Initiation à la conjecture de Riemann
Bonsoir,
je voudrais savoir si quelqu'un pouvait me conseiller un ouvrage élémentaire sur la conjecture de Riemann, c'est-à-dire déjà le théorème des nombres premiers rigoureusement démontré, mais aussi l'équation fonctionnelle dans laquelle apparaît la fonction zéta et qui permet son prolongement analytique. En fait tous les résultats préliminaires qui conduisent à supposer que le seuls zéros non triviaux doivent se trouver sur la droite x = 1/2.
ignatus.
je voudrais savoir si quelqu'un pouvait me conseiller un ouvrage élémentaire sur la conjecture de Riemann, c'est-à-dire déjà le théorème des nombres premiers rigoureusement démontré, mais aussi l'équation fonctionnelle dans laquelle apparaît la fonction zéta et qui permet son prolongement analytique. En fait tous les résultats préliminaires qui conduisent à supposer que le seuls zéros non triviaux doivent se trouver sur la droite x = 1/2.
ignatus.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
J'aimerais bien que tout soit rigoureusement démontré. J'ai bien souvent vu des arguments heuristiques, mais jamais de preuves complètes et propres.
ignatus.
Ce n'est que mon avis de théoricien analytique des nombres, d'autres ouvrages te correspondront peut-être mieux !
Lequel me conseillerais-tu ? Je veux surtout un ouvrage de base, où toutes les preuves sont bien détaillées, et les prérequis en analyse complexe minimaux.
ignatus.
Par exemple, dans ce livre, il y a la démonstration due à Newman, accessible avec un bagage minimal en analyse complexe, mais avec un terme d'erreur faible.
Dans celui-ci, c'est la méthode usuelle, i.e. par sommation de Perron, qui est privilégiée. Il est lui aussi assez accessible, avec un paragraphe assez complet sur l'hypothèse de Riemann.
Un ouvrage complet sur l'hypothèse de Riemann, mais seulement sur elle, est celui-ci.
Comme l'a dit ndt, il y a plusieurs démonstrations du théorème des nombres premiers. Celle de Newman est la plus rapide, mais elle n'amène pas à la raison d'être de l'hypothèse de Riemann.
...
Ceci dit, ces preuves n'ont rien de simples : elles utilisent de manières très fines les propriétés des logarithmes et des fonctions de von Mangoldt, et sont très difficiles à suivre pour un débutant.
De plus, elles ne peuvent pas rivaliser avec les méthodes issues de l'analyse complexe quant au terme d'erreur. Celles-ci sont les seules à mener "intuitivement" vers l'hypothèse de Riemann.
...
ignatus.
The theory of the Riemann zeta-function de E. C. Titchmarsh, Oxford University Press, 1951
(i) quel niveau il vise ;
(ii) quelle forme du TNP il souhaite étudier.
Pour un cours de DEA, pardon M2 recherche, "classique", le schéma est généralement le suivant :
1. Étudier l'analyse complexe issue des travaux de Cauchy et menant aux théorèmes d'extractions usuels, comme la sommation de Perron ;
2. En parallèle, étudier les propriétés analytiques et arithmétiques des séries de Dirichlet associées ;
3. Après s'être familiarisé avec l'estimation des termes d'erreurs dans la formule de Perron tronquée (ça peut prendre un certain temps, notamment parce qu'il existe dans la littérature une foultitude de formes différentes de cette formule), l'appliquer à la série de Dirichlet de la fonction $\Lambda$ de von Mangoldt ;
4. Avec une sommation partielle, revenir sur $\pi(x)$ ;
5. Enfin, et ce n'est pas le plus facile, comprendre comment pousser la droite d'intégration de Perron le plus à gauche possible fournit une égalité asymptotique explicite pour $\psi(x)$ et entraîne, sous HR, le meilleur terme d'erreur possible.
J'espère que tu ne parles pas du calcul des résidus de niveau L3 (abordable par un bon L2) ?
Aurais-tu une référence qui fasse le tri de tout ça ?
pour préciser ce que je recherche, je dirais que j'aimerais d'abord comprendre l'énoncé selon lequel les zéros non triviaux de la fonction zéta se trouvent sur la droite des complexes x = 1/2. Comment est-ce que l'on aboutit à cette hypothèse ? Et donc, en passant, j'espère pouvoir trouver des preuves détaillées de toutes les équations fonctionnelles qui apparaissent et qui permettent différents prolongements analytiques.
Ensuite, j'aimerais également comprendre en quoi c'est fortement lié à la répartition des nombres premiers.
ignatus.
