Théorie des groupes

OShine · May 2020

Bonjour,

Je me rends compte de l'importance de ce domaine en lisant les sujets d'agreg interne d'algèbre, j'aimerais savoir si vous connaissez un livre qui aborde les thèmes suivants : groupes, sous-groupes distingués, groupes quotients, actions de groupe, corps finis.

Je souhaite un livre de niveau modeste qui se situe maximum au niveau L3 pas au-delà.

Dr Geodingus · May 2020

Bonjour OShine,
J'aime bien le livre \'Eléments de théorie des groupes de Josette CALAIS.
Je l'utilise depuis ma 1ère année de fac et encore maintenant quand c'est nécessaire.
Cordialement,
Geodingus

OShine · May 2020

Merci.
Je vois 440 pages ! C'est beaucoup.
Apparemment les derniers chapitres sont plus costauds et réservés à l'agreg vous confirmez ?

curiosity · May 2020

A peu près n'importe quel livre d'algèbre "généraliste" de licence (L1-L3) aura un chapitre sur les groupes (et les corps) et abordera ces sujets. Les tout-en-un de chez Pearson ou Dunod ont des chapitres où ils abordent ces sujets.

Sinon, n'importe quel livre qui traite des groupes, mais ce sera forcément plus détaillé et touffu. Outre Calais citée, il y a par exemple Fresnel, Delcourt, Ulmer... Peut-être voir aussi du côté de D.J. Mercier qui fait des petits fascicules sur des points précis.

Pour se documenter sur le sujet, taper "cours théorie groupe" dans Google et regarder les dizaines de réponses. Mais ça ne sera pas utilisable le jour de l'agrégation bien sûr.

OShine · May 2020

Je n'aime pas le tout en un dunod pour la licence. J'ai lu des pages je le trouve trop fouillis, et ça part dans des trucs qui ne me seront pas forcément utiles.

Je cherche un livre où trouver : corps finis, groupes quotients, sous-groupes distingués, action de groupe, groupes en géométrie.

J'ai cherché sur google mais je ne trouve pas de livre où on peut feuilleter, je n'aime pas acheter sans lire avant, c'est rare les livres de maths qui me conviennent niveau pédagogie, j'ai besoin que ce soit bien détaillé pour comprendre. Et aussi que le niveau soit modeste sinon je me décourage.

Je me rends compte qu'à l'interne il y a des questions très simples sur la théorie des groupe, mais encore faut-il connaitre le cours.

Ulmer je ne trouve pas d'extraits impossible et Mercier idem on ne peut pas feuilleter le bouquin.

Pearson le L2 ou L3 ? Pearson ils ont l'air très bien les récents.

Dr Geodingus · May 2020

Des livres de math "de cours" avec moins de plusieurs centaines de pages je n'en connais pas beaucoup quel que soit le sujet (topologie, analyse complexe, algèbre linéaire,...)!
Je pense que sur les 330 pages, si vous avez une bonne vision des 6 premiers chapitres (soit 254 pages plutôt bien écrites, aérées et agréables à lire!) c'est déjà pas mal.
Après, oui les derniers chapitre sont plus costauds mais c'est souvent le cas dans les livres !
Par contre les corps finis ce n'est pas de la théorie des groupes donc il vous faudra un autre ouvrage.
Cordialement,
Geodingus

Poirot · May 2020

OShine a écrit:

Je cherche un livre où trouver : corps finis, groupes quotients, sous-groupes distingués, action de groupe, groupes en géométrie.

Le Ulmer traite de tout ça si ma mémoire est bonne. Mais je pense que les énoncés te passeront au-dessus, tu n'as pas encore l'autonomie pour lire un tel livre si déjà tu galères sur un livre tout-en-un MPSI.

OShine · May 2020

Parce que quand je lis des cours sur internet sur la théorie des groupes de niveau agreg interne, ça prend 50 pages maximum.

Je me dis que 400 pages doit y avoir des trucs niveau au-dessus.

Le livre de Ulmer fait 192 pages et je peux zapper les chapitres : groupes projectifs, représentations linéaires qui ne sont pas au programme.

J'ai parcouru le Ulmer je ne suis pas trop fan, c'est trop dense pas aéré ça ne donne pas envie. Les notations sont bof.

noobey · May 2020

Cadeau, ce cours est vraiment très clair je crois qu'il existe en livre aussi.

Maintenant tu as l'air de faire une fixation sur la théorie des groupes, pourquoi pas... Mais c'est quand même d'un haut niveau par rapport à ton niveau actuel

Poirot · May 2020

Bah non, en 400 pages il y a beaucoup d'explications et d'exemples. Le Calais reste à un niveau basique.

