Deux éléments $P(t)$ et $Q(t)$ de $\R[t]$ sont en relation si et seulement si $P(t)-Q(t)$ est un multiple de $t^2+1$.
L’ensemble des multiples de $t^2+1$ étant précisément l’idéal, noté $\langle t^2+1 \rangle$, engendré par $t^2+1$.
Cette relation binaire est une relation d’équivalence et la classe d’équivalence de tout polynôme $P(t)$ de $\R[t]$ contient un unique élément égal au reste de la division de $P(t)$ par $t^2+1$. Ces classes forment l’ensemble $\R[t]/\langle t^2+1 \rangle$ muni des lois quotients.
Pour montrer que l’idéal $\langle t^2+1 \rangle$ est maximal, il faut montrer que $\R[t]/\langle t^2+1 \rangle$ est un corps.
C’est bien le cas puisque si la classe d’équivalence de $P(t)$ est non-nulle, $t^2+1$ étant irréductible sur $\R$, $P(t)$ et $t^2+1$ sont premiers entre eux et $P(t)$ n’est pas un multiple de $t^2+1$.
Par le théorème de Bézout, il existe donc deux polynômes $R(t)$ et $S(t)$ tels que $1=(t^2+1)R(t)+P(t)S(t)$ soit $\overline{1}=\overline{P(t)}.\overline{S(t)}$.
Donc $\overline{P(t)}$ est inversible et $\R[t]/\langle t^2+1 \rangle$ est un corps. Donc $\langle t^2+1 \rangle$ est maximal.
...
@df ça me parait compliqué, l'idée c'était juste d'expliciter une construction de $\mathbb{C}$ selon le choix de Mac Lane par quotient, je reprends :
On admet le théorème : pour tout idéal $I$ sur un anneau commutatif $K$, $I$ est maximal ssi $K/I$ est un corps,
En corollaire si $F$ est un corps et $p$ un polynôme irréductible de l'anneau $F[t]$, ce dernier engende un idéal maximal, l'anneau quotient $F[t]/\langle p\rangle$ est un corps,
L'idéal engendré par le polynôme irréductible sur $\mathbb{R}$ $t²+1$ étant maximal, l'anneau quotient $\mathbb{R}[t]/ \langle t²+1 \rangle$ est un corps,
On appelle ce corps $\mathbb{C}$, et tout élément de $\mathbb{C}$ a une représentation unique par un polynôme du premier degré $a+tb$ - qui est précisément le reste de la division par $t²+1$ - et si $"i"$ est le reste de t, tout élément de $\mathbb{C}$ prend la représentation unique $a+ib$ avec $a,b$ réels,
les opérations d'anneau sont :
$(a+ib)+(a'+ib') =(a+a')+i(b+b')$
$(a+ib)(a'+ib')= (aa'-bb')+i(ab'+a'b) $
$i²=-1$ bousille la possibilité d'avoir un corps ordonné.
Je ne suis pas entièrement satisfait, mais je trouve que l'apparition de $i$ fait moins appel à la magie que dans la plupart des présentations.
Dans les années 80 en TC les présentations faisaient appel à la magie pour introduire $i$, parce qu'il fallait bien mettre à un moment ou l'autre les nombres des matrices ou des couples sur une même ligne pour faire les calculs.
Je suppose que les définitions actuelles ne doivent plus s’embarrasser d'un semblant de construction des objets mathématiques.
Après évidemment on peut détailler tout ça dans un sens ou dans l'autre comme l'a fait df.
@Math Coss c'est un théorème d'existence pour me convaincre que ce que je manipule après existe, j'entends bien que la démo du deuxième point peut se suffire à elle même sans l'invoquer.
Le théorème de Krull est un résultat d'existence général des idéaux maximaux d'un anneau. Il est superflu ici, on peut montrer directement que l'idéal engendré par $t^2+1$ dans $\R[t]$ est maximal.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
On peut aussi signaler la théorie des corps réels clos qui permet d'avoir la totale.
Tout réel positif est un carré et tout polynôme de $\mathbb R[X]$ de degré impair admet une racine réelle donc $\mathbb R$ est un corps réel clos donc $\mathbb C=\mathbb R[ i]$ est algébriquement clos.
On peut s'arrêter au point 3, on a tout dit.
Les opérations de $\mathbb{C}=\mathbb{R}[t]/ \langle t²+1 \rangle$ sont obtenues par transport de structure par la surjection canonique $s$ comme n'importe quel quotient et $i=s(t)$.
C'est pourtant la manière la plus courte de construire rigoureusement $\mathbb C$. Et c'est certainement moins lourd que d'admettre tes points 1 et 2, d'autant que df a redémontré l'implication de ton point 2 qui sert ici.
En corollaire si $F$ est un corps et $p$ un polynôme irréductible de l'anneau $F[t]$, ce dernier engende un idéal maximal, l'anneau quotient $F[t]/\langle p\rangle$ est un corps
Certes, mais tu ne te sers que du sens facile "maximal $\Rightarrow$ le quotient est un corps", donc, à nouveau, le théorème de Krull est complètement hors de propos ici.
Merci Rescassol c'est bien de préciser comme ça. @Poirot oui tu as sans doute raison c'est plus intéressant d'intégrer le déroulé de df.
Et bien voilà. En fait ce n'est pas la mer à boire mais c'est quand même délicat, à part quelques éléments partiels dans le Mac Lane, je n'ai pas trouvé la construction comme ça détaillée qui me parait à la fois la plus naturelle et la plus riche d'un point de vue mathématique. Et aussi d'un point de vue pédagogique ça me parait important de le faire pour $\mathbb{C}$ vu son usage constant.
@Bintje pourquoi tu t'offusques encore :-) ? je ne vois pas l'ombre d'une construction de $\mathbb{C}$ en maths experte, alors qu'on en avait quand même une dans les années 80 (et sans doutes dans les années 70). Et j'ai posé la question pour les prépas si d'aventure un maître taupin lisait le fil; mais bon j'irais regarder dans les programmes à l'occasion.
À l'université je ne sais pas comment ça se passe.
Donc $\overline{P(t)}$ est inversible et $\R[t]/\langle t^2+1 \rangle$ est un corps. Donc $\langle t^2+1 \rangle$ est maximal.
Sauf erreur, il n'est pas nécessaire de passer par là pour montrer que l'idéal $(t^2+1)$ de $\R[t]$ est maximal (je note les idéaux principaux avec des parenthèses et considère pour acquis le fait que $\R[t]$ est un anneau principal).
$(t^2+1) \neq \R[t]$ (par exemple car $(t^2+1)$ ne contient aucun polynôme de degré 1).
Soit $I$ un idéal de $\R[t]$ contenant $(t^2+1)$. Comme $\R[t]$ est un anneau principal, il existe $Q$ dans $\R[t]$ tel que $I = (Q)$. Puisque $I$ contient $(t^2+1)$, $Q$ divise $t^2+1$. Ce dernier étant irréductible dans $\R[t]$, $Q$ est soit une unité de $\R[t]$, soit un polynôme associé à $t^2+1$. Dans le premier cas, $I = \R[t]$ ; dans le second, $I = (t^2+1)$.
Ceci prouve que $(t^2+1)$ est un idéal maximal de $\R[t]$.
En fait ce n'est pas la mer à boire mais c'est quand même délicat, à part quelques éléments partiels dans le Mac Lane, je n'ai pas trouvé la construction comme ça détaillée qui me parait à la fois la plus naturelle et la plus riche d'un point de vue mathématique.
