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Césaro en arithmétique

Envoyé par franckduh 
Césaro en arithmétique
il y a douze années
Bonjour,
Je cherche un livre donnant une preuve du théorème de Césaro suivant :
Soit $n\geq 2$ un entier, la probabilité pour que $a$ et $b$ soient premiers entre eux est noté $p_n$ alors $\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_n=\frac{6}{\pi^2}$.
J'ai une démonstration dans le livre de Delahaye mais elle n'est pas suffisament rigoureuse pour la présenter à l'oral de l'agreg interne.
Merci d'avance.
Re: Césaro en arithmétique
il y a douze années
Ce thème a souvent été débattu ici-même, avec une recherche, on devrait pouvoir obtenir pas mal de choses.

J'en profite pour rappeler mon point de vue : plutôt que de parler de "probabilité" (ce qui peut être délicat dans un exercice d'arithmétique), je préconise plutôt de compter le nombre $N(x,y)$ d'entiers naturels (non nuls) $m,n$ tels que $1 \leqslant m \leqslant x$, $1 \leqslant n \leqslant y$ et $\mbox {pgcd}(m,n) = 1$, et de montrer, via un calcul tout ce qui a de plus rigoureux, que $\displaystyle {N(x,y) \sim \frac {xy}{\zeta(2)}}$, ce qui est plus précis que cette notion (vague, ici) de probabilité.

On trouve une preuve de ce résultat dans le livre de Tenenbaum : {\it Introduction à la théorie analytique des nombres}, SMF, page 42.

Borde.
Re: Césaro en arithmétique
il y a douze années
Je vous remercie beaucoup pour cette précision et la référence.
A ma grande déception je ne l'avais pas trouvé dans votre livre que je trouve d'ailleurs très bien fait (il y a pas mal d'exercices qui pourront me servir si je suis admissible et qu'en plus je tombe sur un sujet d'arithmétique et qu'en plus je le choisisse ... ce qui fait beaucoup de conditions).



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a douze années et a été effectuée par franckduh.
Re: Césaro en arithmétique
il y a douze années
Salut Franckduh

(tu peux me tutoyer...)

Je n'ai effectivement pas mis cet exercice, le considérant comme trop...classique, disons, mais, regarde bien : le calcul du nombre d'entiers sans facteur carré dans l'intervalle $[1,x]$, qui figure dans ce livre (page 106), est très lié à ta question.

J'ai voulu mettre des exos peut-être un peu moins connus dans ce livre. Au moment des différents choix à faire, cela ne fut pas toujours évident de supprimer tel ou tel exercice ou développement de cours. Mais, comme tout choix, il a fallu que je sélectionne.

Pour info, l'un de mes exos préférés là-dedans est l'exercice 4.18 (rôle des petits diviseurs dans certaines fonctions multiplicatives), car c'est du pur Erdös, tout en beauté et esthétisme...Pour l'anecdote, il faut croire que cet exo a aussi plu au coloriste, puisque les formules en incrustation que l'on voit en première de couverture sont issues de cet exo !!!...

Encore pour info, je suis tombé à l'oral de l'agreg sur une leçon portant sur l'arithmétique...et c'est aussi pour cela que j'ai écris ce bouquin !

Bon courage,

Borde.
Re: Césaro en arithmétique
il y a douze années
Je te remercie beaucoup, je vais potasser ça !
Bonne journée.
Franck.
Re: Césaro en arithmétique
il y a douze années
Je ne savais pas que ce résultat classique était attribué à ce bon Ernesto Cesaro.
Sur le fond, Borde a plus que raison (comme très souvent..) : il vaut mieux parler de dénombrement que d'extrapoler sur des probabilités mal définies.
Pour un développement à l'agreg, dire qu'on va calculer la proba que deux entiers {\it pris au hasard} soient premiers entre eux, c'est la gamelle assurée..
Re: Césaro en arithmétique
il y a douze années
Je n'ai jamais dit ça, j'ai juste dit que la probabilité tend vers ... j'ai juste oublié de dire que cette probabilité $p_n$ représentait la probabilité que lorsque que l'on tire deux nombres au hasard plus petit que n.
Je pense justement avoir été très prudent pour ne pas parler de probabilité de deux nombres quelconques choisi au hazard.

Ceci dit c'est vrai qu'il vaut surement mieux parler de dénombrement, le problème reste ouvert pour moi car je n'ai pas cette démonstration, je vais aller voir Tenenbaum à la bibliothèque dès demain voir si je peux trouver mon bonheur.
Si vous avez d'autres références merci, car je crois que ce livre n'est malheureusement plus disponible en librairie ...
Re: Césaro en arithmétique
il y a douze années
OK Franck, voici un détail des calculs indiqués plus haut. Ma manière de faire va différer un peu de celle de Tenenbaum, mais je mettrai plus de détails.