Dr Geodingus · May 2020

Sinon, à l'agrég interne, il me semble que les seuls corps finis au programme soient les $\mathbb{F}_p\simeq\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ autant dire pas grand chose!

OShine · May 2020

Pas mal ce cours.

Les questions de théorie des groupes de l'agrégation interne sujet 2020 sont bien plus faciles que les questions sur les matrices de permutation et les opération sur les lignes/colonnes très techniques.
Je me dis que connaître le cours sur la théorie des groupes permet de grappiller des points facilement.

Les $F_p$ il y a un sujet 2015 je crois uniquement sur ça.
Sinon vous pensez quoi de Corps finis de Dany Jack Mercier ?

Bon pas justement si le niveau est basique ça devrait me convenir le Calais.

nicolas.patrois · May 2020

OShine, tu as le livre de David Joyner sur le Rubik’s cube mais il est en anglais.

geo · May 2020

Bonjour.
Pour un livre correct sur la théorie des groupes niveau agreg interne:
Algèbre théorie des groupes de Anne Cortella.
Très simple et les exos sont tous corrigés.

OShine · May 2020

Nicolas dommage, je comprends l'anglais mais j'ai déjà trop de difficultés en maths en français alors en anglais je n'imagine même pas.

Géo merci 204 pages parfait ! Et pour les corps $F_p$ on étudie ça où ?

Un commentaire d'une personne : "C'est un livre où les démonstrations sont très faciles à comprendre et claires. Je regrette seulement les nombreuses "coquilles" dans cet ouvrage."

Vous confirmez pour les coquilles ?

curiosity · May 2020

"Je me dis que connaitre le cours sur la théorie des groupes permet de grapiller des points facilement."

C'était bon pour l'année où ce sujet a été posé. L'année prochaine, il faudra sans doute remplacer "groupes" par "anneaux" ou "corps" ou "matrices" ou "endomorphismes symétriques" ou "systèmes linéaires" ou... La liste est longue ;-).

Bref, c'est un mauvais calcul si c'est uniquement pour grappiller des points car il y aura peut-être zéro théorie des groupes dans les prochains sujets. Ceci dit, c'est un très bon calcul du point de vue mathématique vu que les groupes sont à la base de toutes les constructions algébriques étudiées à ce niveau...

Sinon, le livre que tu cherches n'existe pas ! Tu juges au poids, c'est un autre mauvais calcul. Certains livres sont concis mais imbuvables à moins de les lire goutte à goutte ; par exemple, un livre de 200 pages comme celui d'algèbre de Perrin qui traite quasiment tout le programme d'algèbre (générale et linéaire !) mériterait pour le péquin matheux moyen au moins le double pour être lu sans passer trop de temps à écrire la ligne sur deux ou trois qui manque dans les démonstrations...

Concernant le Combes d'algèbre et géométrie, il est d'un niveau plutôt élevé par rapport au niveau moyen de l'agrégation interne (on en avait déjà parlé dans le sujet sur les livres pour la géométrie).

Thierry Poma · May 2020

Bonsoir,

Algèbre pour la Licence 3 - Groupes, anneaux, corps, aux éditions Dunod, par Jean-Jacques Risler et Pascal Boyer.

Cordialement,

Thierry

OShine · May 2020

Merci Thierry.

Curiosity en effet, mais c'est important même pour l'oral beaucoup de leçons sur les groupes.

En fait, je bosse déjà le programme de L1 puis L2 qui est déjà très lourd.
Je veux un livre de niveau modeste car je n'ai jamais étudié la théorie des groupes.
Je n'aurai pas les facilités de quelqu'un qui a déjà étudié ça en licence.

OShine · May 2020

Dans le livre de Josette Calais, les chapitres sont :

STRUCTURE DE GROUPE
CLASSES MODULO UN SOUS-GROUPE
GROUPES MONOGENES - GROUPES SYMETRIQUES SN - GROUPES DIEDRAUX
SOUS-GROUPES NORMAUX
GROUPE OPERANT SUR UN ENSEMBLE
GROUPES FINIS - THEOREMES DE SYLOW
SUITES DE COMPOSITION
GROUPES ABELIENS
GROUPES LIBRES - GENERATEURS ET RELATIONS - PRODUIT LIBRE DE GROUPES

Lesquels sont hors programme de l'interne ?

Poirot · May 2020

Probablement celui sur les suites de composition et celui sur les groupes libres. Tout le reste c'est de l'archi-classique que tout agrégé doit connaître.

michael · May 2020

Les théorèmes de Sylow ne sont pas au programme de l'agrégation interne. Je rejoins Poirot sur le reste.

curiosity · May 2020

/!\ SUITES DE COMPOSITION et GROUPES ABELIENS ne sont pas trop non plus dans l'esprit de l'interne (et hors-programme officiel). C'est bien d'aller jeter un œil sur ces sujets quand on est déjà à l'aise sur tout le reste (surtout les suites avec Jordan-Hölder, quand on s'intéresse au Rubik's cube (:D).