Si tu avais passé un peu de temps à lire les premiers chapitres du premier tome du très taupinal RDO (par exemple au lieu de regarder tes camarades qui n'arrivaient pas à dormir sur le ventre...), tu aurais vu cette construction bien expliquée.
ici, on peut montrer directement que l'idéal engendré
Si le but est de faire une construction en donnant du contenu réutilisable et copieux[small](qui fasse réfléchir et argumenter, et non un argument du genre ça existe d'après l'axiome...)[/small] aux élèves de première et terminale scientifiques avancés le chemin le plus court n'est pas forcément le meilleur.
De toute façon la théorie générale des idéaux sera revue plus tard, on peut considérer la construction de C comme un exemple ou une introduction à ces concepts[small](comme on faisait travailler les vecteurs pendant des années avant de parler des espaces vectoriels)[/small].
@brian j'ai bien le souvenir de Peano et de ZF en première année de DEUG, mais je ne me rappelle pas bien de la construction de $\mathbb{C}$. C'est moi qui ne dormait pas sur le ventre, et ça permettait de lire la nuit à livre ouvert pendant que les taupins se p...aient :-) Enfin, vous connaissez tous la complainte des 2 khâgneux composée par Sartre et Nizan je crois, qui relève la même vérité.
Bon merci pour ta contribution, mais ce que tu dis sur le RDO est inexact : il n'y a pas de construction de $\mathbb{C}$ par quotient, et $i$ est introduit par magie comme dans les présentations de terminale C. Par contre il y a le théorème sur I'anneau maximal I ssi F/I est un corps.
xax. Toi qui découvres seulement maintenant la construction la plus classique de $\mathbb{C}$, tu déplores que ça ne soit pas fait au lycée ou en première année. Mais en fait, tu voudrais définir quoi ($\mathbb{R}$, $\mathbb{R}[t]$ - qui est ce $t$ ? -, $\mathbb{C}$), à quel niveau et dans quel but ?
Personnellement, je n'ai vu tout ça qu'en troisième année. Bien sûr, j'avais déjà appris à travailler avec les polynômes, les nombres réels et les complexes bien avant. Je n'ai jamais été gêné d'en voir une construction rigoureuse que bien plus tard.
PS. Si j'avais été assez mature pour réaliser par moi même qu'on peut légitimement se poser la question de l'existence de ces objets, et bien je serais simplement allé demander à mes profs s'ils pouvaient m'expliquer. Car, contrairement à toi qui n'attends rien d'eux, j'ai de l'estime pour les enseignants.
Bon merci pour ta contribution, mais ce que tu dis sur le RDO est inexact : il n'y a pas de construction de $\mathbb{C}$ par quotient, et $i$ est introduit par magie
Quel culot ! ::o
Tu noteras que la construction de $\C$ donnée dans le RDO tome 1 pp. 183-184 comme reproduit ci-dessous ne commet pas ton erreur consistant à croire que $i$ est le « reste de $t$ ». Dans cette construction, $i$ est un élément de l'anneau quotient $\R[t] / (t^2+1)$ : c'est donc une classe d'équivalence pour la relation de congruence modulo $t^2+1$, et non un représentant d'une telle classe.
Ici dans la plaine, il fait beau, je vais marcher. Mais j'entends bien (essayer de) faire un résumé de ce fil car cela vaut son pesant de cacahuètes. Surtout ne pas modifier vos posts (j'en ai sauvegardé un certain nombre). Je pense que ce fil doit rester dans les annales du Forum avec possibilité de gagner un prix.
Je partirais du post attaché ci-dessous comme fil conducteur.
Autant pour moi Brian je m'étais arrété au début du chapitre qui commence p 133.
@claude quitté, je veux bien que tu te moques, pourquoi pas, je suis peu susceptible et je m'en fiche.
Mais tu devrais aussi te demander dans le temps de ta retraite aussi pourquoi ta génération a laissé s'effondrer le niveau en maths, avec un courage qui force le respect quant à la réaction. Tu peux copier et méditer. Sans rancune ;-)
Pour une construction complète de $\C$ à partir des réels (sans le théorème affirmant qu'il est algébriquement clos, qui n'est rapidement prouvable dans aucune approche de toute façon), il suffit à nouveau (ça fait combien de fois que j'écris ce genre de message) de poser pour tous $a,b,a',b'$:
Les éléments de $\C$ s'appellent les "nombres complexes".
Ensuite, $(*)$ on se laisse aller à utiliser l'abréviation $x := \mathfrak {Re}(x,0)$ pour tout réel $x$.
Par exemple $1=(1,0)$ et $0=(0,0)$ avec cette convention.
On pourra aussi abréger par $pq$ le nombre complexe $p\times q$ quand $p,q\in \C$ comme c'est le cas pour les nombres réels, et noter également $\frac{p}{q}$ le nombre complexe $p/q$.
On peut vérifier toutes les propriétés suivantes, entraînant in fine que $\C$ muni de ces opérations, est un corps (NB: toutes les preuves se font en une ligne de calcul):
pour tous $z,z', z''\in \C$ on a:
i) $z+z'=z'+z$
ii) $(z+z')+z''=z+(z'+z'')$
iii) $zz'=z'z$
iv) $(zz')z''=z(z'z'')$
v) $z+0=z$
vi) $z\times 1 = z$
vii) $z(z'+z'')=zz'+zz''$
viii) si $z'\neq 0$ alors $z' \times \left ( \frac{z}{z'} \right )=z$.
ix) $|zz'|= |z| \times |z'|$
x) avec la convention $(*)$: $z\overline z = |z|^2$
Si $a,b\in \R$, noter que l'on a aussi (ce qui permet d'identifier $\R$ à un sous-corps de $\C$ et d'exploiter pleinement le caractère pratique des abréviations introduites en $(*)$)
xi) $(a+b,0)=(a,0)+(b,0)$
xii) $(a\times b,0)= (a,0)\times (b,0)$
xiii) si $b\neq 0$, $\frac{(a,0)}{(b,0)} = \left (\frac{a}{b},0 \right)$.
xiv) $(a,b)=a+\mathbf i b$
Ca c'était pour la partie "lycéenne" on va dire. Maintenant supposons que le lecteur est en possession du concept d'anneau quotient. l'application $f: x\in \R \mapsto (x,0)\in \C$ est un morphisme d'anneaux en vertu de v), vi), xi), xii) et xiii) ci-dessus. Soit $\varphi$ l'unique morphisme d'anneau de l'anneau de polynômes $\R[t]$ dans $\C$ prolongeant $\varphi$ et envoyant $t$ sur $(0,1)=\mathbf i$. Alors compte tenu de xiv), $\varphi$ est surjectif. On peut démontrer que le noyau $\ker (\varphi)$ de $\varphi$ est l'idéal engendré par $t^2+1$ $(**)$ ce qui montre que $\C$ défini ci-dessus est isomorphe à l'anneau quotient $\R[t]/\langle t^2+1 \rangle$.
Pour aborder $(**)$ sereinement, chercher la rubrique sur les anneaux principaux dans un traité d'algèbre. $\R[t]$ est un tel anneau. En fait tout idéal de $\R[t]$ contient un élément non nul de degré minimal, qu'on peut même supposer unitaire (par multiplication avec l'inverse de son coefficient dominant). Grâce à une division euclidienne de polynômes, on montre que cet élément de degré minimal divise tous les éléments de l'idéal en question. Ledit élément minimal est appelé "générateur" dudit idéal.
Pour ce qui est de $\ker (\varphi)$, un calcul direct montre que $(t^2+1)$ est dans ce noyau. Donc son générateur le divise: il est de degré $0,1$ ou $2$ ce qui ne laisse pas beaucoup de choix (en fait $t^2+1$ est irréductible sinon il s'annulerait car ses deux facteurs non constants seraient de degré $1$).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
J’ai hâte de lire le résumé de Claude ! À quelle sauce on ( je ?) va être mangé ? J’en frémis d’avance. J’espère que sa promenade dans la plaine ensoleillée va le rendre un peu magnanime.
