Césaro en arithmétique

Ce thème a souvent été débattu ici-même, avec une recherche, on devrait pouvoir obtenir pas mal de choses.

J'en profite pour rappeler mon point de vue : plutôt que de parler de "probabilité" (ce qui peut être délicat dans un exercice d'arithmétique), je préconise plutôt de compter le nombre $N(x,y)$ d'entiers naturels (non nuls) $m,n$ tels que $1 \leqslant m \leqslant x$, $1 \leqslant n \leqslant y$ et $\mbox {pgcd}(m,n) = 1$, et de montrer, via un calcul tout ce qui a de plus rigoureux, que $\displaystyle {N(x,y) \sim \frac {xy}{\zeta(2)}}$, ce qui est plus précis que cette notion (vague, ici) de probabilité.

On trouve une preuve de ce résultat dans le livre de Tenenbaum : {\it Introduction à la théorie analytique des nombres}, SMF, page 42.

Borde.

Salut Franckduh

(tu peux me tutoyer...)

Je n'ai effectivement pas mis cet exercice, le considérant comme trop...classique, disons, mais, regarde bien : le calcul du nombre d'entiers sans facteur carré dans l'intervalle $[1,x]$, qui figure dans ce livre (page 106), est très lié à ta question.

J'ai voulu mettre des exos peut-être un peu moins connus dans ce livre. Au moment des différents choix à faire, cela ne fut pas toujours évident de supprimer tel ou tel exercice ou développement de cours. Mais, comme tout choix, il a fallu que je sélectionne.

Pour info, l'un de mes exos préférés là-dedans est l'exercice 4.18 (rôle des petits diviseurs dans certaines fonctions multiplicatives), car c'est du pur Erdös, tout en beauté et esthétisme...Pour l'anecdote, il faut croire que cet exo a aussi plu au coloriste, puisque les formules en incrustation que l'on voit en première de couverture sont issues de cet exo !!!...

Encore pour info, je suis tombé à l'oral de l'agreg sur une leçon portant sur l'arithmétique...et c'est aussi pour cela que j'ai écris ce bouquin !

Bon courage,

Borde.

Je ne savais pas que ce résultat classique était attribué à ce bon Ernesto Cesaro.
Sur le fond, Borde a plus que raison (comme très souvent..) : il vaut mieux parler de dénombrement que d'extrapoler sur des probabilités mal définies.
Pour un développement à l'agreg, dire qu'on va calculer la proba que deux entiers {\it pris au hasard} soient premiers entre eux, c'est la gamelle assurée..

OK Franck, voici un détail des calculs indiqués plus haut. Ma manière de faire va différer un peu de celle de Tenenbaum, mais je mettrai plus de détails.

Je note $(a,b)$ pour $\mbox {pgcd} (a,b)$ (notation US qui m'évite de mettre "pgcd" partout...).

{\bf Preliminaires}. Dans tous ces calculs, on cherche toujours les fonctions indicatrices des entiers que l'on étudie. Ici, pour tout entier $m \in [1,x]$, on a besoin de la fonction indicatrice de l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $(m,n) = 1$. Elle est donnée par la fonction de Möbius via la formule : $\displaystyle {\sum_{d \mid n, \, d \mid m} \mu(d) = 1}$ si $(m,n) = 1$ et $0$ sinon, de sorte qu'il est assez facile d'obtenir, pour toute fonction arithmétique $f$, tout réel $x \geqslant 1$ et tout entier $m \geqslant 1$, que : $$\sum_{n \leqslant x, \, (m,n) = 1} f(n) = \sum_{d \mid m} \mu(d) \sum_{k \leqslant x/d} f(kd).$$

{\bf Calcul de} $N(x,y)$. Je reprends la notation introduite dans mon premier message plus haut, et on a donc, avec ce préliminaire : $$N(x,y) = \sum_{m \leqslant x} \sum_{n \leqslant y, \, (m,n) = 1} 1 = \sum_{m \leqslant x} \sum_{d \mid m} \mu(d) \sum_{k \leqslant y/d} 1 = \sum_{m \leqslant x} \sum_{d \mid m} \mu(d) \left [ \frac {y}{d} \right ],$$ où, bien sûr, $[t]$ est la partie entière de $t$. L'estimation évidente $[t] = t + O(1)$ fournit donc : $$N(x,y) = y \sum_{m \leqslant x} \sum_{d \mid m} \frac {\mu(d)}{d} + O \left( \sum_{m \leqslant x} \tau(m) \right ),$$ où $\tau(m) = \sum_{d \mid m} 1$ est le nombre de diviseurs de $m$. Le terme d'erreur est en $O(x \ln x)$ (voir mon livre corollaire 4.29), et on doit intervertir les sommes du premier terme. Cela se fait comme expliqué au Th. 4.24 de mon bouquin, ce qui donne : $$N(x,y) = y \sum_{d \leqslant x} \frac {\mu(d)}{d} \sum_{h \leqslant x/d} 1 + O(x \ln x) = y \sum_{m \leqslant x} \frac {\mu(d)}{d} \left [ \frac {x}{d} \right ] + O(x \ln x).$$ Là encore, on utilise $[t] = t + O(1)$, pour finalement avoir : $$N(x,y) = xy \sum_{d \leqslant x} \frac {\mu(d)}{d^2} + O \left ( y \sum_{d \leqslant x} \frac {1}{d} + x \ln x \right ) = xy \sum_{d \leqslant x} \frac {\mu(d)}{d^2} + O \left ( (x+y) \ln x \right ).$$ Il ne reste plus qu'à découper la somme en $\sum_{d \leqslant x} = \sum_{d=1}^{\infty} - \sum_{d > x}$ et de se rappeler que $\displaystyle {\sum_{d=1}^{\infty} \frac {\mu(d)}{d^2} = \frac {1}{\zeta(2)}}$ pour obtenir finalement : $$N(x,y) = \frac {xy}{\zeta(2)} + O \left ( (x+y) \ln x \right ).$$

Tu auras remarqué que ce calcul ressemble à s'y méprendre au calcul du nombre d'entiers sans facteurs carrés dans l'intervalle $[1,x]$...

Borde.

Merci Franck, j'ignorais aussi...