Algèbre de MacLane

Il s’agirait, selon Irving Kaplansky, d’un ouvrage majeur qui a rendu accessibles à des générations d’étudiants américains, les concepts abstraits jadis réservés aux mathématiciens.

Vu le pedigree des auteurs (l’un d’eux est à l’origine de la théorie des catégories): ça doit être du lourd ! (Selon moi cette fois).
...

Quelques coquilles avaient déjà été corrigées à l'époque. C'est la traduction, les erreurs n'étaient peut-être pas dans le texte d'origine.

Je me souviens des cours de fac où le prof sautait les preuves "triviales" [small](c'est utile pour les débutants :)o )[/small] tandis que dans ce livre les tautologies étaient démontrées...

Le livre est très clair et il y a trois tomes avec le corrigé des exercices mais c'est un style dépouillé et sobre voir monacale.

L'un des premiers ouvrages que j'ai acheté chez Gabay.

Non désolé il est manquant pour le tome 1.

Le cours d'algèbre de Godement fut écrit à la même époque dans le même but.

A noter que Bourbaki a fait le choix presque contradictoire de ne pas parler de catégories.

je réfléchis un peu sur le manière d'enseigner les maths

Regarde les livres d'Alexey Gorodentsev https://www.springer.com/gp/book/9783319452845 en deux tomes.

Oulah mais ça va bcp bcp moins loin le livre de Godement !

Ce sont des livres pour débutant tout en servant de référence.
Et non un concours du nombre de notions par page.

C’est vrai ! Je pensais que ces deux titres étaient un seul et même ouvrage ! $\textbf{A Survey of modern algebra}$ peut-être abordé dès le collège puisqu’il commence avec la divisibilité et les propriétés élémentaires des anneaux commutatifs. Il a l’air vraiment clair et très pédagogique. On y trouve pêle-mêle un peu de géométrie projective, un peu de théorie de Galois ou d’arithmétique transfinie.
Il va jusqu’aux idéaux de polynômes mais il n’aborde le nullstellensatz que sous forme d’exercice.
En algèbre linéaire, il semble très complet en revanche.
...

Hello,

1. Je vois écrit ``je réfléchis un peu sur la manière d'enseigner les maths'' (j'ai changé ``le'' en ``la''). Une idée saugrenue (mais vraiment saugrenue) : en enseignant les maths, non ?

2. Je vois aussi ``Inspiration lafforguienne'' et ``importance centrale de Galois dans l'enclenchement de la restructuration des maths''. Cela veut dire quoi ?

3. Arithmétique transfinie : késaco ?

4. Il est fait également mention du collège. Est ce qu'il n'y a pas un oubli ? Je pense à l'école maternelle.

dès le collège

Tu confonds (et personne n'a relevé) les trois années avant la fac c'est le lycèe en France (et college dans les pays anglo-saxon).

Le deuxième, le Algebra par contre n'est pas un livre d'introduction, c'est un livre de synthèse de tous les thèmes de l'algèbre du niveau L1-M1/M2.

Ca dépend si on a été bien formé et entrainé depuis le collège avec un goût pour les maths le tome 1 est adapté.

Si on a des lacunes à cause de programmes trop légers ni l'envie ni le besoin de faire des maths avec une grande généralité le survey est surement le bon choix.

xax a écrit:

J'ai regardé comment est construit $\mathbb{C}$ [...] Cette construction est indiquée comme modèle des extensions algébriques de corps. Bon je ne vous apprends sans doute pas grand chose, mais je ne m'en souvenais plus.

Savoureux venant de quelqu'un qui nous parle de "l'importance centrale de Galois dans l'enclenchement de la restructuration des maths".

Et donc, comment t'es-tu rendu "compte que lorsque de grands mathématiciens font des efforts, c'est quand même un brin au dessus des bouquins de taupins cités en boucle" ?

Si j'étais vraiment d'humeur moqueuse, je dirais que tu n'as probablement jamais lu un seul livre de maths et que ton avis sur le sujet est aussi pertinent que le mien sur la littérature chinoise du 19e siècle.

