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l'Eden de la géométrie

Envoyé par vi@gra 
vi@gra
l'Eden de la géométrie
07 juin 2009, 05:55
Je viens de me faire plaisir en regardant de près le livre de Jean-Denis Eiden publié chez Calvage

J'écris avec une seule main, l'autre étant occupée, d'où l'absence de majuscules, qui plaira peu sans doute à notre ami ad

Revenons à jde

quel boulot ! dix ans au moins de travail, sinon il a dû faire appel à une aide secrète


des choses que je n'ai vues nulle part, comme l'inversion isotomique et l'inversion isogonale, positions du nouveau kamasutra confectionnées à Metz en Lorraine... et qui disait que le désir était mort à l'est ?

mais des choses classiques aussi, style applications des nombres complexes à la géométrie, ou coniques, etc

la préface fera date, pour la pertinence des allusions historiques, pour les explications qui y figurent sur l'enseignement de la géométrie depuis plus d'un siècle, et surtout pour l'exposé des intentions de l'auteur et sa la manière dont il comprend la géométrie et comment il y mène sa barque de calcul analytique

car jde est aussi un étonnant algébriste, en même temps que brillant géomètre
il joue des coordonnées barycentriques, comme certains jouent de la guitare, et d'autres du crochet
oui, les coordonnées barycentriques sont avec le calcul complexe un leitmotiv de l'ouvrage
et l'on se demande évidemment où il a appris tout ça, car il doit avoir une cinquantaine d'années (au vu de quelque recoupement) et donc n'a pas connu l'époque glorieuse de la géométrie des années cinquante
il décline des influences, du côté de certains de ses professeurs, aujourd'hui disparus, mais cela n'explique pas tout
le monsieur est manifestement brillant, et pas seulement en géométrie, car il a une jolie plume et connais très bien, outre l'allemand, le latin de nos grands pères

ce qui n'est pas très dur me diriez-vous quand on habite Metz, ce lieu du génie franco-allemand
mais revenons au bouquin : il commence par une introduction toute en douceur sur les espaces affines et sur les coordonnées barycentriques. l'introduction du "vectorialisé" arrive comme une clarté nécessaire, et ses fondations axiomatiques sont renvoyées dans le remarquable annexe deux de l'ouvrage. mais nous n'attendons pas la page deux cents pour faire de jolis exercices ! très vite et presque dans la foulée, quelques-uns, et souvent inédits, nous sont proposés

je dis "foulée", car ils viennent comme vient une jolie anecdote dans la conversation du dandy, en douceur et sans être annoncée
cela peut plaire parfois, mais j'aurai préféré quant à moi avoir des balises, surtout qu'avec la vigilance qui baisse, j'ai besoin de marqueurs comme des titres de sous-sections ou des sauts de ligne définis par ces marqueurs que sont les points en gras ou les petits triangles vides que latex sait proposer en quantité, et que l'auteur évite, comme l'on évite de dire à une demoiselle que nous allons lui prendre la main, et que nous la prenons naturellement car elle souhaite autant que nous la tendre caresse

viennent ensuite les coniques, en un seul mot (sic). nous croyons être dans un territoire familier et pourtant les surprises ne manquent pas. le théorème de pascal est démontré d'un coup de maître en cinq ou six lignes que seul permet l'éclat d'un calcul génial; des applications inconnues de moi et d'autres qui le sont moins décorent l'ensemble. un parfum de l'isotomie s'annonce avec un résultat dû à Carnot (l'inventeur probable de la machine à vapeur, qui devait, juché sur sa tinette, dessiner encore des paraboles et autres anacoluthes). et puis des exercices corrigés, pas comme font certains auteurs qui croient vendre quelques exemplaires de plus, en incorporant à l'intention de prétendus capétiens, des solutions à produire lors d'une épreuve orale, mais des exercices corrigés où la solution vient apporter une clarté et ouvrir d'autres portes que l'on n'avait point soupçonnées

arrive le chapitre sur l'isotomie et l'isogonalité
pour être bref, indiquons que l'isotomie est une involution de nature affine (ou plutôt de nature projective, tant sont si naturellement imbriquées ensemble ces deux mondes) et qui vint avec la donnée d'un simple triangle du plan affine (ou projectif) et qui produit des figures sophistiquées où apparaissent des coniques passant par six points (cinq en général sont assez), et que jde appelle si délicatement coconiques, comme d'autres disent cocycliques.
vient ensuite une notion euclidienne, un peu plus sophistiquée, qu'est l'isogonalité, avec ses couples célèbres, dont je me contenterai ici de citer le couple formé par le centre de gravité et le point de Lemoine (point de concours des symédianes)