Pour le prix à gagner: je verrais bien une montre-calculatrice CASIO. J’en avais une dans les années 80.
...
Pour faire bonne mesure, pourquoi ne pas définir $\mathbb C$ comme la sous-algèbre de $M_2(\mathbb R)$ des matrices de la forme $\begin{pmatrix} a&-b\\b&a\end{pmatrix}$ ?
@GaBuZoMeu Aleph avait une approche comme ça, la version lycéenne de Foys était celle d'Audirac.
Bon et bien merci Foys (1), voilà, mine de rien on se rapproche de ce dont se moque Claude à propos de mon resucée du texte de Lafforgue : on peut poursuivre sur le caractère galoisien de l'extension $\mathbb C / \mathbb R$ , la théorie de Galois étant le dernier chapitre du Mac Lane et Birkhoff :-D
@brian bon finalement tu as changé ma perception du RDO, en fait c'est un peu la méthode Boscher des maths, assez aride et on n'a pas envie d'apprendre dessus, mais on y revient parce que toute la combinatoire des lettres y est soigneusement répertoriée.
(1) tous les deux ans en moyenne, j'ai retrouvé un fil sur les vecteurs au secondaire.
Le problème avec les idées galoisiennes, c'est qu'elles sont postérieures aux nombres complexes qui datent de la renaissance. Quant à la théorie de Galois de l'extension algébrique $\C/\R$, elle est peu intéressante...
A mon avis mieux vaut réserver l'exposition de ces notions à un public plus mûr (comprenez: en possession maîtrisée de la théorie des groupes et de l'algèbre de base des anneaux et des corps. Quoiqu'Arnold avait construit une introduction pédagogique originale: https://www.decitre.fr/livres/le-theoreme-d-abel-9782842252519.html cependant il ne faut jamais oublier qu'on parle d'un auteur qui a beaucoup de recul et de maîtrise technique et que le public était probablement trié sur le volet).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Je plaisantais déjà que mon réembrayage sur des maths sérieuses patine encore gravement après 30 berges d'abstinence, mais tu vois par contre j'ai commandé le bouquin que tu évoques, il y a longtemps sa sortie a du être repoussée de 6 mois au moins !
Je ne sais pas si ça a été dit, mais en prépa on m'avait construit C simplement en donnant les lois de somme et produit sur les couples de réels. Construction a posteriori mais qui se comprend bien en début d'études. Évidemment on perd la profondeur et la simplicité de la construction par quotient, qui nous permet d'expliquer pourquoi faire venir $i$ de nulle part est efficace, mais on peut travailler avec.
Edit : Poirot, j'ai toujours été nul en théorie des anneaux et voilà trois ans que je n'y ai plus touché. Cependant je ne vois pas en quoi "le quotient est un corps implique idéal maximal" nécessite Krull. La preuve que j'ai en en tête est probablement fausse du coup (s'il y a un $a$ dans un idéal contenant $I$, et n'étant pas dans $I$, vu que le quotient est un corps $a$ admet un inverse modulo $I$, le produit de $a$ par cet inverse est dans l'idéal, donc un élément de $1 + I$ est dans l'idéal et l'unité y est). Peux-tu m'éclairer ? Merci beaucoup.
La présentation de $\C$ comme $\R[X]/(X^2+1)$ correspond exactement à la manière dont $\C$ a été introduit à l'origine : l'équation $x^2+1=0$ n'a pas de racine, on en rajoute une. L'inconvénient est que les étudiants de première année (que ce soit de fac ou de prépa) ne comprennent plus ce qu'est un espace quotient, donc on ne fait pas comme ça.
L'idée de GaBuZoMeu de présenter $\C$ comme sous-algèbre de $M_2(\R)$ a l'avantage d'identifier directement $\C$ à l'ensemble des similitudes directes du plan préservant l'origine, mais le désavantage de nécessiter d'introduire au préalable l'algèbre des matrices.
La présentation de Foys $\C=\R^2$ ne nécessite pas de connaissances particulières et était utilisée dans les années 1980 mais elle est artificielle et calculatoire, il n'y a plus beaucoup d'élèves/étudiants de niveau terminale ou bac+1 qui a le courage de suivre tous les calculs rébarbatifs de nos jours.
Bref il n'y a aucune bonne solution, c'est pourquoi on ne construit plus $\C$ en cours...
C'est la $n$-ième discussion sur la construction-de-$\C$. Le mieux c'est de ne pas le construire.
Il y a des millions de discussions sur les racines des fonctions réelles continues prenant des valeurs strictement négatives et strictement positives. Le mieux, c'est de ne pas les construire. Donc parlons du "plus petit $x$ dans $[0,1]$ tel que la fonction $f$ s'annule en $x$" tout en refusant délibérément de démontrer son existence.
Choquant? Pourtant c'est le même type de propos.
En plus je ne comprends pas cette hostilité contre une construction qui pour le coup est triviale.
Construire $\R$ à partir de coupures ou de suites rationnelles est bien plus technique. Ou même $\Q$ à partir de $\Z$.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Si on veut présenter à des élèves de terminale les nombres complexes avec une construction qui ne soit pas parachutée (dans une vision purement utilitariste) comme c'était le cas dans les années 80, il faut commencer par la question historique et donc parler des équations algébriques de petit degrée. Les nombres imaginaires furent inventés pour résoudre de manière formelle certains types d'équations algébriques. C'est cela leur raison d'être. C'est uniquement dans un deuxième temps qu'on s'est intéressé à leur donner une existence mathématique propre. Donc construction comme il se doit etc... Mais si on introduit ex nihilo les matrices, ou les couples de réels muni de deux lois de compositions tarabiscotées (pour que ça marche a posteriori) les élèves vont dire "oui ok mais on comprend pas d'où ça vient". Les mathématiciens ont-ils eu l'inspiration divine ou pas quand ils ont créé les nombres imaginaires ? Il faut leur donner la motivation véritable de ces nombres, et ce n'est pas pour faire du calcul matriciel caché, mais bien pour essayer de résoudre des équations algébriques.
J'ai fait court parce que j'ai déjà exposé maintes fois mon point de vue, il faudrait retrouver les multiples discussions que nous avons eues sur ces « constructions » à quoi certains ici sont pieusement attachés, mais qui d'après moi sont sans intérêt pour notre enseignement jusqu'à Bac+2.
L'objection de Foys ne tient pas. Si l'on reste dans le domaine réel et qu'on parle du plus petit élément d'un ensemble de réels, bien sûr il faut prouver que ce plus petit élément existe. Ce n'est pas la « construction » d'un objet mathématique nouveau.
Les mathématiciens italiens et français de la fin du XV-ième siècle, début du XVI-ième, avaient justement besoin d'objets mathématiques nouveaux, nombre négatifs ou nombres imaginaires, pour résoudre des équations algébriques, eh bien ils les ont créés ex nihilo par la force de leur génie. Cinq cents ans après, nous pouvons lire ceci comme la construction d'un anneau-quotient, mais ils n'en étaient pas conscients.
Bizarrement, nous vivons encore, cinquante ans après, sous l'esprit « maths-modernes » qui voulait que chaque professeur de collège soit un mini-Bourbaki chargé de dérouler toute La Mathématique en un enchaînement logique impeccable. On cassait même les pieds aux élèves de Cinquième en « construisant » $\mathbb Z$ avec des couples, pendant des heures, perdues pour la maîtrise de la pratique du calcul, qui est le vrai objectif à cet âge.
