sous-groupes de $\H_8 \times C_2$ dont l'intersection des conjugués est triviale, on voit que l'on n'a pas trop le choix du degré 16. Il suffit par exemple de prendre $x +i$ qui est un élément primitif de $\Q(x,i)$, $x$ racine du $G$ ci-dessus, le $i$ étant le célèbre $i$ de $i^2 = -1$. Un logiciel de Calcul Formel digne de ce nom peut faire le job.

[color=#000000]> L<x,i> := NumberField([G, X^2+1] : Abs := true) ;
> M := ZX!MinimalPolynomial(x+i) ;
> M ;
X^16 - 40*X^14 + 652*X^12 - 4984*X^10 + 25174*X^8 - 72280*X^6 + 161452*X^4 - 150664*X^2 + 361201
> GalM := GaloisGroup(M) ;
> IdentifyGroup(GalM) ;                            
<16, 12>
[/color]

Si le logiciel ne supporte pas la construction de $\Q(x,i)$ ci-dessus, on peut toujours utiliser le produit tensoriel en considérant le polynôme caractéristique de $A \otimes I_2 + I_8 \otimes B$, où $A$ est la matrice compagnon de $G$ et $B$ celle de $X^2 + 1$. Soyons fou (of course, le logiciel doit savoir calculer le produit tensoriel de deux matrices).

[color=#000000]> A := CompanionMatrix(G) ;
> A ;
[   0    1    0    0    0    0    0    0]
[   0    0    1    0    0    0    0    0]
[   0    0    0    1    0    0    0    0]
[   0    0    0    0    1    0    0    0]
[   0    0    0    0    0    1    0    0]
[   0    0    0    0    0    0    1    0]
[   0    0    0    0    0    0    0    1]
[-144    0  288    0 -144    0   24    0]
> B := CompanionMatrix(X^2 + 1) ;
> B ;            
[ 0  1]
[-1  0]
> I8 := Parent(A)!1 ;   I2 := Parent(B)!1 ;
> C := KroneckerProduct(A,I2) + KroneckerProduct(I8,B) ; 
> C ;
[   0    1    1    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0]
[  -1    0    0    1    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0]
[   0    0    0    1    1    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0]
[   0    0   -1    0    0    1    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0]
[   0    0    0    0    0    1    1    0    0    0    0    0    0    0    0    0]
[   0    0    0    0   -1    0    0    1    0    0    0    0    0    0    0    0]
[   0    0    0    0    0    0    0    1    1    0    0    0    0    0    0    0]
[   0    0    0    0    0    0   -1    0    0    1    0    0    0    0    0    0]
[   0    0    0    0    0    0    0    0    0    1    1    0    0    0    0    0]
[   0    0    0    0    0    0    0    0   -1    0    0    1    0    0    0    0]
[   0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    1    1    0    0    0]
[   0    0    0    0    0    0    0    0    0    0   -1    0    0    1    0    0]
[   0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    1    1    0]
[   0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0   -1    0    0    1]
[-144    0    0    0  288    0    0    0 -144    0    0    0   24    0    0    1]
[   0 -144    0    0    0  288    0    0    0 -144    0    0    0   24   -1    0]
> ChiC := ZX!CharacteristicPolynomial(C) ;
> ChiC ;
X^16 - 40*X^14 + 652*X^12 - 4984*X^10 + 25174*X^8 - 72280*X^6 + 161452*X^4 - 150664*X^2 + 361201
> ChiC eq M ;
true
[/color]

Voilà, voilà.

Il est marqué en rupture de stock chez Amazon mais semble disponible chez Eyrolles par exemple.
Pour ma part, cela fait longtemps que je ne commande plus chez Amazon (je commande mes livres C&M chez mon libraire et je profite en plus d'un tarif réduit de 5%), mais c'est une autre histoire.

J'ai commandé le livre, et celui de Roger Mansuy sur les graphes aléatoires à la Fnac, on verra bien quand ma commande arrivera !

Bonjour à tous,

J'ai la désagréable impression que Eyrolles profites d'être le distributeur de Calvage & Mounet (à travers Geodif) pour se garder le monopole des ventes le plus longtemps possible!
À moins que ce ne soit la remise en route des circuits de distribution qui soit longue au redémarrage!

Cordialement,

Geodingus

Est-ce bien grave qu'Eyrolles ait les livres de C&M avant les autres ?
Il vaut mieux que ce soit Eyrolles qu'Amazon, non ?
Je viens de voir sur Wikipedia que le groupe Eyrolles possédait la fameuse Librairie de Provence à Aix-en-Provence, malheureusement fermée.
Concernant les frais de ports, je les trouve assez bas (2,50 euros pour du colissimo, ce n'est pas énorme).