le chapitre sur les nombres complexes et la géométrie commence par l'annonce un peu déroutante de l'équation d'un cercle en nombres complexes, annonce qui mérite deux minutes de réflexion, et il ne vient même pas à l'auteur l'idée que cela pourrait surprendre ou même gêner un lecteur novice.
des homographies et des propriétés de la géométrie circulaire (inversions, antihomographies, un peu de théorie des groupes, etc) viennent illustrer l'extraordinaire fécondité de la racine de moins un ! dont on ne soulignera jamais assez l'importance et surtout le rôle dans la naissance de la science mathématique et, plus que les usines au charbon du Midland et de la révolution industrielle, le rôle, disais-je, dans l'irruption de la puissance européenne au dix-huitième et dix neuvième siècles
figure évidemment dans ce chapitre tout ce qui tourne autour de l'alternative de Steiner, avec à chaque page une idée nouvelle ou deux qui soulignent le génie géométrique de cet auteur jusque-là inconnu (en dehors de sa traduction avec les Arnaudiès, mari et femme, du remarquable livre de Gabriel paru il y a quelques années chez Cassini) et l'on se demande pourquoi !


le chapitre sur le monde des cercles, vu comme espace affine (avec les droites comme points à l'infini) n'est pas surprenant, et contient pourtant plusieurs résultats inédits
c'est encore l'occasion de découvrir la puissance du calcul quand il est soutenu par une puissance de pénétration (géométrique, bien sûr).

le livre se clôt sur deux ou trois appendices, appelés pudiquement annexes, et qui, outre le second dont on a parlé plus haut, concernent la géométrie projective, le nullstenllenzat, et les oh combien jolies hyperboles équilatères

en guise de conclusion, il me semble utile de dire que comme la pilule miracle dont il partage la jolie couleur, le livre de jde aidera à redresser... l'enseignement de la géométrie en France



Modifié 3 fois. Dernière modification le 07/06/2009 21:15 par AD.
Re: l'Eden de la géométrie
07 juin 2009, 06:05
avatar
Ton poste est un livre on its own right. ;)

Merci beaucoup.
Re: l'Eden de la géométrie
07 juin 2009, 10:04
Où a-t-il appris tout ça ? ... je commencerai par regarder la dernière référence qu'il donne dans la bibliographie :
[faculty.evansville.edu]



Modifié 1 fois. Dernière modification le 07/06/2009 13:28 par Eric.
averell
Re: l'Eden de la géométrie
07 juin 2009, 12:52
Eh ben, Vi@gra, tu as déjà cinq cents pages d'avance sur moi ; tu as dû avoir ton exemplaire bien avant moi (piston ?) : commandé début octobre chez amazon (dispo le 15/10, qu'ils disaient), il est arrivé laborieusement vendredi.

Alors moi, je découvre seulement, mais comme disait Raoul Volfoni "y a pas à dire, c'est du brutal". Je ne peux pas donner d'avis comme ça aussi vite, mais je suis sidéré de tout ce que l'on peut tirer des coordonnées barycentriques ; je ne suis pas connaisseur, mais, pour moi c'est une surprise.

À suivre, donc.
Volfoni
Re: l'Eden de la géométrie
07 juin 2009, 16:26
Viagra manie bien la plume, mais ce n'est pas la peine de consacrer deux cents lignes pour dire une chose simple : j'aime le Eiden de géométrie
mais certains, en vieillissant, deviennent bavards, et radotent pour nous
dire des évidences

Moi, j'ai acheté la "géométrie analytique classique" les yeux fermés, car
C&M ne se trompent pas sur le choix de leurs auteurs, et je dois
avouer que je ne suis pas déçu.

Mais seulement un peu déprimé : je ne pensais pas avoir tant de choses à apprendre.
Re: l'Eiden de la géométrie
07 juin 2009, 17:25
Je ne suis pas sûr, AD, que le nom de l' auteur ait été écorché involontairement dans le titre de ce topic...

[Il portait une majuscule dans le titre ! AD]



Modifié 1 fois. Dernière modification le 07/06/2009 17:59 par AD.
Re: l'Eiden de la géométrie
07 juin 2009, 18:31
Mea culpa.