La question historique n'a rien à voir avec le bien fondé d'une théorie mathématique. De plus elle amène parfois les gens à livrer une vision fantasmée ou fausse de l'histoire des idées.
Moi dans mon cheminement personnel je serai toujours reconnaissant envers Vladimir Arnold d'avoir violé la progression historique dans le chapitre de son livre "mathematical methods of classical mechanics" consacré à la courbure. En effet dans l'histoire de la courbure en géométrie riemannienne, le transport parallèle a été inventé par Levi-Civita après les règles de calcul des dérivées covariantes, et aussi après la parution de la relativité générale.
Dans le livre cité plus haut, Arnold introduit le transport parallèle de manière intuitive, puis définit la dérivée covariante avec, puis une forme différentielle en dimension 2 pour la courbure des surfaces et traite Gauss-Bonnet dans la foulée.
Bref on voyage à rebours du temps et c'est très bien.
L'histoire des maths est presque entièrement un brouillon, il n'y a pas de "démarche" "amenant" les idées de façon prévisible, les gens avancent dans le cambouis, souvent sans succès. Cette idée de justification historique c'est du pipeau pédagogiste total!!!
La naissance des nombres complexes est un peu olé-olé dans la même veine, des gens étaient à la renaissance en compétition pour résoudre efficacement des équations polynomiales et lesdits nombres, dont la paternité est inconnue (il y a toujours controverse si je me souviens bien et comment pourra-t-on trancher; Le papa est-il Tartaglia? Viète? Scipione Del Ferro?) étaient en réalité un ingrédient confidentiel de la solution, quant à l'état d'esprit qu'a eu l'auteur à ce moment-là, comment peut-on savoir, j'ai l'impression qu'on lui prête anachroniquement le regard d'aujourd'hui quand on dit mettons qu'il souhaite "étendre les nombres réels" et autres formulations strictement contemporaines comme celles avec l'anneau quotient.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
C'est très intéressant ce que tu dis Foys, et je penche plutôt de ton côté quant à la façon dont le corps des complexes a été introduit à l'origine. Ce corps, pour Tartaglia et ses amis, n'existait tout simplement pas. Ils ont manipulés quelques nombres - des trucs plutôt - dans l'unique objectif de résoudre certaines équations. Parce que ça marchait. Mais ils ne sont pas allés plus loin, ce n'était pas leur affaire.
Une création ex nihilo, comme le prétend Chaurien ? Ben non, car il n'y a pas eu de création du tout.
Rien n'empêche non plus de penser que pour deviner des solutions nouvelles qui sont théoriquement fortement structurées, les cerveaux des compétiteurs et des mathématiciens de l'époque aient eu des amorces de ces structures pour penser les nouveautés. Quand je lis des articles sur Galois j'ai aussi ce sentiment.
Chaurien pointe quelque chose d'intéressant, les sujets d'agreg semblent clafis d'exos avec des quotients que les récipiendaires n'enseigneront pas !
@RLC : Ta démonstration fonctionne, je ne sais pas ce que je suis allé inventer.
On peut d'ailleurs aller un peu plus vite et obtenir l'équivalence en une ligne : les idéaux de $A/I$ sont de la forme $J/I$ avec $I \subset J$. Or $A/I$ est un corps si et seulement si les seuls idéaux de $A/I$ sont $(0)$ et $A/I$ si et seulement si les seuls idéaux de $A$ contenant $I$ sont $I$ et $A$.
Il est évident qu'aux XV-ième et XVI-ième siècle européens, les calculs qui s'autorisaient des nombres préalablement inexistants représentaient une création nouvelle, hardie et géniale, je ne vois même pas comment on peut nier ceci. Mon propos était seulement de mettre en garde contre les interprétations anachroniques d'inventions anciennes en termes de découvertes ultérieures. C'est en marge de la discussion concernant la construction de $\mathbb C$.
Pour en revenir à cette question de la construction des ensembles de nombres, il me semble qu'on en a déjà parlé plusieurs fois sur ce forum, et on pourrait retrouver ça. Je suis toujours étonné de voir l'importance qu'on accorde à la construction des ensembles de nombres, comme si tout l'intérêt de ces ensembles et toute la sainte rigueur du discours mathématique étaient concentrés sur cette question originelle. Alors que le véritable intérêt de ces nombres c'est d'abord ce qu'on peut faire avec. Une pratique des problèmes qui les concernent aura tôt fait de convaincre l'étudiant de leur existence.
Bien sûr la question de la construction est mathématiquement intéressante, pourvu qu'elle vienne en son temps, le niveau de l'agrégation est sans doute indiqué. Un agrégé ne saurait ignorer les constructions des ensembles de nombres et la démonstration de l'équivalence des diverses constructions. J'ai déjà signalé un très beau livre qui rassemble la plupart des choses qu'on peut souhaiter connaître à ce sujet :
H.-D. Ebbinghaus & alii, Numbers, Springer-Verlag 1991,
traduction française par François Guénard, Les nombres, leur histoire, leur place et leur rôle de l'Antiquité aux recherches actuelles, Vuibert 1998.
Merci pour ta référence Chaurien pour Ebbinghaus, la construction par quotient est de Cauchy après une lecture rapide.
Faut-il enseigner cela en L3 plutôt qu'en L1, franchement quand même sans être sans doute très difficile, c'est délicat, je dirais fin L1 / début L2 parce que la construction de $\mathbb{C}$ mobilise tout ce qu'un étudiant devrait savoir à cette date et que c'est quand même bien riche et intéressant. Par contre je suis d'accord que c'est la manipulation des nombres complexes qui est importante.
Pour en revenir aux ouvrages de Mac Lane et Birkhoff, je suis dans la même situation que Raskolnikov : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,2165450,2165584#msg-2165584.
J'ai aussi depuis longtemps l'édition française en deux tomes, accompagnés des trois livres de corrigés d'exercices mentionnés par Eric mais je ne les avais pas ouverts depuis des années, car je privilégiais mes obligations professionnelles, et - hélas ! - l'algèbre est la parente pauvre des études mathématiques jusqu'à Bac+2 depuis au moins quarante ans.
Comme l'ont dit d'autres intervenants, il y a deux ouvrages importants : A Survey of Modern Algebra, et Algebra. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/Survey_of_Modern_Algebra/ https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/MacLane_books/
C'est ce dernier qui a fait l'objet d'une traduction française par Jean Weil en 1970 et 1971, mais attention, il a connu plusieurs éditions, avec de notables modifications. La troisième et dernière édition en anglais, de 1988, réimprimée en 1999, diffère de l'édition française, traduite de la première édition en anglais (1967).
En 1996 Jacques Gabay a donné une réimpression de l'édition française, plus les trois livres de corrigés d'exercices, réunissant ces cinq livres en un seul, dans ce format « oblong » dont il est fier (?), qui consiste à imprimer deux pages sur une, avec réduction du format. On a ainsi près de 1400 pages de mathématiques pour 102 €, avec pour une fois une reliure en carton fort, plus costaude que pour d'autres productions de cet éditeur. Bon, chacun mesurera avantages et inconvénients d'une telle édition.
Bonne journée.
Fr. Ch.
22/01/2021
Mac Lane ou MacLane ou McLane ?
Donald Bradford McLane, né en 1882, a épousé Winifred Saunders en 1908, et leur premier fils, né en 1909, est Leslie Saunders MacLane, nom changé peu après en Saunders MacLane, celui dont il est question ici. Quelques années après ils ont changé leur nom en Mac Lane.