Pour info, quand on cherche à savoir ce qui relève du programme ou non, il suffit (et il faut bien souvent :-D) aller voir dans le programme officiel lui-même, en accès libre un peu partout sur internet dès qu'on le cherche à partir de Google par exemple...

Programme interne 2019 a écrit:

4 Groupes et géométrie
Les diverses notions sur les groupes ont vocation à être illustrées dans des situations géométriques (par exemple, isométries d’un tétraèdre régulier, d’un cube, etc.).
Groupes, morphismes, sous-groupe engendré par une partie. Groupes cycliques, ordre d’un élément. Théorème de Lagrange. Sous-groupe distingué (ou normal). Groupe quotient.
Image et noyau d’un morphisme de groupes. Isomorphisme entre Im( f ) et G= Ker( f ) pour f morphisme de groupes de G dans G0.
Groupe opérant sur un ensemble, orbites. Stabilisateurs. Formule des classes. Éléments conjugués, classes de conjugaison, sous-groupes conjugués. Automorphismes intérieurs d’un groupe. Polygones réguliers et groupes diédraux.
Permutations d’un ensemble fini, groupe symétrique ; cycles, génération par les transpositions. Décomposition d’une permutation en produit de cycles à supports disjoints. Signature. Groupe alterné.
Groupes GL(E) et SL(E) où E est un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K.
Groupes O(E) et SO(E) où E est un espace vectoriel euclidien. Groupes U(E) et SU(E) où E est un espace hermitien. Groupe affine, groupe des homothéties et translations d’un espace affine. Groupe des isométries et des déplacements d’un espace affine euclidien. Groupe des isométries laissant stable une partie de l’espace. Groupe des similitudes directes et indirectes d’un plan affine euclidien.

(N.B. Je ne mets pas en forme avec Latex, c'est juste pour donner une idée...)

Comme on peut le voir, ça reste assez "basique", pas de notion très élaborée en général (produit semi-direct, etc.) à part les opérations de groupes qui restent le point culminant à mon sens (de par l'abstraction que ça demande pour des sujets qui ne sont jamais vus ou très peu en licence).

michael · May 2020

Je reviens un peu plus en détails sur le sujet.

J'ai repris un peu plus en détails le bouquin de Josette Calais et le lien avec le programme de l'agrégation interne donné ci-dessus par curiosity.

OShine, tu t'inquiètes du nombre de pages, voici ce qu'il en est de mon point de vue :

l'intégralité du chapitre I, du chapitre II et du chapitre III sont au programme de l'agrégation interne.
Hormis les sous-paragraphes 5 et 6 (groupe dérivé, sous-groupe caractéristique, sous-groupe maximal, sous-groupe normal maximal), le chapitre IV est également au programme.
Dans le chapitre V, seul le sous-paragraphe 4 (produit semi-direct) n'est pas dans le programme.
Les chapitres VI, VII et IX ne sont pas au programme de l'agrégation interne.
L'essentiel du chapitre VIII n'est pas au programme non plus mais quelques trucs sont quand même à connaître, je pense.

À la louche, la moitié du bouquin est en plein dans le programme et couvre presque tout ce qui concerne les groupes.
Les exercices sont nombreux mais non corrigés. Cela dit, on trouve facilement une bonne partie des corrections des exercices des chapitres qui t'intéressent sur le net (par exemple ici).

En tout cas, je rejoins l'avis des personnes qui t'ont conseillé ce bouquin pour étudier la théorie des groupes.

noobey a écrit:

Cadeau, ce cours est vraiment très clair je crois qu'il existe en livre aussi.

Maintenant tu as l'air de faire une fixation sur la théorie des groupes, pourquoi pas... Mais c'est quand même d'un haut niveau par rapport à ton niveau actuel

Le bouquin de François Combes est une référence assez incontournable, je pense. Le problème est que ce bouquin est difficilement trouvable à l'achat à des prix raisonnables. En revanche, il est certainement disponible dans toutes les BU.

C'est vraiment un bouquin assez complet (pour le niveau visé) sur l'algèbre générale, l'arithmétique et la géométrie affine/euclidienne. En temps normal, je le recommande assez vivement.
Cela dit, OShine, je pense que ce bouquin nécessite d'être déjà un peu familier avec les sujets qu'il aborde. Les démonstrations sont parfois un peu sèches et demandent d’avoir déjà des bases relativement solides sur les thèmes étudiés (ou, au moins, d'être suffisamment à l'aise pour pouvoir combler quelques étapes pas toujours détaillées). Tu peux évidemment y jeter un œil et voir si ça te convient. Mais je crains que tu ne sois vite dépassé pour l'instant.

michael · May 2020

Groupes et géométrie pour l'agrégation de Jean-Marc Garnier paraît intéressant quand on lit la description et le sommaire.
Je ne connais pas du tout cet ouvrage que je découvre en cherchant autre chose.