Et finalement, je préfère ce titre...
Re: l'Eiden de la géométrie
07 juin 2009, 18:56
avatar
Jolie critique !
J'irai voir en librairie si je peux le feuilleter.
vi@gra
Re: l'Eiden de la géométrie
07 juin 2009, 20:49
Bonsoir AD,

J'hésite à souscrire au changement du titre du fil. Je pensais bien sûr Eden au sens paradis, avec un clin d'oeil manifeste à l'auteur. Et je n'ai pas eu tort de ne pas écrire "l'eden de la géométrie", car Eden est toujours avec majuscule (?).
Sartre a écrit dans "Huis clos" que
« l'Enfer, c'est les autres », mais il n'a pas parlé de l'enfer des autres. Et la Bible parle du jardin d'Eden. Si "eden" veut dire délice en hébreu, le mot Eden désigne un lieu spécifique, comme si l'on disait "Place de l'Étoile".

Je laisse après tout la décision à AD, qui fera ce qu'il veut, car il fait partie du Panthéon.


Quant à Volfoni (échappé aux Tontons flingueurs), je préfère l'appeler plutôt "Mou de la gachette" ! Il peut par ailleurs rester longtemps les yeux fermés... et se taire, car un "Un sot qui ne dit mot ne se distingue pas..." et clac ! hot smiley
:)-D
AD
Re: l'Eiden de la géométrie
07 juin 2009, 21:14
avatar
Bonsoir Vi@gra

Puisque tu insistes, je remets ton titre initial clin d'œil, jeu de mot !
Ceci étant, c'est quand même bizarre, tu commences ton message en disant que tu ne mets pas de majuscules (j'ai essayé de les corriger sur les noms propres) et le titre lui, contient une majuscule !
Cette contradiction m'a amené à penser que le titre contenait donc une erreur sur le patronyme de la personne (quand on a une main occupée, que d'erreurs ne fait-on pas ?) :D

AD
bs
Re: l'Eden de la géométrie
07 juin 2009, 21:41
avatar
Bonsoir,

Est-il possible de savoir avec quelle main vi@gr@ tape sur le clavier ?

..."des choses que je n'ai vues nulle part, comme l'inversion isotomique et l'inversion isogonale" : si tu venais lire régulièrement les sujets de notre pappus, ces subtilités géométriques n'auraient plus de secret pour toi :)

Amicalement.
Volfoni
Re: l'Eden de la géométrie
08 juin 2009, 21:10
"si tu venais lire régulièrement les sujets de notre pappus,"

y a pas seulement que Pappus qui connaît un rayon sur la géométrie, y a aussi Bruno et gb

"Est-il possible de savoir avec quelle main vi@gr@ tape sur le clavier ? "
Allez, fais pas l'innocent : vu son pseudo, il est capable de taper sans les mains.
ev
Re: l'Eden de la géométrie
09 juin 2009, 07:32
avatar
Bonjour Vi@gra.

Je savais que l'ellipse la parabole et l'hyperbole étaient à la fois des figures de géométrie et de rhétorique. Mais pour l'anacoluthe, je l'ignorais...
Peux-tu m'en tracer une pour ma culture, ou simplement une paramétrisation...
Je suppose qu'il y a un point d'arrêt, c'est ça ?

Amicalement,

e.v.

PS. Metz, Metz, bon d'accord, Metz. Très belle ville, Metz. Qu'est-ce qu'elle a de plus que Nancy ?
Re: l'Eden de la géométrie
09 juin 2009, 07:50
avatar
Comme courbe, c'est proche d'une néphrite.
ev
Re: l'Eden de la géométrie
09 juin 2009, 08:00
avatar
ça ne me dit rein.

amicalement,

e.v.
Re: l'Eden de la géométrie
09 juin 2009, 08:05
avatar
Meu
Re: l'Eiden de la géométrie
09 juin 2009, 09:37
Bonjour,,

Je suis surpris de lire, dans le texte par ailleurs si bien écrit de vi@gra, le mot "nullstenllenzat". A ce point là, ce n'est plus de la coquille, c'est du massacre!

Null : zéro
Stellen : points
Satz : théorème

Cordialement.
lewiner
Re: l'Eiden de la géométrie
09 juin 2009, 10:32
Je pense que viagra a voulu blaguer : en rhétorique, l'ellipse est un cas particulier d'anacoluthe. L'anacoluthe généralise donc la notion de conique.