Source : https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/MacLane/
Merci Chaurien; une précision sur l'édition française : ce n'est pas la traduction stricto sensu de l'édition de 67 mais une version qui a servi pour les 2e et 3e éditions en anglais avec notamment l'adjonction d'un chapitre complet sur la théorie de Galois qui n'existait pas pour la 1ere édition. À noter que les ajouts ont été faits à la demande française et les auteurs les ont aimablement fournis.
On trouve assez facilement aux puces les 2 volumes - parfois pas cher du tout si on n'est pas pressé - et les exos, "en cherchant bien" sous forme numérique.
Sans critique de fond de l'éditeur J. Gabay, je ne suis pas fan de la réduction de format, j'ai déjà acheté un ouvrage oblong comme ça à un âge où je n'avais pas encore besoin de lunettes de lecture c'était pénible. Le pour : tout avoir sur un seul volume et le soutien d'un éditeur méritoire.
Sur le fond mon avis personnel de faux débutant : l'ouvrage est d'un abord raide, très dense, bien que clair et d'une rédaction manifestement soignée, avec peu d'erreurs de typo, et d'une exceptionnelle richesse. Pour les amateurs comme moi, avoir une référence sous la main avec des bases bien plus détaillées comme le RDO (dont j'ai découvert certaines vertus - et qui contient plus que mon cher vieux Dixmier -) n'est pas un luxe.
@FdP pour parler gros sous, pour ma pomme : 5€ le premier tome, 14€ le 2e sur l'ex priceminister, avec le port 25€ les 2 tomes. Si tu regardes aujourd'hui le même premier tome varie de 7€ à 35€.
C'est un bouquin quasiment encyclopédique (j'en possède une édition papier, la seconde édition qui n'est pas la dernière parue).
Cela traite de sujets élémentaires en algèbre et il y a des trucs plus avancés comme de l'algèbre homologique et de la cohomologie des groupes il y a beaucoup d'exemples et d'exercices.
C'est rigolo les auteurs sont de l'université du Vermont comme Bernie Sanders, c'est pour ça que tu l'as choisi :-) ?
Par rapport à Mac Lane il traite en plus homology/cohomology. J'ai une vague idée de ce que c'est mais avec un Deug et 120h de maths pour l'ingénieurs il y a 30 ans je te fais pas un dessin sur mon niveau réel et ce que je peux aborder de façon réaliste.
Bon merci quand même je garde sous le coude, mais en fait j'ai peu de temps et je voulais juste revenir au niveau conceptuel sur des trucs qui avec le recul me paraissent demander un peu d'explication, et je vais travailler avec un petit nombre de bouquins là en algèbre Mac Lane + RDO pour le basique que j'ai oublié (merci Brian ...) je pense que c'est bien.
Le cas de la construction de C à la Cauchy avec le vocabulaire d'aujourd'hui reprise (très raide en quelques lignes...) dans le Mac Lane est intéressant parce qu'en fait c'est la meilleure je pense, elle fait pas contreplaquée, et on ressent bien l'origine des objets mathématiques. Je pense que c'est quand même mieux que de dire $i=(0,1)$ et les règles pour arriver à $i^2=-1$. L'idée c'est d'éviter l'introduction magique de $i$.
Après toujours pour revenir sur des trucs basiques, il y a un chapitre sur les anneaux bien sympa avec l'algo d'Euclide.
Bon j'aime bien ce livre même si c'est à la limite de ce que je peux aborder.
XAX:
Tout ce que je lis ou m'intéresse ne tourne pas autour de ça (tu n'es pas obligé de le savoir mais voilà qui est écrit).
Il était sur un rayonnage de chez "Bébert"* je l'ai feuilleté et j'ai trouvé chouette le contenu de ce bouquin. J'étais un peu en fond à l'époque je l'ai acheté. (il n'était certainement pas neuf). Près de 900 pages tout de même.
*: j'y passais une fois par semaine à une certaine époque. Je visitais tous, ou presque, les marchands de livres (Boulinier, "Bébert", "Bébert jeune", Eyrolles... du quartier. Je n'ai plus mis les pieds dans le quartier latin depuis des mois salop.rie de virus !
C'est un bouquin qui est sûrement un classique aux USA et dans le monde Anglo-saxon. Il en est à sa troisième édition si j'ai bien vu. Ce livre est une sorte de bible (et comme déjà mentionné une source d'exercices).
Après toujours la rubrique bouquin et algèbre, il y a Artin fils qui a écrit un bouquin apprécié dont Cassini s'était proposé à la traduction hélas sans succès.
Réponses
L’ensemble des multiples de $t^2+1$ étant précisément l’idéal, noté $\langle t^2+1 \rangle$, engendré par $t^2+1$.
Cette relation binaire est une relation d’équivalence et la classe d’équivalence de tout polynôme $P(t)$ de $\R[t]$ contient un unique élément égal au reste de la division de $P(t)$ par $t^2+1$. Ces classes forment l’ensemble $\R[t]/\langle t^2+1 \rangle$ muni des lois quotients.
Pour montrer que l’idéal $\langle t^2+1 \rangle$ est maximal, il faut montrer que $\R[t]/\langle t^2+1 \rangle$ est un corps.
C’est bien le cas puisque si la classe d’équivalence de $P(t)$ est non-nulle, $t^2+1$ étant irréductible sur $\R$, $P(t)$ et $t^2+1$ sont premiers entre eux et $P(t)$ n’est pas un multiple de $t^2+1$.
Par le théorème de Bézout, il existe donc deux polynômes $R(t)$ et $S(t)$ tels que $1=(t^2+1)R(t)+P(t)S(t)$ soit $\overline{1}=\overline{P(t)}.\overline{S(t)}$.
Donc $\overline{P(t)}$ est inversible et $\R[t]/\langle t^2+1 \rangle$ est un corps. Donc $\langle t^2+1 \rangle$ est maximal.
...
$(a+ib)+(a'+ib') =(a+a')+i(b+b')$
$(a+ib)(a'+ib')= (aa'-bb')+i(ab'+a'b) $
Je ne suis pas entièrement satisfait, mais je trouve que l'apparition de $i$ fait moins appel à la magie que dans la plupart des présentations.
Dans les années 80 en TC les présentations faisaient appel à la magie pour introduire $i$, parce qu'il fallait bien mettre à un moment ou l'autre les nombres des matrices ou des couples sur une même ligne pour faire les calculs.
Je suppose que les définitions actuelles ne doivent plus s’embarrasser d'un semblant de construction des objets mathématiques.
Après évidemment on peut détailler tout ça dans un sens ou dans l'autre comme l'a fait df.
Tout réel positif est un carré et tout polynôme de $\mathbb R[X]$ de degré impair admet une racine réelle donc $\mathbb R$ est un corps réel clos donc $\mathbb C=\mathbb R[ i]$ est algébriquement clos.
On peut s'arrêter au point 3, on a tout dit.
Les opérations de $\mathbb{C}=\mathbb{R}[t]/ \langle t²+1 \rangle$ sont obtenues par transport de structure par la surjection canonique $s$ comme n'importe quel quotient et $i=s(t)$.
Cordialement,
Rescassol
C'est pourtant la manière la plus courte de construire rigoureusement $\mathbb C$. Et c'est certainement moins lourd que d'admettre tes points 1 et 2, d'autant que df a redémontré l'implication de ton point 2 qui sert ici.
Certes, mais tu ne te sers que du sens facile "maximal $\Rightarrow$ le quotient est un corps", donc, à nouveau, le théorème de Krull est complètement hors de propos ici.
Mais quel culot !
@Poirot oui tu as sans doute raison c'est plus intéressant d'intégrer le déroulé de df.