Dans ce domaine, Alan Turing a largement contribué même si ce n’est pas la partie la plus connue de ses recherches.
J’attache un bref extrait d’un de ses ouvrages dans lequel il décrit le protocole informatique servant au calcul.
...
J’attache pour finir trois courts extraits pris sur mon ancien lieu de travail. Je n’ai pas les références exactes.
Bon week-end.
...
Le lien ente zeta et les nombres premiers est donné par le produit eulérien du premier lien.
Mais le second lien a l'air beaucoup plus intéressant, merci...
ignatus.
Il montre que la fonction zêta peut-être étendue sur tout $\mathbb{C}$ avec un unique pôle en $1$ et prend la dérivée logarithmique:
\begin{equation}
\frac{\zeta’(s)}{\zeta(s)}=-\sum_{p \geq 2} \frac{\ln p}{p^s}\frac{1}{1-1/p^s}=-\sum_{p \geq 2}\Big(\frac{\ln p}{p^s}+\frac{\ln p}{p^{2s}}+...\Big)
\end{equation}
$\zeta$ ne s’annule pas sur la droite $\{z \in \mathbb{C}, \mathscr{R}(z)=1\}$.
Cette assertion ($\zeta(1+it) \neq 0$ pour tout $t \neq 0$) équivaut au théorème des nombres premiers.
...
...
Tu demandes ensuite "Aurais-tu une référence qui fasse le tri de tout ça ?". Non, chaque ouvrage délivre sa propre version, en fonction de ses besoins propres.
Ignatus : Reprenons l'historique de la fonction $\zeta$. Je note les nombres complexes comme Riemann, i.e. $s = \sigma + it$.
(i) Euler / Dirichlet / Riemann : $\zeta$ admet un produit eulérien qui implique entre autres qu'elle ne s'annule pas dans le $\frac{1}{2}$-plan $\sigma > 1$.
(ii) Riemann : Il démontre l'équation fonctionnelle, démonstration que tu peux trouver en ligne sur n'importe quel cours de théorie analytique des nombres. Cela implique que $\zeta(s) \neq 0$ dans le $\frac{1}{2}$-plan $\sigma < 0$, sauf aux entiers négatifs $-2n$, avec $n \geqslant 1$, qui sont généralement appelés "zéros triviaux".
(iii) Hadamard & de la Vallée Poussin : ils démontrent le TNP, en utilisant essentiellement le fait que $\zeta(s) \neq 0$ sur la droite $\sigma = 1$, et donc aussi sur la droite $\sigma = 0$ par l'équation fonctionnelle.
Ainsi, à ce stade, la seule possibilité pour que $\zeta$ s'annule, hormis les zéros triviaux, est qu'elle s'annule dans la "bande critique" $0 < \sigma < 1$. Par l'équation fonctionnelle, il suffit de ne considérer que la "demi-bande critique" $\frac{1}{2} \leqslant \sigma < 1$.
Distribution des nombres premiers.
Depuis Érathostène (ou quasi), on sait que les nombres premiers se raréfient : en effet, par un argument d'inclusion-exclusion, il n'est pas trop compliqué de montrer que $\pi(x) \ll \dfrac{x}{\log \log x}$, et donc $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{\pi(x)}{x} = 0$. L'idée est de chercher s'il y a une "loi" qui régirait cette raréfaction.
(i) En moyenne, on le sait : c'est le TNP, qui stipule que, pour $x$ grand $\displaystyle \frac{\pi(x)}{x} \sim \frac{1}{\log x}$.
(ii) On aimerait donc avoir plus de renseignements locaux. On peut définir une densité $d(N)$ sur les zéros non triviaux via
$$d(T) := \sum_k \delta(T-\rho_k)$$
où $\rho_k$ est le $k$ème zéro non trivial de $\zeta$ et $\delta$ est la distribution de Dirac. Cette densité se découpe en deux : une partie régulière, et une partie oscillante qui mesure en quelque sorte les fluctuations des contributions individuelles de chaque nombre premier. La position des zéros non triviaux vont jouer sur cette partie oscillante : si HR est fausse, il va y avoir de forte oscillations dans la distribution de nombres premiers, ce qui serait pour le moins étonnant.
@noix de totos : la dernière partie de ton propos sur la distribution des nombres premiers a l'air très intéressante. Je veux bien une référence accessible au débutant !!
ignatus.
Le manque de préparation et de travail à la fac :-S comme toujours.
ignatus.