Ana Koluth (Prague, 1912 -- New York, 1987)
yannguyen
Re: l'Eden de la géométrie
09 juin 2009, 12:39
JDE me signale ce post et j'en profite pour proposer l'image du livre, trouvée sur le site de Decitre...
[www.decitre.fr]
[attachment 12445 Eiden.gif]

Merci à l'inconnu vi@gra pour son joli recensement



Modifié 1 fois. Dernière modification le 09/06/2009 13:56 par AD.


Re: l'Eden de la géométrie
09 juin 2009, 18:03
Je ne l'ai pas encore feuilleté, mais la tirade de vi@gra est, disons, évocatrice et cette courverture bleue du plus bel effet (seul bémol, s'il faut en trouver un, de la maison Calvage habituellement).
myrtille
Re: l'Eiden de la géométrie
09 juin 2009, 18:21
Meu écrivait:
-------------------------------------------------------
>
> Je suis surpris de lire, dans le texte par
> ailleurs si bien écrit de vi@gra, le mot
> "nullstenllenzat". A ce point là, ce n'est plus de
> la coquille, c'est du massacre!

Je crois que vi@gra en était alors au moment ultime, comme Beethoven écrivant la septième symphonie dans sa baignoire.
Tarantula
Re: l'Eden de la géométrie
09 juin 2009, 21:44
Bonsoir

Je passe cette année l'X et Centrale, et le fil de vi@gra m'a interpellé. Est ce que le livre de Eiden peut m'être utile ? je connais les coordonnées barycentriques du centre de gravité et du centre du cercle inscrit, mais ça s'arrête là !
J'ai vu qu'à l'X, il y a un interrogateur qui pose souvent des questions de géométrie, et le cours de mon professeur est un peu limite sur ces questions ? Votre bon conseil me serait sacrément utile.

Au juste, Eiden est-il bien professeur en MP* ?
Re: l'Eden de la géométrie
09 juin 2009, 21:46
avatar
T'inquiète pas je ne crois pas qi'il interroge à l'X :D.

Bruno
Re: l'Eden de la géométrie
09 juin 2009, 21:56
Bonsoir à tous,

Que de louanges sur ce livre, chez mon libraire c'est apparemment un vrai best seller, 3 jours après la sortie officielle il n'y en avait déjà plus, depuis je ronge mon frein jusque lundi prochain et effectivement la couverture est du plus bel effet.

Je profite aussi de ce sujet pour savoir si quelqu'un a des nouvelles concernant les deux livres d'analyse suivants, toujours chez C&M :

Frédéric Testard : Analyse mathématique. La maîtrise de l'implicite.

et

Denis Choimet et Hervé Queffélec : Analyse mathématique. Les grands théorèmes du vingtième siècle.

Surtout le deuxième d'ailleurs, qui traite des sujets peu communs tels que les théorèmes taubériens ou "l"autre" fonction de Riemann (ça c'est du suspense).
yannguyen
Re: l'Eden de la géométrie
10 juin 2009, 09:06
Hervé Queffélec à qui j'ai écrit hier semble croire à l'arrivée imminente du livre de chez l'imrpimeur : une affaire de dix à quinze jours. Patience donc et je suis comme vous dans l'attente de faire mieux connaissance avec l"autre" fonction de Riemann.
carlo bruno tedesco
Re: l'Eden de la géométrie
10 juin 2009, 14:08
"Que de louanges sur ce livre"

Certes, il y a le message-fleuve de viagra qui a inauguré ce fil, mais la suite s'est bornée à la description de ce que l'on peut faire à la force du poignet. J'attends avec impatience un ou deux autres avis de lecteurs avant de me décider.

Pour pasticher viagra : ce livre est-il passionnant, ou pas si Onan ?

Ciào a tutti, Carlo
vi@gra
Re: l'Eden de la géométrie
10 juin 2009, 21:06
Bonsoir,
Je pensais ne plus intervenir sur ce fil davantage, mais le ou la pauvre tarantula est depuis un moment déjà dans l'attente d'un conseil.

Non, ce livre ne peut être utile pour vous tarentula que si vous prenez vraiment le temps qu'il faut pour l'investir.
On n'emmène pas une fille dans son lit après deux ou trois rencontres, à moins qu'elle ne soit légère (même de nos jours), et cela vous le comprenez bien que vous soyez garçon ou fille.