Et bien voilà. En fait ce n'est pas la mer à boire mais c'est quand même délicat, à part quelques éléments partiels dans le Mac Lane, je n'ai pas trouvé la construction comme ça détaillée qui me parait à la fois la plus naturelle et la plus riche d'un point de vue mathématique. Et aussi d'un point de vue pédagogique ça me parait important de le faire pour $\mathbb{C}$ vu son usage constant.
@Bintje pourquoi tu t'offusques encore :-) ? je ne vois pas l'ombre d'une construction de $\mathbb{C}$ en maths experte, alors qu'on en avait quand même une dans les années 80 (et sans doutes dans les années 70). Et j'ai posé la question pour les prépas si d'aventure un maître taupin lisait le fil; mais bon j'irais regarder dans les programmes à l'occasion.
À l'université je ne sais pas comment ça se passe.
La fin du message de df dit ceci :
Sauf erreur, il n'est pas nécessaire de passer par là pour montrer que l'idéal $(t^2+1)$ de $\R[t]$ est maximal (je note les idéaux principaux avec des parenthèses et considère pour acquis le fait que $\R[t]$ est un anneau principal).
- $(t^2+1) \neq \R[t]$ (par exemple car $(t^2+1)$ ne contient aucun polynôme de degré 1).
- Soit $I$ un idéal de $\R[t]$ contenant $(t^2+1)$. Comme $\R[t]$ est un anneau principal, il existe $Q$ dans $\R[t]$ tel que $I = (Q)$. Puisque $I$ contient $(t^2+1)$, $Q$ divise $t^2+1$. Ce dernier étant irréductible dans $\R[t]$, $Q$ est soit une unité de $\R[t]$, soit un polynôme associé à $t^2+1$. Dans le premier cas, $I = \R[t]$ ; dans le second, $I = (t^2+1)$.
Ceci prouve que $(t^2+1)$ est un idéal maximal de $\R[t]$.Si le but est de faire une construction en donnant du contenu réutilisable et copieux[small](qui fasse réfléchir et argumenter, et non un argument du genre ça existe d'après l'axiome...)[/small] aux élèves de première et terminale scientifiques avancés le chemin le plus court n'est pas forcément le meilleur.
De toute façon la théorie générale des idéaux sera revue plus tard, on peut considérer la construction de C comme un exemple ou une introduction à ces concepts[small](comme on faisait travailler les vecteurs pendant des années avant de parler des espaces vectoriels)[/small].
Bon merci pour ta contribution, mais ce que tu dis sur le RDO est inexact : il n'y a pas de construction de $\mathbb{C}$ par quotient, et $i$ est introduit par magie comme dans les présentations de terminale C. Par contre il y a le théorème sur I'anneau maximal I ssi F/I est un corps.
Personnellement, je n'ai vu tout ça qu'en troisième année. Bien sûr, j'avais déjà appris à travailler avec les polynômes, les nombres réels et les complexes bien avant. Je n'ai jamais été gêné d'en voir une construction rigoureuse que bien plus tard.
PS. Si j'avais été assez mature pour réaliser par moi même qu'on peut légitimement se poser la question de l'existence de ces objets, et bien je serais simplement allé demander à mes profs s'ils pouvaient m'expliquer. Car, contrairement à toi qui n'attends rien d'eux, j'ai de l'estime pour les enseignants.
Tu noteras que la construction de $\C$ donnée dans le RDO tome 1 pp. 183-184 comme reproduit ci-dessous ne commet pas ton erreur consistant à croire que $i$ est le « reste de $t$ ». Dans cette construction, $i$ est un élément de l'anneau quotient $\R[t] / (t^2+1)$ : c'est donc une classe d'équivalence pour la relation de congruence modulo $t^2+1$, et non un représentant d'une telle classe.
Ici dans la plaine, il fait beau, je vais marcher. Mais j'entends bien (essayer de) faire un résumé de ce fil car cela vaut son pesant de cacahuètes. Surtout ne pas modifier vos posts (j'en ai sauvegardé un certain nombre). Je pense que ce fil doit rester dans les annales du Forum avec possibilité de gagner un prix.
Je partirais du post attaché ci-dessous comme fil conducteur.
@claude quitté, je veux bien que tu te moques, pourquoi pas, je suis peu susceptible et je m'en fiche.
Mais tu devrais aussi te demander dans le temps de ta retraite aussi pourquoi ta génération a laissé s'effondrer le niveau en maths, avec un courage qui force le respect quant à la réaction. Tu peux copier et méditer. Sans rancune ;-)
1°) $\C := \R^2$
2°) $(a,b)+(a',b'):=(a+a',b+b')$
3°) $(a,b)-(a',b'):= (a-a', b-b')$
4°) $(a,b)\times (a',b') := (aa'-bb', ab'+a'b)$
5°) $\overline{a,b} := (a,-b)$
6°) $|(a,b)|:= \sqrt{a^2+b^2}$
7°) $(a,b) / (a',b'):= \left (\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2} \right)$
8°) $\mathbf i := (0,1)$
9°) $\mathfrak {Re} (a,b):=a$
10°) $\mathfrak {Im} (a,b) :=b$
Les éléments de $\C$ s'appellent les "nombres complexes".
Ensuite, $(*)$ on se laisse aller à utiliser l'abréviation $x := \mathfrak {Re}(x,0)$ pour tout réel $x$.
Par exemple $1=(1,0)$ et $0=(0,0)$ avec cette convention.
On pourra aussi abréger par $pq$ le nombre complexe $p\times q$ quand $p,q\in \C$ comme c'est le cas pour les nombres réels, et noter également $\frac{p}{q}$ le nombre complexe $p/q$.
On peut vérifier toutes les propriétés suivantes, entraînant in fine que $\C$ muni de ces opérations, est un corps (NB: toutes les preuves se font en une ligne de calcul):
pour tous $z,z', z''\in \C$ on a:
i) $z+z'=z'+z$
ii) $(z+z')+z''=z+(z'+z'')$
iii) $zz'=z'z$
iv) $(zz')z''=z(z'z'')$
v) $z+0=z$
vi) $z\times 1 = z$
vii) $z(z'+z'')=zz'+zz''$
viii) si $z'\neq 0$ alors $z' \times \left ( \frac{z}{z'} \right )=z$.
ix) $|zz'|= |z| \times |z'|$
x) avec la convention $(*)$: $z\overline z = |z|^2$
Si $a,b\in \R$, noter que l'on a aussi (ce qui permet d'identifier $\R$ à un sous-corps de $\C$ et d'exploiter pleinement le caractère pratique des abréviations introduites en $(*)$)
xi) $(a+b,0)=(a,0)+(b,0)$
xii) $(a\times b,0)= (a,0)\times (b,0)$
xiii) si $b\neq 0$, $\frac{(a,0)}{(b,0)} = \left (\frac{a}{b},0 \right)$.
xiv) $(a,b)=a+\mathbf i b$
Ca c'était pour la partie "lycéenne" on va dire. Maintenant supposons que le lecteur est en possession du concept d'anneau quotient. l'application $f: x\in \R \mapsto (x,0)\in \C$ est un morphisme d'anneaux en vertu de v), vi), xi), xii) et xiii) ci-dessus. Soit $\varphi$ l'unique morphisme d'anneau de l'anneau de polynômes $\R[t]$ dans $\C$ prolongeant $\varphi$ et envoyant $t$ sur $(0,1)=\mathbf i$. Alors compte tenu de xiv), $\varphi$ est surjectif. On peut démontrer que le noyau $\ker (\varphi)$ de $\varphi$ est l'idéal engendré par $t^2+1$ $(**)$ ce qui montre que $\C$ défini ci-dessus est isomorphe à l'anneau quotient $\R[t]/\langle t^2+1 \rangle$.