J'ai reçu mon $\mathfrak S_4$ et ses métamorphoses ce matin (envoyé par Eyrolles), avec un mot de remerciement et un petit carnet de notes.
Je vais prendre le temps de le feuilleter cet après-midi. (tu)

Voilà encore un bien joli livre de chez C&M, réalisé par deux orfèvres de la mathématique et de l'édition scientifique.
Après un avant-propos bref et concis des deux compères, nous entrons dans le vif du sujet avec une petite piqûre de rappel sur le groupe $\mathfrak S(E)$, agrémentée de quelques démonstrations et de deux exercices et de quelques figures. L'intérêt du chapitre est de voir diverses façons de représenter les permutations et les bénéfices qui résultent de l'utilisation de telle ou telle représentation. Une représentation astucieuse des permutations à l'aide liens permet de voir apparaître la signature comme un objet géométrique.
Dans le deuxième chapitre, on s'attarde sur les éléments du groupe qui donne son nom au livre. Ce chapitre est plus court, mais il remplit son office.
Le troisième chapitre nous donne les outils nécessaires pour déterminer les sous-groupes de $\mathfrak S_4$ (et qui peuvent bien sûr être utilisés dans un cadre plus général).
Les lecteurs curieux pourront prolonger leur étude des groupes finis en allant consulter le grand œuvre d'AD, Groupes finis et treillis de leurs sous-groupes. On retrouve d'ailleurs les magnifiques treillis dont il a le secret ainsi que de jolies fleurs.
Le chapitre IV nous fait ensuite rentrer dans la géométrie affine euclidienne de l'espace. De brefs rappels sont faits sur les isométries du plan et de l'espace, puis les sous-groupes de $\mathfrak S_4$ rentrent en action et on les voit véritablement agir. Le chapitre est là encore parfaitement illustré. Les plaisirs géométriques se prolongent dans les chapitre V à IX, où l'on voyage sur des cubes et des tétraèdres réguliers, et où de nouveaux mystères sont dévoilés par le truchement des groupes.
Je m'arrêterai là pour ne pas gâcher le plaisir de la découverte du contenu de ce charmant livre (je n'ai de toute façon pas eu le temps de tout feuilleter).
Ce livre peut facilement se glisser un peu partout de par son petit format mais c'est quand même une mine d'informations avec ses 256 pages.
Un beau cadeau à offrir ou à s'offrir ! On peut difficilement faire mieux pour 23 euros.
Les auteurs souhaiteraient que d'autres livres dont le thème tourne autour d'un objet mathématique aux multiples usages émergent. Je suis de leur avis !

Philippe Malot a écrit:

Les auteurs souhaiteraient que d'autres livres dont le thème tourne autour d'un objet mathématique aux multiples usages émergent. Je suis de leur avis !

Tiens, pour rester dans le thème, ce serait amusant de faire $\mathfrak{S}_5$ et $\mathfrak{S}_6$ (ensemble, ça a sa cohérence).

Mon exemplaire est arrivé hier, dans les délais prévus donc. J'ai lu l'avant propos cet après-midi, en buvant une citronnade place de l'horloge. Et sans y déceler de fautes d'orthographe.

J'a reçu ce matin l'ouvrage et ai pu apprécier la qualité des illustrations (tikz (quelle bibliothèque?) ou un autre package?) en attendant de trouver le temps d'une lecture plus approfondie!

@Dr Geodingus
Voici l'appel à tikz dans le préambule

\usepackage{pgf,tikz}
\usetikzlibrary{shadows,shapes,plotmarks,arrows,arrows.meta,calc,positioning,decorations.pathmorphing}

Rien de spécial. Les figures 3D sont réalisées avec les coordonnées 3D de tikz et projetées sur le plan de la figure par les commandes dans un scope du type

[x = {(-123:0.42cm)}, y = {(0:1cm)}, z = {(90:1cm)}]

Ravi que tu apprécies l'ouvrage :-).
Alain

Bonjour Alain,

Merci pour ses précisions!
Tikz également pour les treillis?

Cordialement,

Geodingus

@Dr Geoingus. Oui bien sûr.
Alain

Le livre est déjà épuisé ou quoi ? Eyrolles ne l'expédie pas, la Fnac non plus, en tout cas pas directement...

Je l'ai commandé dans ma librairie locale finalement.

Bonjour,

La mer Caspienne est au centre de l'actualité, mais le livre sur les métamorphoses de $\mathfrak S_4$ semble déjà oublié.

Comment consoler les auteurs ?
Je me suis offerte samedi dernier le livre. Et je m'étais promise de mettre un commentaire sur Amazon, mais mon énergie s'est curieusement dissipée. Aussi me rabats-je sur le forum :

Triste époque pour les bons livres !

YvetteP

(Je vous signale au passage le prix Nobel de littérature, attribué aujourd'hui !)

N.B. Un ami sur le forum me signale deux erreurs d'orthographe dont je devrais rougir.
Je les laisse pour éduquer la jeunesse. A vous de les trouver...
Merci Ch - - - - - -

@Ludwig: il est plus facile de corriger les erreurs des autres que les siennes, c'est une évidence. Calvage, comme toutes les petites maisons, n'a pas les moyens de se payer un secrétaire de rédaction. Mais le plus important c'est peut-être les mathématiques, non? et ce livre va probablement devenir un classique indispensable qui, de surplus, va nous aider à sortir des enseignements bidons d'algèbre qui durent depuis trop longtemps. (Non, je n'ai pas d'actions chez C&M )
M.