Et c'est pareil pour le livre bleu de jde, surtout qu'en termes de poids, il n'est pas léger du tout, et qu'il est plutôt un peu sumo il ne se livre pas dès qu'on en feuillette deux ou trois fois les plis (de pages) et en ce moment, j'imagine que vous avez d'autres priorités que de faire exclusivement de la géométrie alors que vous n'avez pas encore peut-être assimilé les séries entières et les séries de Fourier.

Cela dit, ce livre me semble plus utile aujourd'hui à l'interrogateur de l'X que vous signalez qu'à vous même, et cet interrogateur ne doit pas être le seul à poser des exercices de géométrie aux concours que vous passez.
A Centrale, la géométrie est reine.

Je pense donc que bon nombre d'exercices de géométrie seront cette année recyclés par les interrogateurs à partir d'exercices figurant dans le jde.
L'exercice suivant rencontré au hasard des pages du jde pourrait être un exemple :

Montrez que le centre de gravité, l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit sont alignés, et que si le centre du cercle inscrit est aligné avec les précédents, le triangle est isocèle...
Je ne vous conseille pas de vous précipiter chez votre libraire pour vous procurer le Eiden, pour ce simple exercice, mais essayez de voir plutôt comment vous pouvez y arriver par vous-même, et je suis sûr que l'un ou l'autre des brillants géomètres du forum vous aidera, en cas de difficulté, à y parvenir.

Evidemment que les coordonnées barycentriques fournissent une véritable mine d'exercices et l'on a chaque fois la surprise (party) de constater que leur usage simplifie maintes situations.
Et comme les coniques ne sont plus du menu quotidien des élèves des classes prépa, c'est plutôt vers les applications des nombres complexes à la géométrie que ce livre pourrait être utile aux taupins.

L'expression d'une symétrie axiale par rapport à la droite passant par $A$ et $B$ d'affixes $a$ et $b$ tels que $| a | = | b |=R$ est à connaître, et est simplement donnée par $z \mapsto a+ b- \frac{ab}{R^2} \bar z$, d'où l'on déduit l'équation de la droite $AB$.

On y apprend aussi que pour déterminer les affixes des 4 centres du cercle inscrit et exinscrits à un triangle $ABC$ dont les sommets sont sur le cercle unité, il est plus intelligent (en suivant une recommandation du célèbre Pappus) d'appeler $a^2$, $b^2$ et $c^2$ les affixes de $A$, $B$ et $C$. Quelle merveille d'apprendre dès lors que les affixes cherchés (je vous signale au passage que le mot affixe est masculin, tout comme amiante et hémisphère) sont $ab+ac-bc$, $ab-ac+bc$, $-ab+ac+bc$ et $-ab-ac-bc$... et que ces affixes sont donc en particulier de somme nulle, ce qui signifie que l'isobarycentre des quatre centres est le centre du cercle d'Euler du triangle ayant pour sommets les centres des cercles exinscrits.

Je passe sur les homographies et les inversions et le reste qui va avec (birapport, sextuplets harmoniques) et l'on retrouve le terrain familier des triangles équilatéraux du plan complexe, et la célèbre configuration de Fermat-Torricelli (si vous ne savez pas ce que c'est, vous devriez avoir autant honte que lorsque vous ignoriez ce qu'est un clitouriste, quand vous lisiez Titeuf), etc...

Les nombres complexes se prêtent également très bien aux problèmes métriques dans le plan euclidien ; si on a déjà vu aux oraux de l'X la formule de Ptolémée, rien n'empêche quelques interrogateurs enthousiastes d'embrayer avec les centres isodynamiques, les cercles d'Apollonius, l'équation complexe des coniques, la conjugaison harmonique exprimée en termes de traces de matrices, ou encore les points de Lucas.

Ce ne sont que des exemples, et il y en a bien d'autres évidemment dans le livre du super jedi de la géométrie, le trop maintenant célèbre jde... (je n'ai malheureusement pas trouvé de photos de lui sur le web, et en particulier heureusement sur assbook)
Bref, que vous achetiez le jde ou non, vous serez 5/2...