Pour aborder $(**)$ sereinement, chercher la rubrique sur les anneaux principaux dans un traité d'algèbre. $\R[t]$ est un tel anneau. En fait tout idéal de $\R[t]$ contient un élément non nul de degré minimal, qu'on peut même supposer unitaire (par multiplication avec l'inverse de son coefficient dominant). Grâce à une division euclidienne de polynômes, on montre que cet élément de degré minimal divise tous les éléments de l'idéal en question. Ledit élément minimal est appelé "générateur" dudit idéal.
Pour ce qui est de $\ker (\varphi)$, un calcul direct montre que $(t^2+1)$ est dans ce noyau. Donc son générateur le divise: il est de degré $0,1$ ou $2$ ce qui ne laisse pas beaucoup de choix (en fait $t^2+1$ est irréductible sinon il s'annulerait car ses deux facteurs non constants seraient de degré $1$).
Pour le prix à gagner: je verrais bien une montre-calculatrice CASIO. J’en avais une dans les années 80.
...
Bon et bien merci Foys (1), voilà, mine de rien on se rapproche de ce dont se moque Claude à propos de mon resucée du texte de Lafforgue : on peut poursuivre sur le caractère galoisien de l'extension $\mathbb C / \mathbb R$ , la théorie de Galois étant le dernier chapitre du Mac Lane et Birkhoff :-D
@brian bon finalement tu as changé ma perception du RDO, en fait c'est un peu la méthode Boscher des maths, assez aride et on n'a pas envie d'apprendre dessus, mais on y revient parce que toute la combinatoire des lettres y est soigneusement répertoriée.
(1) tous les deux ans en moyenne, j'ai retrouvé un fil sur les vecteurs au secondaire.
A mon avis mieux vaut réserver l'exposition de ces notions à un public plus mûr (comprenez: en possession maîtrisée de la théorie des groupes et de l'algèbre de base des anneaux et des corps. Quoiqu'Arnold avait construit une introduction pédagogique originale: https://www.decitre.fr/livres/le-theoreme-d-abel-9782842252519.html cependant il ne faut jamais oublier qu'on parle d'un auteur qui a beaucoup de recul et de maîtrise technique et que le public était probablement trié sur le volet).
Edit : Poirot, j'ai toujours été nul en théorie des anneaux et voilà trois ans que je n'y ai plus touché. Cependant je ne vois pas en quoi "le quotient est un corps implique idéal maximal" nécessite Krull. La preuve que j'ai en en tête est probablement fausse du coup (s'il y a un $a$ dans un idéal contenant $I$, et n'étant pas dans $I$, vu que le quotient est un corps $a$ admet un inverse modulo $I$, le produit de $a$ par cet inverse est dans l'idéal, donc un élément de $1 + I$ est dans l'idéal et l'unité y est). Peux-tu m'éclairer ? Merci beaucoup.
L'idée de GaBuZoMeu de présenter $\C$ comme sous-algèbre de $M_2(\R)$ a l'avantage d'identifier directement $\C$ à l'ensemble des similitudes directes du plan préservant l'origine, mais le désavantage de nécessiter d'introduire au préalable l'algèbre des matrices.
La présentation de Foys $\C=\R^2$ ne nécessite pas de connaissances particulières et était utilisée dans les années 1980 mais elle est artificielle et calculatoire, il n'y a plus beaucoup d'élèves/étudiants de niveau terminale ou bac+1 qui a le courage de suivre tous les calculs rébarbatifs de nos jours.
Bref il n'y a aucune bonne solution, c'est pourquoi on ne construit plus $\C$ en cours...
Plus précisément:
cf:$\textbf{Bourbaki}$
...
Il y a des millions de discussions sur les racines des fonctions réelles continues prenant des valeurs strictement négatives et strictement positives. Le mieux, c'est de ne pas les construire. Donc parlons du "plus petit $x$ dans $[0,1]$ tel que la fonction $f$ s'annule en $x$" tout en refusant délibérément de démontrer son existence.
Choquant? Pourtant c'est le même type de propos.
En plus je ne comprends pas cette hostilité contre une construction qui pour le coup est triviale.
Construire $\R$ à partir de coupures ou de suites rationnelles est bien plus technique. Ou même $\Q$ à partir de $\Z$.
L'objection de Foys ne tient pas. Si l'on reste dans le domaine réel et qu'on parle du plus petit élément d'un ensemble de réels, bien sûr il faut prouver que ce plus petit élément existe. Ce n'est pas la « construction » d'un objet mathématique nouveau.
Les mathématiciens italiens et français de la fin du XV-ième siècle, début du XVI-ième, avaient justement besoin d'objets mathématiques nouveaux, nombre négatifs ou nombres imaginaires, pour résoudre des équations algébriques, eh bien ils les ont créés ex nihilo par la force de leur génie. Cinq cents ans après, nous pouvons lire ceci comme la construction d'un anneau-quotient, mais ils n'en étaient pas conscients.
Bizarrement, nous vivons encore, cinquante ans après, sous l'esprit « maths-modernes » qui voulait que chaque professeur de collège soit un mini-Bourbaki chargé de dérouler toute La Mathématique en un enchaînement logique impeccable. On cassait même les pieds aux élèves de Cinquième en « construisant » $\mathbb Z$ avec des couples, pendant des heures, perdues pour la maîtrise de la pratique du calcul, qui est le vrai objectif à cet âge.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Moi dans mon cheminement personnel je serai toujours reconnaissant envers Vladimir Arnold d'avoir violé la progression historique dans le chapitre de son livre "mathematical methods of classical mechanics" consacré à la courbure. En effet dans l'histoire de la courbure en géométrie riemannienne, le transport parallèle a été inventé par Levi-Civita après les règles de calcul des dérivées covariantes, et aussi après la parution de la relativité générale.
Dans le livre cité plus haut, Arnold introduit le transport parallèle de manière intuitive, puis définit la dérivée covariante avec, puis une forme différentielle en dimension 2 pour la courbure des surfaces et traite Gauss-Bonnet dans la foulée.
Bref on voyage à rebours du temps et c'est très bien.
L'histoire des maths est presque entièrement un brouillon, il n'y a pas de "démarche" "amenant" les idées de façon prévisible, les gens avancent dans le cambouis, souvent sans succès. Cette idée de justification historique c'est du pipeau pédagogiste total!!!
La naissance des nombres complexes est un peu olé-olé dans la même veine, des gens étaient à la renaissance en compétition pour résoudre efficacement des équations polynomiales et lesdits nombres, dont la paternité est inconnue (il y a toujours controverse si je me souviens bien et comment pourra-t-on trancher; Le papa est-il Tartaglia? Viète? Scipione Del Ferro?) étaient en réalité un ingrédient confidentiel de la solution, quant à l'état d'esprit qu'a eu l'auteur à ce moment-là, comment peut-on savoir, j'ai l'impression qu'on lui prête anachroniquement le regard d'aujourd'hui quand on dit mettons qu'il souhaite "étendre les nombres réels" et autres formulations strictement contemporaines comme celles avec l'anneau quotient.
Une création ex nihilo, comme le prétend Chaurien ? Ben non, car il n'y a pas eu de création du tout.
Chaurien pointe quelque chose d'intéressant, les sujets d'agreg semblent clafis d'exos avec des quotients que les récipiendaires n'enseigneront pas !
On peut d'ailleurs aller un peu plus vite et obtenir l'équivalence en une ligne : les idéaux de $A/I$ sont de la forme $J/I$ avec $I \subset J$. Or $A/I$ est un corps si et seulement si les seuls idéaux de $A/I$ sont $(0)$ et $A/I$ si et seulement si les seuls idéaux de $A$ contenant $I$ sont $I$ et $A$.
