Intégration par parties multidimensionnelle

Calli:

Pourtant la formule donnée dans le premier message semble être présente dans un document de l'EN si je n'ai pas la berlue.

Edit: la formule a été mal recopiée.

Non je n'ai pas de référence. C'est pour citer un ISBN à l'agreg que tu as besoin d'une référence, ou bien parce que tu as encore des interrogations sur cette formule ? (auquel cas je peux peut-être répondre)

D'accord. Je commence par donner un énoncé complet des théorèmes pour être au clair là-dessus.

Notations : On fixe $d\in\Bbb N^*$, $j\in[\![1,d]\!]$, $\Omega\subset \Bbb R^d$ un ouvert à bord de classe ${\cal C}^1$, $\sigma$ la mesure de Lebesgue sur $\partial \Omega$ et $\nu:\partial \Omega \to \Bbb R^d$ le vecteur unitaire normal à $\partial \Omega$ et pointé vers l'extérieur.

Théorème de Green : Pour tout champ de vecteurs $V\in{\cal C}^1(\overline\Omega,\Bbb R^d)$ à support compact, $\displaystyle \int_\Omega \mathop{\rm div}( V)\,{\rm d}x = \int_{\partial\Omega} V\cdot \nu \,{\rm d}\sigma$.

Corollaire : Pour toute fonction $f\in{\cal C}^1(\overline\Omega,\Bbb R)$ à support compact, $\displaystyle \int_\Omega \partial_j f\,{\rm d}x=\int_{\partial \Omega} f\,\nu_j\,{\rm d}\sigma$

Application 1.a : Soit un ouvert $\Omega\subset\Omega'\subset \Bbb R^d$. Alors au sens des distributions sur $\Omega'$, on a : $\partial_j {\bf1}_\Omega = -\nu_j \,\sigma$.

Application 1.b : Au sens des distributions sur le même $\Omega'$, on a : $\sigma = - \nu\cdot \nabla {\bf1}_\Omega$.

Application 2 (généralistion de la formule des sauts) : Soit $f:\Bbb R^d\to\Bbb R$ une fonction telle que $f_{|\Omega}$ est prolongeable en une application ${\cal C}^1$ sur un voisinage de $\overline \Omega$ et, de même, $f_{|\Bbb R^d\setminus\overline\Omega}$ est prolongeable en une application ${\cal C}^1$ sur un voisinage de $\Bbb R^d\setminus \Omega$. Notons, pour tout $x\in\partial \Omega$, $[f]_{\partial \Omega}(x) = \lim\limits_{t\to0^+}[ f(x+t\nu(x))-f(x-t\nu(x))]$. Alors $$\partial_j ^{\cal D'} \! f = \partial_j ^{{\cal C}^1} \!f + [f]_{\partial\Omega}\,\nu_j \,\sigma$$ où $\partial_j ^{\cal D'}\!f$ désigne la dérivée au sens des distributions sur $\Bbb R^d$ et $\partial_j ^{{\cal C}^1}\!f $ désigne la dérivée classique (définie sur $\Bbb R^d\setminus\partial \Omega$).

Principe de la preuve : Soit $\varphi\in{\cal D}(\Bbb R^d)$. Appliquer l'IPP multidimensionnelle à $f\varphi$ sur $\Omega $ et $\Bbb R^d\setminus\overline\Omega$.

Non, je ne connais pas d'exemple intéressant pour le calcul d'une intégrale.

C'est pas tout simplement la formule de Green-Rieman en dimension $d$?