[Le célèbre pappus n'a peut-être pas envie que tu divulgues son identité. Quant à la dernière phrase elle est singulièrement désagréable. Bruno]
vi@gra
Re: l'Eden de la géométrie
10 juin 2009, 21:24
c'est peut-être l'un de ces messieurs :


Re: l'Eden de la géométrie
10 juin 2009, 21:45
N' en déplaise à vi@gra, le mot affixe, relatif aux Mathématiques, est du genre féminin.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 10/06/2009 21:46 par cailloux.
vi@gra
Re: l'Eden de la géométrie
10 juin 2009, 21:50
pardon ! effaçons vite,
je suis favorable au principe d'anonymat

mais je suis sûr qu'à un moment l'identité de pappus était visible, sinon comment l'aurais-je su ?


quand au 5/2 j'ai hésité d'ajouter 7/2 !
On peut gommer aussi si cela risque de faire des malheureux...
Re: l'Eden de la géométrie
10 juin 2009, 21:56
Et pour ceux qui veulent se faire mal avec des coordonnées barycentriques et qui n'en auraient pas eu assez dans le Eiden, il y a par exemple ça :
[pagesperso-orange.fr]

Pour la remarque sur le choix des affixes pour être efficace avec les cercles exinscrits et le cercle inscrit, on peut aussi regarder le bouquin de Liang-Shin Hahn, Complex Numbers and Geometry où on apprend que si le choix que viagra donne fournit une démonstration du théorème de Feuerbach, on peut aussi choisir pour affixes $\frac{2\beta\gamma}{\beta+\gamma}$, $\frac{2\gamma\alpha}{\gamma+\alpha}$ et $\frac{2\alpha\beta}{\alpha+\beta}$, $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ étant les affixes des points de contact du cercle inscrit (choisi comme étant le cercle unité) avec les côtés du triangle ... et on obtient une élégante démonstration du théorème Feuerbach (une autre, et toujours sans faire appel à l'inversion).
ev
Re: l'Eden de la géométrie
10 juin 2009, 22:36
avatar
Bonsoir Vi@gra.

Ass-Book c'est le pedigree des ânes ? ça m'intéresse ! A moins que ce soit un site de paris sur les courses d'ânes et là tu peux m'oublier !

e.v.
PPlaton
Re: l'Eden de la géométrie
11 juin 2009, 15:30
J'ai une amélioration locale d'un passage du Eiden.

L'auteur affirme que si $A$ et $B$ sont deux points du cercle unité d'affixes $a^2$ et $b^2$
alors les points $C$ et $D$ milieux des deux arcs délimités par $A$ et $B$ ont pour affixes $ab$ et $-ab$.
C'est juste, mais l'argument n'est pas optimal.
je propose celui-ci :

L'application $z\mapsto (a^2b^2)\bar z$ est la symétrie par rapport aux points d'affixes
$ab$ et $-ab$, qui sont aussi sur le cercle unité,
cette application échange $A$ et $B$
et c'est gagné.

Que d'étudiants ont dépassé leur maître

Bonjour à tous.

[La case LaTeX. AD]
Volfoni
Re: l'Eden de la géométrie
11 juin 2009, 17:45
Exact, à propos de l'usage des nombres complexes, mais les coordonnées barycentriques vont plus loin ; voici ce que l'on voit page~197 dans le {\sc Eiden} :

{\em le cercle d'{\sc Euler} d'un triangle $ABC$ est tangent au
cercle inscrit en un point~$F$, et aux cercles inscrits respectivement dans l'angle~$A$, dans
l'angle~$B$ et dans l'angle~$C$ en des points~$F_{A}$,~$F_{B}$ et~$F_{C}$. Les tangentes
au cercle d'Euler aux points~$F$,~$F_{A}$,~$F_{B}$ et~$F_{C}$ sont également tangentes à l'ellipse de {\sc Steiner} du triangle.}
PPlaton
Re: l'Eden de la géométrie
11 juin 2009, 19:14
Folfoni ! J'imagine que ton propos concerne le théorème de Feuerbach, et qu'il s'adresse à Eric.

Reviens parmi les humains !

De surcroît, les tangentes dont tu parles sont les tangentes aux différents points de contact.
Eiden, maître en concision, ne doit pas être fier de toi !

Il faut dire plutôt :

Le cercle d'Euler est tangent au cercle inscrit et aux trois cercles exinscrits et les tangentes aux points de contact sont
sont également tangentes à l'ellipse de Steiner (inscrite, j'imagine)



Je suppose enfin qu'avec les complexes on peut établir ce résultat, mais je n'ai pas trouvé cela dans le Eiden, malgré les jolies et nombreuses pages consacrées à la géométrie et aux nombres complexes.
Jarzuq
Re: l'Eiden de la géométrie
13 juin 2009, 07:38
myrtille écrivait:
-------------------------------------------------------

> Je crois que vi@gra en était alors au moment
> ultime, comme Beethoven écrivant la septième
> symphonie dans sa baignoire.

