livre de DSP
bonsoir,
l'auteur étant sur le forum, j'aurai aimé savoir quel est l'intérêt de l'étude des formes quadratiques en caractéristique 2 ? autre que la difficulté de l'étude j'entends.
félicitations pour l'ouvrage (on aurait envie de dire la somme)
l'auteur étant sur le forum, j'aurai aimé savoir quel est l'intérêt de l'étude des formes quadratiques en caractéristique 2 ? autre que la difficulté de l'étude j'entends.
félicitations pour l'ouvrage (on aurait envie de dire la somme)
Réponses
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Les spécialistes te répondront certainement mieux que moi (si Greg traîne dans les parages...).
Cependant :
(1) Historiquement, l'étude des formes quadratiques en caractéristique $2$ a été motivée par
la théorie des noeuds (travaux de Arf).
(2) Les groupes spéciaux orthogonaux associés aux formes quadratiques
régulières sur un corps fini de caractéristique $2$ interviennent dans la classification des groupes simples finis.
Le point (2) est à mon avis une motivation assez sérieuse pour aborder la théorie (du point de vue d'un algébriste).
Merci pour le compliment, et bonne lecture !
Merci également d'avoir ouvert un fil particulier, comme cela nous arrêterons de polluer celui de Bruno. -
Bruno battu,
il y a pas photo !
http://www.amazon.fr/gp/bestsellers/books/302106/ref=pd_zg_hrsr_b_1_3_last -
Ce qui m'inquiète, c'est la présence de livres d'occasion ! J'ai déjà dégouté autant de lecteurs ? :-(
Bruno -
Bah c'est des occasions au prix du neuf, à mon avis c'est du neuf de vendeurs auxiliaires .
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pas d'inquiétude, c'est un professionnel : chapitre_libraire
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Bien vu darktaupin !
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@Bruno : A mon avis, tu ne serais pas le seul dans ce cas. En effet, il en est de même pour tous les autres, y compris pour celui de dSP. Il faut que je l'achète.
Merci donc pour ce moment de détente humoristique juste avant d'aller travailler !!!!
A + -
Je l'ai acheté. Je trouve ça très bien d'avoir eu le courage de pondre un pavé en français de plus de 800 pages sur le sujet qui est
extrêmement intéressant et utile. Surtout que le Deheuvels commençait à dater. Félicitations Clément!
(J'ai aussi acheté le livre de Bruno(tu)) -
commandé il y a 3 semaines déjà, mon mien en moi devrait arriver demain! J'en salive d'avance...
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j'aurai aimé savoir quel est l'intérêt de l'étude des formes quadratiques en caractéristique 2 ? autre que la difficulté de l'étude j'entends.
A bin, jvais donner mon avis (dommage, je n'achète (encore?) le livre, car suis trop ignare et ai eu trop de crises boulimiques de librairie, j'ai acheté plus de 50 livres, je n'en ai pas lu un seul, et bcp ont nourri mes souris) et le SEUL motif qui pourrait bien me faire l'acheter un jour: c'est justement cette entrée dans la table des matières: la caractéristique2, c'est le booléen, le vrai/faux étudié par la logique, etc. Il y a une telle ribambelle de théorèmes en alg linéaire (n'excluant pas tous la caractéristique2), qu'on a vraiment envie de se demander "ce que ça donne" dans le cas particulier de la caractéristique2.
Un exemple simple est ce petit programme sous dos (qui ne pèse rien à télécharger) que j'avais fait et qui n'aurait pas d'équivalent ludique simple, où on doit lier les lignes d'une matrice qui a une ligne de plus que de colonnes: http://www.logique.jussieu.fr/~chalons/pourelev.exe
ça se traduit (avantage de F2) par le fait qu'on a le droit d'activier ou pas certaines lignes, le but étant qu'il y ait un nombre pair de croix par colonnes (sans désactiver toutes les lignes) : appuyer sur espace pour commencer, appuyer plusieurs fois sur "espace" pour vous déplacer dans les lignes (je me suis pas cassé la tête), appuyer sur "0" pour activer/déactiver une ligne, appuyer sur "+" pour un nouveau jeu en agrandissant la matrice (pour revenir à une petit taille, appuyer plein de fois sur "+"). Les colonnes rouges sont celles qui contiennent un nombre de croix impair. Pour quitter taper "q"
Si j'avais su, j'aurais aussi mis une version où le but est d'inverser une matrice.. Je le ferai peut-être. C'est très marrant parce que c'est pas du tout "évident" à la main.
Si ça se trouve dans l'étude fournie par dSP, il y a plein de révélations qui se traduiraient en trucs marrant de cette nature qu'on ne soupçonne pas. (LEs caractéristiques plus grandes deviennent vite ou bien "du nombre" ou bien des usines à gaz). D'ailleurs dSP nous dira peut-être quels résultats seraient délectables en termes de "croix présentes ou absentes" sur un tableau?Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
bonsoir,
merci pour ta réponse dSP.
J'ai reçu l'ouvrage.
Je suis surtout intéressé par l'étude algébrique, mais la partie sur la caractéristique 2 m'intrigue.
J'aime la clarté de l'exposé (je possède le Deheuvels, qui est plus aride pour moi), mais alors je réalisais mal sa taille avant de pouvoir le feuilleter : je ne l'avais vu qu'en librairie sous plastique. Monumental !
Félicitations encore et merci pour le travail. -
A jeroM : très content que l'ouvrage te plaise. Bonne lecture !
