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A la recherche de la découverte mathématique

Envoyé par asymptotik 
A la recherche de la découverte mathématique
il y a cinq années
Bonsoir, je reprends et partage le constat suivant de Grothendieck dans Récoltes et Semailles : dans toute publication mathématique, manuel scolaire, livre mathématique sur tel ou tel sujet, article de recherche, la démarche qui mène à la découverte mathématique inmanquablement se trouve voilée. Tout se passe comme si l'auteur après avoir suivi de fausses pistes, commis des erreurs, procédé à des essais et des rectifications, décidé une fois le résultat trouvé de refaire le chemin à l'envers et d'effacer méticuleusement tous ces précieux indices. Il y a sûrement de bonnes raisons pour cela mais çà fausse l'image que l'étudiant à de la recherche en mathématiques. C'est pourquoi je suis à la recherche de livres qui au contraire mettent consciemment en avant cette démarche et le processus de découverte. Je pense à des livres comme Analyse mathématique de Godement ou L'analyse au fil de l'histoire. Connaissez vous d'autres livres ou auteurs de ce genre ?

Merci.

P.S. : à l'heure où la suppression de l'histoire en TS fait beaucoup de bruit je m'étonne que l'enseignement de l'histoire des sciences soit toujours la grande absente des programmes scolaires scientifiques. Je pense que sur les 4 heures enseignées en première S une au moins devrait être consacrée à cette discipline.
Re: A la recherche de la découverte mathématique
il y a cinq années
Il y a un peu cette démarche dans le bouquin de Steele (The Cauchy-Schwarz Master Class) de montrer un peu comment on arrive au résultat, au besoin en se prenant les pieds dans le tapis pour voir comment rattraper la sauce (peut-être qu'un jour je trouverai le temps de finir la traduction de la chose ...).
Re: A la recherche de la découverte mathématique
il y a cinq années
Merci Eric, je t'encourage vivement à mettre ce livre à disposition du lecteur francophone.
Quoi de plus intéressant qu'un livre où on "verrait" la pensée du mathématicien en action, la pensée mathématique en train de se faire en chair et en os. Je cite Aléa qui disait dans un fil récent [www.les-mathematiques.net] "Ainsi, on pourrait dire que les mathématiques ne sont pas le résultat de l'activité de recherche, mais l'activité de recherche elle-même", si tel est le cas on peut dire qu'un étudiant en mathématiques a toujours à faire aux résultats jamais à l'activité de recherche elle-même, c'est-à-dire en poussant cette logique à son extrémité qu'un étudiant n'a jamais vu ni fait de mathématiques.
D'autres suggestions de lectures dans ce sens ?

Cordialement



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par asymptotik.
Re: A la recherche de la découverte mathématique
il y a cinq années
avatar
Je n'ai pas encore de résultats mais je me prends souvent les pieds dans le tapis en réfléchissant sur RH, Goldbach ou BSD, dois-je en déduire que je fais bien des maths ? :D
Re: A la recherche de la découverte mathématique
il y a cinq années
Asymptotic, tu es méchant pour les étudiants :
Citation

"Ainsi, on pourrait dire que les mathématiques ne sont pas le résultat de l'activité de recherche, mais l'activité de recherche elle-même", si tel est le cas on peut dire qu'un étudiant en mathématiques a toujours à faire aux résultats jamais à l'activité de recherche elle-même, c'est-à-dire en poussant cette logique à son extrémité qu'un étudiant n'a jamais vu ni fait de mathématiques.
J'ose espérer que les étudiants de mathématiques ne font pas que copier des corrections d'exercices, et même que la plupart ne se contentent pas de faire des exercices. D'ailleurs, si c'était vrai, comment deviendraient-ils chercheurs ?
Un étudiant qui cherche par lui même la preuve d'un théorème ne fait rien de différent qu'un chercheur qui essaie de prouver différemment un théorème connu, ou même de prouver que le résultat dont il a l'intuition est correct.

Cordialement.