Bonjour airelle
Je suis surpris par la pénétrante perspicacité de myrtille, propre souvent aux seuls génies solitaires, enclins plus que d'autres à l'oto (phily).



Sur un autre plan, Eric ferait 100 doute preuve d'une grande libéralité en nous détaillant cette méchante preuve du théorème de Feuerbach, qui prend pour repère affine les pieds des céviennes du point de Gergonne (supposés de module un).

D'ailleurs, est-ce que Gergonne est cité dans ce fameux livre auquel est dédié ce post ?
Re: l'Eiden de la géométrie
13 juin 2009, 09:45
On suppose que le cercle inscrit du triangle $ABC$ coïncide avec le cercle unité. On note $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ les affixes des points où ce cercle est tangent respectivement aux côtés $[BC]$, $[CA]$ et $[AB]$. Les équations des trois côtés sont alors
\begin{align*}
z+\alpha^{2}\overline{z}=2\alpha,&&z+\beta^{2}\overline{z}=2\beta,&&z+\gamma^{2}\overline{z}=2\gamma.
\end{align*}
On trouve les affixes de $A$, $B$ et $C$ en résolvant les systèmes formés de deux de ces trois équations. On trouve
\begin{align*}
A\colon\frac{2\beta\gamma}{\beta+\gamma}\,,&&
B\colon\frac{2\gamma\alpha}{\gamma+\alpha}\,,&&
C\colon\frac{2\alpha\beta}{\alpha+\beta}\,.
\end{align*}
Le milieu $L$ du côté $[BC]$ a pour affixe
\begin{align*}
\alpha\left(\frac{\gamma}{\gamma+\alpha}+\frac{\beta}{\alpha+\beta}\right)
&=\frac{2\beta\gamma+\alpha\beta+\gamma\alpha}{(\gamma+\alpha)(\alpha+\beta)}\cdot
\frac{\alpha(\beta+\gamma)}{\beta+\gamma}\\
&=\frac{(\sigma_{2}+\beta\gamma)(\sigma_{2}-\beta\gamma)}{\sigma_{1}\sigma_{2}-\sigma_{3}}\\
&=\frac{\sigma_{2}^{2}}{\sigma_{1}\sigma_{2}-\sigma_{3}}
-\frac{\sigma_{3}^{2}}{\alpha^{2}(\sigma_{1}\sigma_{2}-\sigma_{3})}\,,
\end{align*}
$\sigma_{1}$, $\sigma_{2}$ et $\sigma_{3}$ étant les fonctions symétriques élémentaires
\begin{align*}
\sigma_{1}=\alpha+\beta+\gamma,&&
\sigma_{2}=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha,&&
\sigma_{3}=\alpha\beta\gamma.
\end{align*}
Par symétrie, les affixes respectives des milieux $M$ et $N$ des côtés $[CA]$ et $[AB]$ sont
\begin{align*}
M\colon\frac{\sigma_{2}^{2}}{\sigma_{1}\sigma_{2}-\sigma_{3}}
-\frac{\sigma_{3}^{2}}{\beta^{2}(\sigma_{1}\sigma_{2}-\sigma_{3})}\,,&&
N\colon\frac{\sigma_{2}^{2}}{\sigma_{1}\sigma_{2}-\sigma_{3}}
-\frac{\sigma_{3}^{2}}{\gamma^{2}(\sigma_{1}\sigma_{2}-\sigma_{3})}\,.
\end{align*}
On note $K$ le point d'affixe $\frac{\sigma_{2}^{2}}{\sigma_{1}\sigma_{2}-\sigma_{3}}$. On a
\begin{equation*}
KL=KM=KN=\frac{1}{\abs{\sigma_{1}\sigma_{2}-\sigma_{3}}}
\end{equation*}
et $K$ est le centre du cercle des neufs points dont le rayon est égal à $\frac{1}{\abs{\sigma_{1}\sigma_{2}-\sigma_{3}}}$. L'équation de ce cercle est alors
\begin{equation*}
\abs{z-\frac{\sigma_{2}^{2}}{\sigma_{1}\sigma_{2}-\sigma_{3}}}=\frac{1}{\abs{\sigma_{1}\sigma_{2}-\sigma_{3}}}
\end{equation*}
ou
\begin{equation*}
\left(z-\frac{\sigma_{2}^{2}}{\sigma_{1}\sigma_{2}-\sigma_{3}}\right)
\left(\overline{z}-\frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{1}\sigma_{2}-\sigma_{3}}\right)
=\left(\frac{\sigma_{3}^{2}}{\sigma_{1}\sigma_{2}-\sigma_{3}}\right)^{2}
\end{equation*}
en utilisant les relations
\begin{align*}
\overline{\sigma_{1}}=\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{3}}\,,&&
\overline{\sigma_{2}}=\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{3}}\,,&&
\overline{\sigma_{3}}=\frac{1}{\sigma_{3}}\,.
\end{align*}
On considère alors le système formé de l'équation du cercle des neuf points et de celle du cercle inscrit ($z\overline{z}=1$). On obtient
\begin{equation*}
\sigma_{1}^{2}z^{2}-2\sigma_{1}\sigma_{2}z+\sigma_{2}^{2}=0
\end{equation*}
ou, dit autrement,
\begin{equation*}
\left(\sigma_{1}z-\sigma_{2}\right)^{2}=0.
\end{equation*}
Il s'ensuit que si $\sigma_{1}\neq0$, le système formé des équations des deux cercles a une racine double, ce qui implique que les deux cercles sont tangents. Si $\sigma_{1}=0$, le triangle $ABC$ est équilatéral et le cercle des neuf points coïncide avec le cercle inscrit.