Je note $(a,b)$ pour $\mbox {pgcd} (a,b)$ (notation US qui m'évite de mettre "pgcd" partout...).

{\bf Preliminaires}. Dans tous ces calculs, on cherche toujours les fonctions indicatrices des entiers que l'on étudie. Ici, pour tout entier $m \in [1,x]$, on a besoin de la fonction indicatrice de l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $(m,n) = 1$. Elle est donnée par la fonction de Möbius via la formule : $\displaystyle {\sum_{d \mid n, \, d \mid m} \mu(d) = 1}$ si $(m,n) = 1$ et $0$ sinon, de sorte qu'il est assez facile d'obtenir, pour toute fonction arithmétique $f$, tout réel $x \geqslant 1$ et tout entier $m \geqslant 1$, que : $$\sum_{n \leqslant x, \, (m,n) = 1} f(n) = \sum_{d \mid m} \mu(d) \sum_{k \leqslant x/d} f(kd).$$

{\bf Calcul de} $N(x,y)$. Je reprends la notation introduite dans mon premier message plus haut, et on a donc, avec ce préliminaire : $$N(x,y) = \sum_{m \leqslant x} \sum_{n \leqslant y, \, (m,n) = 1} 1 = \sum_{m \leqslant x} \sum_{d \mid m} \mu(d) \sum_{k \leqslant y/d} 1 = \sum_{m \leqslant x} \sum_{d \mid m} \mu(d) \left [ \frac {y}{d} \right ],$$ où, bien sûr, $[t]$ est la partie entière de $t$. L'estimation évidente $[t] = t + O(1)$ fournit donc : $$N(x,y) = y \sum_{m \leqslant x} \sum_{d \mid m} \frac {\mu(d)}{d} + O \left( \sum_{m \leqslant x} \tau(m) \right ),$$ où $\tau(m) = \sum_{d \mid m} 1$ est le nombre de diviseurs de $m$. Le terme d'erreur est en $O(x \ln x)$ (voir mon livre corollaire 4.29), et on doit intervertir les sommes du premier terme. Cela se fait comme expliqué au Th. 4.24 de mon bouquin, ce qui donne : $$N(x,y) = y \sum_{d \leqslant x} \frac {\mu(d)}{d} \sum_{h \leqslant x/d} 1 + O(x \ln x) = y \sum_{m \leqslant x} \frac {\mu(d)}{d} \left [ \frac {x}{d} \right ] + O(x \ln x).$$ Là encore, on utilise $[t] = t + O(1)$, pour finalement avoir : $$N(x,y) = xy \sum_{d \leqslant x} \frac {\mu(d)}{d^2} + O \left ( y \sum_{d \leqslant x} \frac {1}{d} + x \ln x \right ) = xy \sum_{d \leqslant x} \frac {\mu(d)}{d^2} + O \left ( (x+y) \ln x \right ).$$ Il ne reste plus qu'à découper la somme en $\sum_{d \leqslant x} = \sum_{d=1}^{\infty} - \sum_{d > x}$ et de se rappeler que $\displaystyle {\sum_{d=1}^{\infty} \frac {\mu(d)}{d^2} = \frac {1}{\zeta(2)}}$ pour obtenir finalement : $$N(x,y) = \frac {xy}{\zeta(2)} + O \left ( (x+y) \ln x \right ).$$

Tu auras remarqué que ce calcul ressemble à s'y méprendre au calcul du nombre d'entiers sans facteurs carrés dans l'intervalle $[1,x]$...

Borde.
bs
Re: Césaro en arithmétique
il y a douze années
avatar
Bonjour,

1) Un peu plus haut , borde écrit ceci:"J'en profite pour rappeler mon point de vue : plutôt que de parler de "probabilité" (ce qui peut être délicat dans un exercice d'arithmétique), je préconise plutôt de compter le nombre $N(x,y)$ d'entiers naturels (non nuls) $m,n$ tels que $1 \leqslant m \leqslant x$, $1 \leqslant n \leqslant y$ et $\mbox {pgcd}(m,n) = 1$, et de montrer, via un calcul tout ce qui a de plus rigoureux, que $\displaystyle {N(x,y) \sim \frac {xy}{\zeta(2)}}$, ce qui est plus précis que cette notion (vague, ici) de probabilité."