NB : Certains, sur ce forum, cherchent ...à nous prouver que, dans leur cas, tu as raison.
Re: A la recherche de la découverte mathématique
il y a cinq années
Bonsoir Gerard0, merci pour ta réponse, si je ne suis pas méchant il est vrai que je suis volontairement provocateur et que j'exagère un peu, ce que je dénonce chez les autres je le dénonce avant tout chez moi, en maths plus qu'ailleurs on n'est jamais à l'abri de la passivité et de la paresse et souvent prompt à mettre sous le tapis les choses embarrassantes. Si, par exemple, depuis le début de l'année j'ai démontré quasiment tous les théorèmes de mes cours, soit plusieurs dizaines par cours pour quatre cours, c'est souvent en lisant la démonstration puis en refermant mon cahier pour la refaire. Un vrai travail de recherche serait de démontrer un théorème sans prendre connaissance au préalable de la démonstration. Ceci est absolument impossible pour tous les théorèmes mais pour un petit nombre ce serait déjà très bien en se laissant plusieurs jours voir plusieurs semaines ou mois pour sécher. Pour les élèves des classes préparatoires je m'interroge beaucoup sur leur capacité à faire des maths, sauf pour une minorité d'entres eux, étant donné le programme et le rythme imposés, voir en cela le magnifique et court texte suivant du mathématicien François Sauvageot [images.math.cnrs.fr]. Le retour des profs de classes prépa du forum m'intéresse. L'idéal c'est Grothendieck qui retrouve la théorie de Lebesgue durant ces années de licence, en plaçant la barre aussi haut mes propos sont à peine exagérés. Le style amathématique de la plupart des textes mathématiques n'aide pas en cela et on présente finallement aux élèves souvent autre chose que l'activité mathématique.

Cordialement
Re: A la recherche de la découverte mathématique
il y a cinq années
avatar
Bonne nuit à tous,
Pour des réflexions sur la démarche suivie pour arriver à certains résultats mathématiques, il ne faut pas oublier H. Poincaré. Vous avez, les fonctions fuschiennes et l'omnibus...
En plus, c'est écrit dans le français de tout le monde.
Je ne vous donnerai pas les titres exacts parce que je me suis esquinté le dos en bricolant, et je ne peux pas accéder au haut de ma bibliothèque. Mais vous les trouverez de partout.
Résoudre un exercice n'est pas faire de la recherche. La recherche c'est trouver l'énoncé et chercher à le résoudre en ne sachant pas s'il est vrai ou faux. Chercher une preuve et un contre-exemple en même temps, c'est exaltant et horrible.
Je me demandais si le F. Sauvageot dont il est question plus haut est celui qui était l'un des leaders de 68.
Si c'est le cas, c'est un des seuls à ne pas avoir mal tourné.
Bien cordialement. :)
Re: A la recherche de la découverte mathématique
il y a cinq années
avatar
Citation
asymptotik
Je cite Aléa qui disait dans un fil récent [www.les-mathematiques.net] "Ainsi, on pourrait dire que les mathématiques ne sont pas le résultat de l'activité de recherche, mais l'activité de recherche elle-même", si tel est le cas on peut dire qu'un étudiant en mathématiques a toujours à faire aux résultats jamais à l'activité de recherche elle-même, c'est-à-dire en poussant cette logique à son extrémité qu'un étudiant n'a jamais vu ni fait de mathématiques.

Je ne peux m'empêcher de réagir, parce qu'en fait, dans le contexte, ma phrase signifie exactement le contraire !
Je sens un continuum très fort entre les mathématiques que j'ai étudiées dès le collège et l'activité de recherche dont je fais profession; il me semble que c'est une particularité des mathématiques par rapport à d'autres domaines de la connaissance: on peut difficilement en raconter sans y adosser la démarche scientifique qui va avec, c'est aussi ce qui rend la vulgarisation plus difficile en mathématiques que d'en d'autres domaines.
Comme C. de Pluquaire sans doute, je suis un peu agacé quand j'entends parfois qu'on prétend faire faire de la recherche mathématique à des collégiens ou des lycéens. Je pense qu'il faut avoir plus de mesure dans l'expression de nos ambitions. Mais tout de même je le trouve bien sévère lorsqu'il écrit " Résoudre un exercice n'est pas faire de la recherche. La recherche c'est trouver l'énoncé et chercher à le résoudre en ne sachant pas s'il est vrai ou faux." et je suis plus proche de Gérard. Certes, il y a des exercices d'application qu'on aurait du mal à qualifier de recherche, mais nous avons tous des souvenirs (je crois que c'est Rémi qui rappelait cela l'autre jour), de recherche acharnée sur des devoirs maison qui nous ont procuré des émotions fort semblables à celles que l'on éprouve quand on fait de la Recherche avec un grand R.

