Pour Grégory Berhuy...

Bonjour @GreginGre

J'espère que tu vas bien, ainsi que tes proches. Je viens d'acquérir la nouvelle mouture de ton livre intitulé "Modules : théorie, pratique... et un peu d'arithmétique !". Sauf erreur de ma part, le lemme 1.7, page 442, devrait se lire ainsi :

Lemme : Soit $\mathscr{C}$ une catégorie, et soit $T\in\mbox{Ob}\left(\mathscr{C}\right)$ un objet de $\mathscr{C}$. Alors, la loi $\mathfrak{h}_T:\mathscr{C}\to\mathbf{Ens}$, qui associe à tout objet $A\in\mbox{Ob}\left(\mathscr{C}\right)$ l'ensemble\[\mathfrak{h}_T(A)=\mbox{Mor}_{\mathscr{C}}(T,\,A)\]et à tout morphisme $f:A\to{}B$ de $\mathscr{C}$ l'application\[\begin{array}{ccccc}\mathfrak{h}_T(f)&:&\mbox{Mor}_{\mathscr{C}}(T,\,A)&\to&\mbox{Mor}_{\mathscr{C}}(T,\,B)\\&&u&\mapsto&f\circ{}u\\\end{array}\]est un foncteur.

Démonstration. Soit $A\in\mbox{Ob}\left(\mathscr{C}\right)$. Pour tout morphisme $u:T\to{}A$, on a\[\mathfrak{h}_T\left(\mbox{Id}_A\right)(u)=\mbox{Id}_A\circ{u}=u\]et donc\[\mathfrak{h}_T\left(\mbox{Id}_A\right)=\mbox{Id}_{\mathfrak{h}_T(A)}\quad\text{pour tout }A\in\mbox{Ob}\left(\mathscr{C}\right)\](...)

Amicalement,

Thierry Poma