Pour en revenir à cette question de la construction des ensembles de nombres, il me semble qu'on en a déjà parlé plusieurs fois sur ce forum, et on pourrait retrouver ça. Je suis toujours étonné de voir l'importance qu'on accorde à la construction des ensembles de nombres, comme si tout l'intérêt de ces ensembles et toute la sainte rigueur du discours mathématique étaient concentrés sur cette question originelle. Alors que le véritable intérêt de ces nombres c'est d'abord ce qu'on peut faire avec. Une pratique des problèmes qui les concernent aura tôt fait de convaincre l'étudiant de leur existence.
Bien sûr la question de la construction est mathématiquement intéressante, pourvu qu'elle vienne en son temps, le niveau de l'agrégation est sans doute indiqué. Un agrégé ne saurait ignorer les constructions des ensembles de nombres et la démonstration de l'équivalence des diverses constructions. J'ai déjà signalé un très beau livre qui rassemble la plupart des choses qu'on peut souhaiter connaître à ce sujet :
H.-D. Ebbinghaus & alii, Numbers, Springer-Verlag 1991,
traduction française par François Guénard, Les nombres, leur histoire, leur place et leur rôle de l'Antiquité aux recherches actuelles, Vuibert 1998.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Voir par exemple :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1917320,1918726#msg-1918726
Merci pour ta référence Chaurien pour Ebbinghaus, la construction par quotient est de Cauchy après une lecture rapide.
Faut-il enseigner cela en L3 plutôt qu'en L1, franchement quand même sans être sans doute très difficile, c'est délicat, je dirais fin L1 / début L2 parce que la construction de $\mathbb{C}$ mobilise tout ce qu'un étudiant devrait savoir à cette date et que c'est quand même bien riche et intéressant. Par contre je suis d'accord que c'est la manipulation des nombres complexes qui est importante.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?11,2165450,2165584#msg-2165584.
J'ai aussi depuis longtemps l'édition française en deux tomes, accompagnés des trois livres de corrigés d'exercices mentionnés par Eric mais je ne les avais pas ouverts depuis des années, car je privilégiais mes obligations professionnelles, et - hélas ! - l'algèbre est la parente pauvre des études mathématiques jusqu'à Bac+2 depuis au moins quarante ans.
Comme l'ont dit d'autres intervenants, il y a deux ouvrages importants : A Survey of Modern Algebra, et Algebra.
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/Survey_of_Modern_Algebra/
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/MacLane_books/
C'est ce dernier qui a fait l'objet d'une traduction française par Jean Weil en 1970 et 1971, mais attention, il a connu plusieurs éditions, avec de notables modifications. La troisième et dernière édition en anglais, de 1988, réimprimée en 1999, diffère de l'édition française, traduite de la première édition en anglais (1967).
En 1996 Jacques Gabay a donné une réimpression de l'édition française, plus les trois livres de corrigés d'exercices, réunissant ces cinq livres en un seul, dans ce format « oblong » dont il est fier (?), qui consiste à imprimer deux pages sur une, avec réduction du format. On a ainsi près de 1400 pages de mathématiques pour 102 €, avec pour une fois une reliure en carton fort, plus costaude que pour d'autres productions de cet éditeur. Bon, chacun mesurera avantages et inconvénients d'une telle édition.
Bonne journée.
Fr. Ch.
22/01/2021
Mac Lane ou MacLane ou McLane ?
Donald Bradford McLane, né en 1882, a épousé Winifred Saunders en 1908, et leur premier fils, né en 1909, est Leslie Saunders MacLane, nom changé peu après en Saunders MacLane, celui dont il est question ici. Quelques années après ils ont changé leur nom en Mac Lane.
Source : https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/MacLane/
On trouve assez facilement aux puces les 2 volumes - parfois pas cher du tout si on n'est pas pressé - et les exos, "en cherchant bien" sous forme numérique.
Sans critique de fond de l'éditeur J. Gabay, je ne suis pas fan de la réduction de format, j'ai déjà acheté un ouvrage oblong comme ça à un âge où je n'avais pas encore besoin de lunettes de lecture c'était pénible. Le pour : tout avoir sur un seul volume et le soutien d'un éditeur méritoire.
Sur le fond mon avis personnel de faux débutant : l'ouvrage est d'un abord raide, très dense, bien que clair et d'une rédaction manifestement soignée, avec peu d'erreurs de typo, et d'une exceptionnelle richesse. Pour les amateurs comme moi, avoir une référence sous la main avec des bases bien plus détaillées comme le RDO (dont j'ai découvert certaines vertus - et qui contient plus que mon cher vieux Dixmier -) n'est pas un luxe.
Jamais vus. Mes puces ne doivent pas être assez savantes. :-D
Je ne me souviens plus si je possède ces volumes. Probablement que non.
Mon bouquin d'algèbre favori est le Dummit and Foote. (ce livre est comme une espèce de "bible")
Pour des trucs plus élémentaires j'en suis resté à Elements of abstract algebra d'Allan Clark, éditions Dover.
Un merveilleux petit livre d'algèbre.
C'est un bouquin quasiment encyclopédique (j'en possède une édition papier, la seconde édition qui n'est pas la dernière parue).
Cela traite de sujets élémentaires en algèbre et il y a des trucs plus avancés comme de l'algèbre homologique et de la cohomologie des groupes il y a beaucoup d'exemples et d'exercices.
Par rapport à Mac Lane il traite en plus homology/cohomology. J'ai une vague idée de ce que c'est mais avec un Deug et 120h de maths pour l'ingénieurs il y a 30 ans je te fais pas un dessin sur mon niveau réel et ce que je peux aborder de façon réaliste.
Bon merci quand même je garde sous le coude, mais en fait j'ai peu de temps et je voulais juste revenir au niveau conceptuel sur des trucs qui avec le recul me paraissent demander un peu d'explication, et je vais travailler avec un petit nombre de bouquins là en algèbre Mac Lane + RDO pour le basique que j'ai oublié (merci Brian ...) je pense que c'est bien.
Le cas de la construction de C à la Cauchy avec le vocabulaire d'aujourd'hui reprise (très raide en quelques lignes...) dans le Mac Lane est intéressant parce qu'en fait c'est la meilleure je pense, elle fait pas contreplaquée, et on ressent bien l'origine des objets mathématiques. Je pense que c'est quand même mieux que de dire $i=(0,1)$ et les règles pour arriver à $i^2=-1$. L'idée c'est d'éviter l'introduction magique de $i$.
Après toujours pour revenir sur des trucs basiques, il y a un chapitre sur les anneaux bien sympa avec l'algo d'Euclide.
Bon j'aime bien ce livre même si c'est à la limite de ce que je peux aborder.
Tout ce que je lis ou m'intéresse ne tourne pas autour de ça (tu n'es pas obligé de le savoir mais voilà qui est écrit).
Il était sur un rayonnage de chez "Bébert"* je l'ai feuilleté et j'ai trouvé chouette le contenu de ce bouquin. J'étais un peu en fond à l'époque je l'ai acheté. (il n'était certainement pas neuf). Près de 900 pages tout de même.
*: j'y passais une fois par semaine à une certaine époque. Je visitais tous, ou presque, les marchands de livres (Boulinier, "Bébert", "Bébert jeune", Eyrolles... du quartier. Je n'ai plus mis les pieds dans le quartier latin depuis des mois salop.rie de virus !
Chez Bébert le Monte en l'air
On est swing du haut jusqu'en bas
Chez Bébert dit "les pieds plats"