Pour en revenir à la question de départ, qui concernait la difficulté de trouver des livres où l'on voyait la recherche à l'état brut, je vois deux explications. D'abord la paresse: c'est beaucoup plus long d'expliquer la recherche brut qu'une fois qu'elle a été policée. Ne serait-ce que parce que ça entraîne des dessins, des figures. Je me rends parfaitement compte que ce genre de choses se trouvent souvent dans mes cours ou mes TD, beaucoup plus rarement dans les traces écrites que je laisse dans mes polys.
Ensuite aussi, je crois qu'on nous a enseigné une certaine forme de pudeur qui fait que nous avons appris à ne pas nous laisser voir dans les errements et les tâtonnements de la recherche, dans ces moments où nous sommes hésitants et incertains, peut être vulnérables.
Il y a aussi une question d'aisance technique qui ne s'écrit pas à mon avis et part de l'étude d'innombrables exemples... J'ai un respect ayant la puissance du continu pour Grothendieck, mais on ne peut pas dire que EGA ou SGA suivent particulièrement ces conseils.
Re: A la recherche de la découverte mathématique
il y a cinq années
k7tMD >

Bonjour, Grothendieck lui même le reconnaît et cette réflexion lui vient tardivement à partir des années 80 lors de la rédaction de Récoltes et Semailles, il prétend avoir changé son style dans le manuscrit "A la poursuite des champs". Aléa, concernant les raisons d'un tel style amathématique qui culmine selon moi avec Bourbaki, je suis d'accord avec ton analyse et désolé si dans ma citation j'ai cru te faire dire quelque chose que tu ne disais pas.

[Inutile de répéter le message précédent. AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par AD.
Re: A la recherche de la découverte mathématique
il y a cinq années
avatar
Pas de problème, vraiment ! C'est vrai que parfois, à force d'essayer de s'exprimer de façon nuancée, on finit par laisser comprendre le contraire de ce que que l'on pense...
Re: A la recherche de la découverte mathématique
il y a cinq années
Asymptotik : je ne crois pas que l'on apprenne les mathématiques en lisant un livre ou en suivant un cours. Tu apprends à calculer, tu apprends le vocabulaire qui te servira à comprendre les autres et à communiquer. Tu vois ce qui t'intéresse ou pas (encore que...), mais tu n'apprends pas réellement les mathématiques.

On apprend les mathématiques en général avec quelqu'un qui te les apprend (à moins d'être un génie). Tu cherches, tu trouves. Grothendieck ne fait pas exception, il a appris avec Cartan, Serre, un peu Dieudonné, un peu Schwartz.

Nos collègues russes commencent comme ça, dès la première année (ceux qui veulent devenir mathématicien). Chez nous il faut attendre plusieurs années, mais je ne crois pas que cela ait un sens pour ceux qui se destinent à la recherche. Tu accumules des connaissances en espérant qu'un jour, elles te serviront. Et le jour ou tu dois t'en servir, tu te rends compte que tu n'avais rien compris...

Bon courage !
M.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par AD.
Re: A la recherche de la découverte mathématique
il y a cinq années
Bonjour Mauricio, quelle différence fais-tu entre apprendre les maths en suivant des cours et apprendre les maths avec quelqu'un qui te les apprend, je ne vois pas trop la différence ? Peux-tu préciser ce que tu entends par "Nos collègues russes commencent comme ça, dès la première année (ceux qui veulent devenir mathématicien)" ?
Sinon je suis toujours aussi intéressé pour avoir l'avis et le témoignage de profs en classe prépa sur la difficulté (ou non) à faire des maths dans ces filières, j'en appelle donc à l'excellent gb ou à d'autres qui voudront bien me répondre.

