Scoop ! (Mneimné)

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Réponses

  • ptitloupfouchou
    ptitloupfouchou
    Je l'ai eu en kholle cette année (il remplaçait MrCori) et c'est vraiment quelqu'un de super gentil ...
    Ca m'a super surpris comment il était gentil, je ne savais pas qui c'était et à première vu je me suis dit que ça allait être une kholle super nulle (du genre avec un kholleur bien mielleux qui pose un exo nul et sourit tout le temps et te met un 18 quoi que t'aies fait) ... Ben finalement je n'ai jamais appris autant de trucs pendant une kholle que pendant cette kholle alors que mon exo était un classique que j'avais déjà vu ! Il est super génial je trouve :D (surtout comparé à celui qu'il remplaçait 8-) ...)

    (Nann Coriii il est gentiiill heinnnn ... :/ ... On dirait hagrid c'est tout et il nous laisse poiroter sans exercice pendant 15 minutes... 8-) )
  • roro3
    roro3
    j'ai encore un petit soucis

    c'est avec la preuve de Cayley-Hamilton page 19 ; elle dit

    "Si $\lambda_{1}$ est une valeur propre de A, et H un hyperplan contentant l'image de $A-\lambda_{1}I$, la restriction de $A$ à $H$ a les mêmes valeurs propres que $A$, la valeur propre $\lambda_{1}$ en moins (juste une fois). En répetant l'opération, il est facile d'établir que le rang de la matrice $(A-\lambda_{1}I)*(A-\lambda_{2}I)*\cdots *(A-\lambda_{i}I)$ est inférieur ou égal à $n-i$"

    et ça s'arrête là ; j'ai bien compris tous les arguments mais je ne vois pas comment conclure ;

    merci

    ps : a noter une petite coquille page 18 Théorème 3.5.4.B. "[...] Si la matrice A a toutes ses racines dans K[...] ; je pense qu'il faut lire "valeurs propres"
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    En général, quand un auteur écrit: "il est facile d'établir que", c'est mauvais signe.
  • kilébo
    kilébo
    Il est vrai que des "il est facile d'établir que" sur lesquels on passe des heures à se demander pourquoi sont légions...
  • illy-annan
    illy-annan
    Cori et Mneimné, bonnet blanc et blanc bonnet.

    La démo de Cayley-Hamilton est bien légère, comme un duvet de moineau.

    L'idée y est pourtant. Ce qui n'est pas toujours le cas. :=(

    On écrit l'espace comme somme directe de H_1 et d'un droite. Dans une base adaptée, la matrice a $lambda_1$ en bas à droite.

    On considère alors un hyperplan H_12 de H_1 contenant l'image de $(A-lambda_2)(A-lambda_1)$...

    On finit. Bravo illy. :=))


    Au fond c'est encore + simple: On se place sur $H$ et on regarde un hyperplan qui contient l'image de $A-lambda_2$.

    Bref c'est bref, et nul.
  • roro3
    roro3
    C'est ce qui est écrit mais je ne comprends pas le "on finit"

    J'ai l'impression qu'il faut qu'on ait n valeurs propres pour continuer jusqu'à zéro mais ce n'est pas le cas ...
  • -Tarzan-
    -Tarzan-
    Cori et Mneimné sont des barbus. Attention.

    Roro: N'est-on pas sur les complexes?
  • -Tarzan-
    -Tarzan-
    illy: votre mise au point n'est pas au point.
  • roro3
    roro3
    Cayley-Hamilton est valable pour un ev sur un corps quelconque
  • -Tarzan-
    -Tarzan-
    Absolument Roro.

    Mneimné au bucher !!
  • jeroM
    jeroM
    Bonsoir
    Dans le livre de Mneimné, page 20 exercice(ecole polytechnique 2002), il est dit que A et B commutent et on considère det(YA - XB).
    Je ne comprends pas que l'assertion "det(BA - AB)=0" ne soit pas évidente .
    Où est mon erreur?
    De plus, dans l'indication on parle d' "ouvert (algébrique)". C'est quoi ? le renvoi page 26 n'est pas plus évocateur.
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    Le déterminant d'une somme est-il égal à la somme des déterminants?
  • jeroM
    jeroM
    Si A et B commutent, alors AB=BA et ne peut-on pas dire que BA-AB=O (matrice nulle) ? d'où la conclusion.
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    Si A et B commutent, cela change tout. Relisez le texte en détail. Quelque chose vous a peut-être échappé.
  • AlexB
    AlexB
    On ne peut pas remplacer X par A et Y par B dans det(YA-XB) (de même que l'on ne peut pas remplacer X par A dans det(A-XI) pour démontrer le th. de Cayley-Hamilton).
  • jeroM
    jeroM
    Je vous livre le texte tel quel:
    On suppose que les matrices complexes A et B commutent.
    On pose $p\x_A\x_,\x_B(X,Y)=det (YA - XB)$.
    montrer que $p\x_A\x_,\x_B(A,B)=0$.