2)Or, dans le Francinou-Gianella-Nicolas , Algèbre 1, l'exercice 4.32 s'intitule : "Probabilité pour que deux entiers soient premiers entre eux ."
Puis, dans l'énoncé : "pour $n>=1$, on note $r_n$, la probabilité pour que deux entiers choisis aléatoirement dans $[1,n]$ soient premiers entre eux...."

3) dans un récent topic parlant de la probabilité d'obtenir un triangle lorsqu'on coupe un spaghetto en trois morceaux, gb avait fait remarquer qu'il fallait ajouter la notion "uniforme", pour pouvoir effectuer des calculs rigoureux.

Question: en dehors de l'énoncé d'Olivier qui est parfaitement correct, ne suffit-il pas d'ajouter ici aussi ce qualificatif "uniforme" pour conserver la rigueur nécessaire dans l'énoncé du FGN ?

4) question pour franckduh: où as-tu lu que ce théorème était dû à Césaro ? .

Merci.
Re: Césaro en arithmétique
il y a douze années
Je te remercie infiniment de cette démonstration claire et précise, il est vrai qu'elle ressemble en partie à celle évaluant le nombre d'entiers sans facteurs carrés, d'ailleurs le résultat y est proche mais je n'arrivais pas à mettre en place le début.
Il y a juste un point que je n'ai pas compris, c'est lorsque tu "supprimes" la série $\displaystyle\sum_{d>x}\frac{\mu(d)}{d^2}$ ? Pourrais-tu m'éclairer ?
Re: Césaro en arithmétique
il y a douze années
Oui, bien sûr, car j'en avais marre de taper...On a : $$\left |\sum_{d > x} \frac {\mu(d)}{d^2} \right | \leqslant \sum_{d > x} \frac {1}{d^2} \ll \frac {1}{x}$$ (par comparaison à une intégrale, par exemple), de sorte que : $$xy\left |\sum_{d > x} \frac {\mu(d)}{d^2} \right | \ll y,$$ et cette somme est donc absorbée par le terme d'erreur.

Bernard,

Comme je l'ai dit, ce n'est qu'un {\it point de vue} que j'exprimais, et non une vérité absolue. Mais il faut savoir de quoi on parle. La donnée d'une loi de proba sur $\N$ contrevient à l'une des intuitions que l'on peut avoir sur les entiers, à savoir que la proportion des entiers multiples d'un entier $a \geqslant 1$ serait $1/a$. On montre en effet qu'il {\bf n'existe pas} de probabilité $P$ sur $\N$ telle que, pour tout entier $a \geqslant 1$, on ait $P(a\N) = 1/a$. On contourne alors ce "paradoxe" en définissant les {\it densités} (naturelle, logarithmique, analytique, de Schnirelmann, etc), ce qui suit mieux notre intuition dans le sens où toute suite finie est de densité nulle, mais on perd alors la notion de mesure sur $\N$,car les suites qui possèdent une densité ne forment pas un tribu, et la densité ne possède pas la propriété d'additivité.

Dans l'exo de Franck, on a montré que l'ensemble des entiers $(m,n)$ tels que $\mbox {pgcd} (m,n) = 1$ a une densité naturelle égale à $1/\zeta(2)$. Je crois qu'il faut rester dans ce cadre, cadre que l'on enseigne maintenant dans les cours de théorie probabiliste des nombres.

Borde.
Re: Césaro en arithmétique
il y a douze années
Merci encore pour cette précision, ça me permettra d'être mieux armé si par chance je vais à l'oral, et de toute façon c'est tout simplement enrichissant pour ma culture personnelle et de tous ceux qui suivent ce fil.
Merci encore.
bs
Re: Césaro en arithmétique
il y a douze années
avatar
Merci Olivier: bien compris toutes tes précisions; vais changer le titre de cet exercice du FGN par ta poposition.

Franck: ma question 4 ? merci.
Re: Césaro en arithmétique
il y a douze années
Excuses moi je n'avais pas lu ton message, j'ai vu qu'il s'appelait Cesaro sur internet :
Chronomath et aussi dans une démonstration sur le site de gilles costantini :

[perso.orange.fr]

et dont la démonstration ne me convenait pas vraiment ...
Re: Césaro en arithmétique
il y a douze années
De rien à tous...

D'autre part, le calcul ci-dessus est extrêmement fréquent en théorie analytique, et n'est pas, à ma connaissance, attribué à Césaro.

Borde.
bs
Re: Césaro en arithmétique
il y a douze années
avatar
Merci Franck, j'ignorais aussi...
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