Cordialement
Je ne me reconnais pas non plus dans le témoignage de Mauricio.
Re: A la recherche de la découverte mathématique
il y a cinq années
avatar
Citation
C. de Pluquaire
Je me demandais si le F. Sauvageot dont il est question plus haut est celui qui était l'un des leaders de 68.

Non, pas du tout.
Re: A la recherche de la découverte mathématique
il y a cinq années
avatar
Bonne nuit à tout le monde,
Cher remarque,
Merci pour le renseignement à propos de F. Sauvageot.
Bien cordialement. :)
Re: A la recherche de la découverte mathématique
il y a cinq années
avatar
Bonne nuit à tout le forum,
Suite à mon premier message, et au message de alea qui le suit.
Je pense qu'on peut donner des exercices qui soient une initiation à la recherche. Certains exercices des olympiades fournissent des exemples.
Une première chose est de ne pas donner la réponse, c'est-à-dire "démontrer le résultat énoncé, ou bien trouvez un contre-exemple". Ou: "quelle est la bonne réponse parmi les énoncés a) b) c) suivants". On peut corser la chose en disant qu'aucun des énoncés n'est peut-être exact, ou bien que certains énoncés peuvent être équivalents.
On peut enfin ne pas donner de réponse du tout: "étudiez le système de deux équations linéaires à deux inconnues et à un paramètre suivant".
On peut aussi demander de "généraliser", sans plus de précision.
Il est possible également de faire chercher les hypothèses à introduire par le chercheur en herbe lui-même.
Enfin, on peut faire fabriquer un énoncé d'exercice!
Personnellement, j'avais suggéré une méthode pour trouver les solutions d'un système linéaire n x n en dessinant deux droites D, D' qui se coupaient; j'avais ensuite pris un point arbitraire a et projeté a en a1 sur D puis a1 en a2 sur D', puis a2 sur D, etc.
Enoncé de l'exercice: mettre tout ça en forme.
Personne n'avait trouvé... Je me demande si quelqu'un avait cherché...
Ou peut-être que les étudiants avaient deviné que la méthode n'était pas efficace eye rolling smiley.
Bien cordialement. :)
Re: A la recherche de la découverte mathématique
il y a cinq années
Asymptotik: je vais essayer d'être clair et bref (je dois travailler). Je parle des mathématiques que je connais, c'est-à-dire à un niveau de recherche, et uniquement de ce que l'on appelle aujourd'hui les "mathématiques pures".

Dans mon parcours mathématique, avant d'avoir démontré mon premier théorème, avant d'avoir été au contact avec des professionnels de très haut niveau, je n'avais aucune idée de ce qu'étaient les mathématiques.

Concernant les Russes, je voulais dire la chose suivante. En Russie, les élèves de première année s'inscrivent à un séminaire. Ils voient comment les mathématiciens petits et grands font les mathématiques. Ils sont souvent au contact de très grands mathématiciens (Arnold, Dubrovin, Gelfand, Safarevitch, Novikov, Tiourin) qui leur communiquent directement ou indirectement (par leurs élèves) leur savoir.

Autrefois c'était aussi le cas en France. Par exemple au séminaire Bourbaki, séminaire Cartan, au séminaire Grothendieck, au séminaire Thom.

La transmission du savoir entre les générations me semblent s'être interrompue, perte qui se traduit par la supériorité des anciens sur la jeunesse. Or un fait notablement déterministe dans les mathématiques du XXième siècle, c'est que le niveau des maîtres et de leur entourage déterminent à peu de choses près le niveau de leurs élèves. Je ne dis pas ça par vantardise, mais pour que ceux qui veulent se lancer dans les mathématiques le sache.


J'espère avoir été un peu plus clair et ne pas t'avoir trop choqué.