@soleil_vert @df en première lecture même pour un très bon élève ça me semble raide (les foncteurs sont définis au premier chapitre ...), sauf s'il est passé d'abord par des bouquins de lycée style Aleph ou AuDirac. Pour un faux débutant comme moi ça va.

Raide où pas, pour un élève bien préparé le tome 1 est un bon choix à condition de se laisser le temps c'est à dire de travailler le livre au delà des "limites" imposées par les examens.

J'ai regardé comment est construit C

Il me semble avoir lu que c'était défini par calcul de...matrices ainsi que par la définition que tu as rappelée, à l'époque au lycée.

Salut Gai-Requin

Je ne vais pas pouvoir répondre à ta question car je ne dispose pas des ouvrages de Mac Lane (et pas MacLane) et Birkhoff. Tiens quelques avis sur ``A Survey of Modern Algebra'' https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/Survey_of_Modern_Algebra/. Et par principe, je ne parle que de ce que je connais, ce qui me limite un tantinet.

Cependant, ces deux là, je pense les avoir consulté à l'époque où j'étais en activité, banal vu que l'on disposait d'une bonne bibliothèque et que je m'intéressais à l'Algèbre (et à l'enseignement, si si). Je ne m'en souviens pas. Par ailleurs, je suis loin d'être comme les autres car je n'ai pas toujours des jugements tranchés sur tel ou tel ouvrage, ou plutôt mes jugements évoluent au cours du temps. Hum, il y a bien un ouvrage dont j'ai dit beaucoup de mal sur le forum, pas la peine d'en remettre une couche.

De plus, tel ou tel avis de ma part n'est pas très important : j'ai toujours trouvé Lang glacial (c'est encore le cas), la typographie des Arnaudiès-Bertin épouvantable (par endroits, faut vraiment se forcer). Mais pas question que je me sépare de cas ouvrages : si j'ai besoin par exemple de démarrer une activité ``groupes binaires polyédraux'', je suis bien content de trouver le Arnaudiès-Bertin ad-hoc, quitte à pester par la suite.

Bref, j'essaie de lire tout ce que je peux et d'en tirer profit. Pas si facile car j'en ai acheté beaucoup trop (en particulier en Algèbre, en Algèbre Commutative, en Théorie de Galois, Courbes Elliptiques, Géométrie Algébrique ...etc...). Pour constater un truc banal : impossible pour moi de tout lire. Je me suis pas mal calmé.

Tiens, en passant, un livre général d'algèbre que j'aime bien (en français) dont on ne parle pas souvent ``Nombres et algèbre'' de Jean-Yves Mérindol. Pourquoi je l'aime bien ? Je ne sais pas : j'aime bien, un point c'est tout.

Pensée (pas profonde) du jour : il faut de tout pour faire un monde.

Plus intéressant pour moi serait de comprendre le pourquoi et le comment des parti-pris de certains auteurs, en particulier des russes. Je ne sais pas si tu possèdes le ``Théorie des Nombres'' de Borevitch & Chafarevitch. 400 pages de résultats profonds en théorie des nombres. Auxquelles il faut ajouter un appendice algébrique de 50 pages. Dont une section ``Notions sur les anneaux commutatifs'', tout à la fin, en définissant la divisibilité dans les anneaux. Si, si. Comment est ce possible ? ``Nous autres'' on ne procéderait jamais comme cela.

Idem d'ailleurs pour le Basic Algebraic Geometry I de Shavarevich (même auteur).

Tiens un qui n'est pas russe : le grand géomètre algébriste Abhyankar (qui a d'ailleurs correspondu avec Serre, mais qui n'a pas correspondu avec Serre ?). As tu vu le parti pris dans l'attachement provenant de https://www.ime.usp.br/~pleite/pub/artigos/abhyankar/abhyankar.pdf. Et j'insiste sur le fait qu'il correspondait avec Serre.

Pensée (pas profonde) du jour (bis) : il faut de tout pour faire un monde.