Dans mon message précédent, j'ai oublié de signaler le cours de Jean-Paul Calvi que je trouve bien fait et, je pense, adapté aux débutants (il y a également une partie consacré aux anneaux et aux corps).

OShine · May 2020

Merci et niveau difficulté entre le Calais et le livre de Anne Cortella lequel est le mieux ou le plus accessible ?

Oui le livre donne par Noobey me semble de niveau assez costaud.

Parce que je sens que je ne comprends rien à la théorie pour l'instant, rien que les ensembles quotients me posent de gros soucis de compréhension.

michael · May 2020

Je n'ai pas le livre d'Anne Cortella mais je l'ai déjà utilisé. J'en garde un bon souvenir mais je ne saurais te dire lequel est le plus accessible. Ça dépend certainement des affinités, d'ailleurs.

michael · May 2020

Je pense vraiment que le poly de Jean-Paul Calvi mentionné ici est (très) accessible.
Tu devrais peut-être commencer par là (et voir si ça te convient).
Le cas échéant, il sera toujours temps d'acheter le bouquin de Calais (ou un autre) quand tu bosseras vraiment l'agrégation interne et que tu auras besoin de références pour préparer les leçons.

OShine · May 2020

Merci en effet, en parcourant le document je pense que je peux réussir à comprendre, ça ne m'a pas l'air indigeste.

J'aime bien bosser dans les livres car j'ai une mémoire visuelle.

michael · May 2020

La mémoire sensitive est un neuro-mythe (parmi tant d'autres).
Peut-on dire que l'on a une mémoire visuelle ou une mémoire auditive ?

Cela dit, j'aime bien bosser avec les livres également ;-)

M.Floquet · May 2022

Désolé de rafraîchir le sujet, mais je rejoins ceux qui ont cités l'ouvrage d'A.Cortella chez Vuibert. Il y a des livres comme celui-ci (à l'image du Dantzer en analyse ou des DJM par exemple) où le contenu est modeste mais qui permettent de se rassurer et c'est parfois important

!

D'ailleurs, c'est dommage qu'il n'y ait toujours pas de ré-édition de cet ouvrage chez DeBoeck (il y a pas mal de typos dans l'édition actuelle)...

Baric · May 2022

De mon côté, j'ai préparé l'agreg avec le Combes qui m'a grandement aidé pour la géométrie affine et les actions de groupes... Après, le Rombaldi n'est pas facile mais certains sujets sont très bien traités (j'aime bien les coniques par exemple et les actions de groupes).
Et pour ma part, j'ai toujours gardé un œil sur le Gourdon...
Après, il faut faire des choix...

OShine · May 2022

Je voulais acheter l'ouvrage d'Anne Cortella mais il est indisponible ;(

Rombaldi c'est du niveau L3-M1 il faut avoir un sacré niveau pour travailler avec ses bouquins, il dit agreg interne et externe mais le niveau est plus adaptée à l'externe. Et les exercices sont très costauds.
Perso Rombaldi est hors de portée pour moi, quand je lis le bouquin je n'ai qu'une envie c'est faire autre chose que des maths.

skazeriahm · May 2022

OShine a dit :

il dit agreg interne et externe mais le niveau est plus adaptée à l'externe

Encore dans le jugement OShine... Quand arrêteras-tu ce genre de petite phrase ? Qui es-tu pour dire cela ? As-tu déjà préparé l'interne ? l'externe ?

Concentre toi sur tes exercices.

Amédé · May 2022

Bonjour,

le programme de l'agrégation interne sur les groupe porte sur le niveau L3. Pour l'externe c'est pareil, ça suffit, mais tu peux rajouter des représentations, des groupes de Lie... Tous les ouvrages et cours qui t'ont été cités sont incontournables.

chanig · May 2022

Le livre de Jean Delcourt est bien aussi.

Magnéthorax · May 2022

Algèbre pour la licence - Cours et exercices corrigés, M. Reversat & B. Bigonnet, Dunod, 2000.
1. Les groupes
2. Les anneaux
200 p. env.
En BU ou d'occasion peut-être.

Amathoué · May 2022

« Perso Rombaldi est hors de portée pour moi, quand je lis le bouquin je n'ai qu'une envie c'est faire autre chose que des maths. »
Peut-être que Rombaldi lit dans les pensées d’OShine avant de publier.