Les calculs précédents restent valides si deux des points d'affixes $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ se trouvent sur les droites supportant les côtés (ce qui revient à supposer que le cercle unité coïncide avec un des cercles exinscrits).


Pris dans Complex Numbers and Geometry de Liang-Shin Hahn (MAA, 1994) qui renvoie à The Schwarz's function and its applications de P.J. Davis (MAA, 1974)
Volfoni
Re: l'Eiden de la géométrie
13 juin 2009, 16:12
J'ai déjà feuilleté le Liang-Shin en B.U. C'est un bon petit bouquin de deux cents pages, mais il est dommage que cent d'entre elles soient du niveau Terminale. Je ne me souviens plus du degré d'approfondissement du théorème de Feurbach, et en particulier je ne me rappelle plus si on y détermine les tangentes communes entre le cercle de Feuerbach (pardon, des neuf points) et l'ellipse inscrite de Steiner.

D'ailleurs, je ne sais pas si celle-ci accepte une représentation commode en nombres complexes.

Quelqu'un connaît-il une interprétation géométrique simple de la fonction symétrique $\sigma_2$ qui intervient dans la démonstration ci-dessus ?

Bon dimanche à tous, Raoul
Jarzuq
Re: l'Eden de la géométrie
13 juin 2009, 18:32
Merci, merci Eric ! (il me semble qu'il y a une coquille ou deux dans la première équation du cercle d'Euler.) Elle est vraiment bien cette démo, même si mon penchant va vers la vieille démo avec les inversions.

J'ai par ailleurs une question : peut-on avoir $\sigma_1\sigma_2=\sigma_3$ ?

Enfin, et cela est sans doute dans l'introduction du livre de JDE, pourquoi faudrait-il penser aux fonctions symétriques quand on fait des calculs avec les nombres complexes ? Je puis réaliser qu'un point comme ici le centre du cercle d'Euler dépend symétriquement des points de base, mais pourquoi la démo fait usage de ces fonctions, plus précisément ? Qu'est ce qui pousse à exprimer les milieux des côtés en fonction des fonctions symétriques élémentaires, bien qu'e ces points ne soient pas à dépendance symétrique ?
ophrys
Re: l'Eden de la géométrie
13 juin 2009, 21:17
J'ai déjà parcouru quelques dizaines de pages de ce livre excellent. Il me semble difficile de ne pas adhérer aux éloges. Ce livre permettra à ceux qui n'ont connu de géométrie qu'algébrisée, de retrouver, avec l'origine de concepts fondamentaux, l'élégance de nombreux arguments oubliés. Il permettra à de nombreux enseignants d'argumenter la présence (même cachée) de la géométrie partout dans les mathématiques qu'ils exposent. Il aidera aussi à comprendre que s'éloigner de la géométrie éloigne autant de la compréhension que de l'heuristique. S'en rapprocher réconcilie simplement avec la pensée.
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