Références sur les catégories ? Je n'en n'ai pas. Et je ne te cacherais pas que je ne suis pas à l'aise en ce qui concerne les catégories pour les catégories. J'ai besoin d'exemples pertinents sinon je ne joue pas.

As tu entendu parlé des ensembles simpliciaux et de la catégorie notée $\Delta$ ? Ca, pour moi, c'est un vrai exemple.

Un autre exemple que je trouve pertinent : la catégorie des espaces spectraux (au sens de Stone), anti-équivalente à la catégorie des treillis distributifs. Qui permet de remplacer le fondement habituel de la dimension de Krull (non constructif car repose sur les chaînes de fermés irréductibles du spectre premier) par un fondement équivalent (treillis des ouverts quasi-compacts de ce même spectre).

Un dernier exemple : la catégorie des courbes algébriques lisses complètes, anti-équivalente à la catégorie des corps de fonctions algébriques. En ayant bien précisé le contexe, ce qui n'est pas une mince affaire. Même Hartshorne s'est montré petit joueur ici.

Bref, tout cela pour dire que j'ai besoin d'autre chose que des définitions générales.

Cela ne répond pas du tout à ta question ? Possible, mais c'est ma réponse. Même que c'est sans rapport avec la choucroute ? C'est pas faux.

Tiens j'en ajoute au panier à propos des catégories. Dans le Modular Forms and Fermat's Last Theorem que tu possèdes (tu ne l'as pas revendu même s'il est très propre ?), regarde à la page 245 ce que dit Barry Mazur à propos de H. Lenstra, des catégories et des équations diophantiennes. Tout un programme.

J'aime bien la typographie de Arnaudies-Bertin moi !

::o ::o quelle horreur.

La typographie des éditions Ellipses est catastrophique. Les plus belles typographies mathématiques on les retrouve dans les vieux ouvrages. Par exemple dans les livres de maths publiées par Dunod dans les années 1960-1970, ou dans les livres publiées par Masson ou Gauthier-Villars.
Aujourd'hui les éditeurs comme Cassini et Calvage & Mounet produissent de beaux ouvrages de maths du point de vue typographique. Les editions Ellipses font cas à part en négatif. La trilogie des Bertin-Arnaudiès est superbe du point de vue du contenu mais le choix typographique en rend la lecture très très ardue.

$\def\R{\mathbb R}\def\C{\mathbb C}$ Hello

1. Je regrette d'avoir mentionné la typographie des ouvrages de ... Cela donne l'impression que c'est la seule chose qui a été retenue.

2. Xax.

Notations universelles : $\R(t)$ désigne le corps des fractions rationnelles en $t$ sur $\R$ tandis que l'anneau des polynômes se note $\R[t]$. Si bien que la vraie vérité est $\C = \R[t] /\langle t^2 + 1\rangle$.

Veux-tu vraiment dire que l'idéal $(t^2+1)$ est irréductible ?

Je sais que tu n'attends rien des enseignants. Mais je t'invite quand même à bien comprendre pourquoi $\mathbb{R}[t]/(t^2+1)$ est un corps. C'est effectivement très beau.

Je te remercie. Je sais bien ce qu'est un idéal maximal.

Sans ironie aucune, je crois que tu n'as pas vraiment compris ce qui se passe quand on quotiente $\mathbb{R}[t]$ par $(t^2+1)$ et c'est dommage parce que tu passes à côté de quelque chose de joli.

En tout cas, je vais suivre ton conseil et vais me coucher. Bonne nuit.

Révérence gardée, même l'auteur de ce poly peut commettre des fautes de goût.

Le théorème de Krull (qui équivaut à l'axiome du choix) est complètement inutile pour montrer que l'idéal engendré par $t^2+1$ (ou n'importe quel polynôme irréductible) dans $\R[t]$ (ou n'importe quel anneau de polynômes sur un corps) est maximal.

Ça ne tient pas debout ! Pourquoi as-tu besoin d'un acte de foi (l'axiome du choix) pour justifier l'existence de ce que tu as sous les yeux (un idéal maximal) ?