Bon courage à tous!
Mauricio
Re: A la recherche de la découverte mathématique
il y a cinq années
Entièrement d'accord avec Mauricio. Je n'ai appris de vrais mathématiques qu'au contact de mathématiciens (y compris ici virtuellement avec Greg, MC et Borde que je remercie).
Je suis extrêmenent heureux du grand nombre de livres publiés aujourd'hui et j'en achète beaucoup (nombreux sont de qualité et il y en avait très peu il y a encore 20 ans). Mais, ça ne remplace jamais le contact direct.

Tout ce que j'ai appris de plus profond, je l'ai appris par le contact individuel (directeur de thèse puis ensuite mathématiciens spécialistes d'autres domaines dont je ne suis pas spécialiste). Il est effectivement extrêmement dommage que les séminaires à l'ancienne n'existent quasiment plus: chacun y présentait un exposé et on en discutait jusqu'à faire sortir les vers du nez...On peut parfois en avoir un léger goût en fin de séminaire quand les gens posent des questions (j'en pose souvent des simples quand ce n'est pas dans mon petit domaine, pas techniques du tout pour demander des exemples concrets, ou bien suggérer une généralisation qui va de soi genre de une à plusieurs variables, discuter des hypothèses, etc...).
Il serait très agréable qu'un laboratoire de maths adopte un thème de recherche décidé par les meilleurs spécialistes du domaine et que tous ceux qui veulent y participer s'investisssent collectivement dedans (comme dans les séminaires de Cartan ou les séminaires russes). On ferait faire des bonds aux mathématiques. Le mathématicien ou le matheux tout simplement est habitué au travail individuel condition sine qua non dans notre discipline, mais pourquoi délaisser le travail collectif et la dialectique affutée qui l'accompagne? (Pour cette raison, j'aime lire ce forum...).

Pour en revenir aux livres, à part ceux cités, il y a aussi à beaucoup plus bas niveau (math sup-math spé): "pas à pas en prépa" qui a cette démarche de montrer les fausses pistes, les méthodes longues avant de conclure. Il y a aussi tous les bons livres d'histoire des maths (en particulier les Dieudonné pour l'époque récente).
Je pense néanmoins qu'on peut faire le travail sur n'importe quel théorème ou exercice pas uniquement d'application: se demander pourquoi ça marche (en général le reconstituer à l'envers), retrancher ou ajouter des hypothèses, etc....Et avant cela de bien être sûr qu'on dérecté les erreurs de frappe ou pas et compris très profondément toutes les étapes surtout celles qui ne sont pas écrites et qui sont loin d'être triviales bien souvent contrairement à ce que pensent l'étudiant non averti. Puis améliorer la preuve si c'est possible.Etre mathématicien, c'est ça avant tout...



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par olib.
Re: A la recherche de la découverte mathématique
il y a cinq années
Merci pour cette référence Olib, je jetterai un coup d'œil prochainement en bibliothèque. Il est clair que fréquenter des mathématiciens professionnels dans un séminaire doit être une grande chance pour ces jeunes russes, on ne peut que regretter que cela n'existe plus en France. Grothendieck dit clairement que le séminaire Bourbaki fut une grance chance pour lui. Je me console en pensant qu'un forum comme celui-ci peut effectivement jouer ce rôle, cela permet à de jeunes étudiants de fréquenter des étudiants plus avancés, voire des professionnels.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par AD.
Re: A la recherche de la découverte mathématique
il y a quatre années
Excusez moi de faire remonter un vieux fil mais je viens de trouver cette citation de Niels Abel à propos de Gauss sur ce forum même, elle illustre bien mon propos :
"A propos du style mathématique de Gauss : Il est comme le renard qui efface ses traces dans le sable avec sa queue.".
je suis un éleve en class de terminale c j aimerais etre au parfum des decouvertes en mathématique
Re: A la recherche de la découverte mathématique
il y a deux années
Bonsoir

Moi , je me pose la question un peu folle et peut etre idiote : ou sont cachées les Mathématiques qu'on cherche à découvrire , qu'on ignore . Un peu comme un trésor caché .....


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