    J'aurai déjà énormément appros en $LateX$
  • jeroM
    jeroM
    Comment fait-on alors pour calculer les valeurs de cette fonction $p\x_A\x_,\x_B$ ?
  • AlexB
    AlexB
    Si tu veux connaitre cette fonction, il faut développer ce déterminant comme si X et Y étaient deux scalaires et tu obtiens alors un polynôme en X et Y. Mais ici on ne connait pas A ni B.

    L'indication du bouquin permet de se ramener aux cas où B est inversible. On écrit alors (toujours en considérant X et Y comme des scalaires) de se ramener au polynôme caractéristique de $AB^{-1}$ :
    $$det(XA-YB)=det(Y(AB^{-1}-(X/Y)I_n)B)=Y^n B\chi_{AB^{-1}}(X/Y)$$

    Alex.
  • jeroM
    jeroM
    Tout d'abord: merci de tes réponses.
    <BR>
    <BR>quand tu parles de X/Y, quel sens donnes-tu à cette notation: en considérant X et Y toujours comme des scalaires ?<BR>
  • AlexB
    AlexB
    C'est le quotient des deux scalaires, une fraction rationnelle si on les voit comme des polynômes et ça ne posera pas de pb lorsqu'il faudra substituer B à Y car il y a Y^n devant le polynôme, donc les quotients vont disparaitre (en fait l'indication que donne Mneimné est en fait une réponse ultra concise).
  • jeroM
    jeroM
    Pour le moins.
    Je vais revoir tout ça (je pense que j'ai énormément de boulot devant moi !)

    Pour la notion d'ouvert(algébrique) , vois-tu de quoi il est question? c'est le algébrique qui me chiffonne, le reste ça va à peu près (même si la note 31 de la page 26 semble être au-dessus de mes capacités)
  • AlexB
    AlexB
    Je serais tenté de dire qu'un ouvert algébrique est le complémentaire de l'ensemble des zéros d'une fonction polynomiale des coefficients des matrices, mais je n'en suis pas sûr. Je ne te cache pas que la première phrase de l'indication m'est un peu obscure...
  • jeroM
    jeroM
    On parle effectivement du complémentaire de l'ensemble des zéros d'un polynome en k variables.
    Donc peut être un ouvert du point de la géométrie algébrique.

    As-tu ce livre ? si oui, arrive-tu à suivre sans trop de difficulté ?(vu ton niveau: j'ai été sur ton site)
    Je ne suis que prof en lycée et j'ai acheté ce livre pour m'entretenir, mais je pense qu'un travail préparatoire (important) sera nécessaire.
  • AlexB
    AlexB
    J'ai commencé à le lire, mais je ne te cache pas que j'ai du mal : chaque phrase écrite par Mneimné cache une tonne de prérequis. En un sens je crois que c'est le meilleur moyen pour ne pas lire "bêtement" (mais du coup j'ai arrêté pour cause de boulot à coté, j'espère m'y remettre).
  • jeroM
    jeroM
    J'ai commencé depuis 3-4 jours, comme tu dis, ça fait réfléchir !
    J'aurai au moins appris quelque chose ce soir (merci encore).
    Je pense me procurer le livre précedent : action de groupes, qui semble être recommandé par l'auteur pour suivre plus facilement. Le possèdes-tu ?

    Autrement, proximité du bac oblige, je me contente de lire un peu au hasard pour le moment (les exos de la section 20 sont tout indiqué pour cela).
  • unméchant
    unméchant
    ce livre est-il aussi utile pour l'agrégation que le précédent ? mdr
  • UnAmi
    UnAmi
    Bonjour,

    Je ne voudrais pas avoir l'air de prendre partie, car il me semble qu'il n'y a pas photo.

    J'ai acheté le nouveau Mneimné, les yeux fermés, il y a trois semaines chez Gibert. Et j'achèterais de même tout livre qu'il écrirait, lui ou Testard. On a là des valeurs sûres, n'en déplaise à unméchant.

    J'ai préparé l'agrégation et je l'ai eue (du premier coup) en 1996, et je voudrais dire que cela je le dois au livre de Mneimné et Testard sur les Groupes de Lie classiques (leçon sur l'exponentielle de matrices, où j'ai eu 16/20).
    Le livre sur la réduction des endomorphismes est très bien. J'applaudis, et puis la préface est écrite avec grâce. Comme voix émanant du public, je serais heureux de revoir Mneimné et Testard collaborer sur un nouveau livre, comme ils l'ont fait auparavant. Un super tandem.

    P.
  • Volny DE PASCALE
    Volny DE PASCALE
    Mneimné m'a semblé fort accessible et sympathique, il est au jury de l'agreg, mais je ne crois pas que ce soit une bonne idée de lui faire dédicacer son livre avant l'oral (un ou deux jours après, peut-être, une fois que la note est mise).

    On peut mesurer sa sympathie au fait qu'il est resté souriant et courtois quant un candidat lui a déclaré (en gros) c'est de la topologie algébrique, je ne détaille pas c'est un peu compliqué (du genre : je suis trop fort sur ce domaine...)

    Cela dit, je pense que c'était une mauvaise idée d'essayer de donner un cours de topo algébrique à R. Mneimné ;-)

    Sans compter que c'est toujours mille fois plus facile depuis la salle que depuis le tableau.

    Amicalement
    Volny
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