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Bonjour ! Hier, dans un moment de colère contre mon fils qui ne travaille pas assez, j'ai pris le DSP et failli en faire le même usage qu'on faisait autrefois avec l'annuaire. Il a compris la menace, laissé tomber son iphone et s'est mis aussitôt à travailler. Comme quoi le DSP ne sert pas uniquement pour l'agreg.
Un ami cher m'a confirmé le même usage, en ajoutant que ça ne laissait pas de traces. -
Le pire, c'est l'epoque ou on faisait ca avec l'Encyclopedia Universalis.
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Tous les tomes simultanément ?
La répliqua de ton ami est tirée du filme "les ripoux" ! Le regretté Philippe Noiret joignant le geste à la parole.
Bruno -
Pour ceux qui ne l'auraient pas remarqué, j'ai fait une petite page de présentation du bouquin
réunissant quelques fichiers que j'avais mis en lien sur le forum.
Invitation aux formes quadratiques
Grâce à un lecteur très attentif, quelques coquilles mineures ont été détectées,
et un fichier les répertoriant est disponible sur le site.
dSP, qui s'occupe aussi du service après-vente -
Je vois bien DSP avec sa casquette de dépanneur (et sa clef C&M à molette) venir dimanche après midi assurer le service après vente auprès des jeunes agrégatives.
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Bonjour DSP,
Pour commander ton livre, tu cites amazon et Eyrolles.
Pourquoi oublier l'excellent libraire lyonnais Decitre, qui mérite le soutien de tous pour le travail exceptionnel qu'il fait pour promouvoir les livres de mathématiques ?
Il y a aussi des gens cultivés à Lyon ;=)
http://www.decitre.fr/livres/Invitation-aux-formes-quadratiques.aspx/9782916352190 -
Perso, j'ai essayé une fois Decitre, et je n'en ai pas été satisfait : commande égarée dans un premier temps, délais de livraisons très longs, facture finale ayant des rapports assez distendus avec les prix annoncés à la commande.
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j'aurais dit "qui fit" naguère un travail exceptionnel, le rayon maths étant réduit lors de ma dernière visite à peau de chagrin... et mon interlocutrice (passionnée) d'autrefois étant absente...
Mais je suis prêt à te croire sur parole et mettre ça sur le compte de la malchance. -
Bonjour
je suis a la recherche de corps gauches de centre Q.
je voudrais savoir combien d'algebres de quaternions differentes a-t-on sur le corps Q ?
cad qd (a,b) est isomorphe a (c,d) sur Q ?
merci, je n'ai pas trouve cela ds le livre de Mr Clement.
Autre question : y aura-t-il des corps gauches a l'agregation externe ? -
Bruno : si, si, ces questions sont liées à mon livre !!
$(a,b)$ est isomorphe à $(c,d)$ comme $\Q$-algèbre si et seulement si les formes quadratiques
$\langle a,b,-ab\rangle$ et $\langle c,d,-cd\rangle$ sont équivalentes. Sur $\Q$, on sait comment tester cette dernière équivalence (voir mon chapitre IX).
Je n'ai pas en revanche de classification complète à te proposer (i.e.
expliciter une fonction de choix d'un représentant des classes d'équivalences).
[Avec toutes mes excuses, je n'ai pas encore ouvert ton livre :-( ! Bruno] -
Merci a Bruno et merci a dSP,
Mr Clement, pourriez vous me donner deux corps gauches sur Q non isomorphes et de dim 4 sur Q ?
[Raluca, faut pas confondre (:D ! Bruno] -
Les algèbres de quaternions $(-1,3)$ et $(-1,7)$, par exemple.
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Pour répondre à Raluca, il suffit de trouver deux algèbres de quaternions ramifiées en des premiers différents (et un (premier) suffit). Dans l'exemple de Mr Clément : l'algèbre $(-1, 3)$ est ramifiée sur $\mathbb Q_3$ et $\mathbb Q_2$. L'algèbre $(-1, 7)$ est ramifiée sur $\mathbb Q_7$ et $\mathbb Q_2$. On peut remplacer $3$ et $7$ par n'importe quel premier congru à $3$ modulo $4$. Au hasard, je prends $1987$ et $1951$.
Si l'on préfère $\infty$ à $2$, on peut considérer les algèbres $(-1, -3)$ et $(-1, -7)$. -
Bonjour à tous et bonjour à Clément,
à voir les discussions autour de l'Invitation, on croirait que ce livre s'adresse à des post doctorants ou assimilés. Ne pourrait-on pas aussi expliquer que ce livre est très utile aux étudiants de L3 et M1, mais surtout aux agrégatifs qui vont passer en juin-juillet les oraux à Paris 7 ? Et qui mieux que l'auteur pourrait nous expliquer en quoi l'Invitation est à regarder en priorité? Car me semble-t-il, les leçons qui peuvent être enrichies en puisant dans ce livre sont nombreuses, et pas seulement sur les fq. Je vois pour ma part, tout ce qui concerne les opérateurs dans les espaces euclidiens, pas mal de choses sur les groupes, etc, etc. Et puis se promener avec le livre sous les bras sur la pelouse de la Halle aux farines ne peut passer inaperçu : ça flashe pas mal.
[********** Modéré: Eric**********] -
Bonjour M. Clément, puisque l'usage est au Monsieur plutôt qu'au Sire.
je suis allé regarder comment vous faites calculer le cardinal du cône isotrope d'une forme quadratique non dégénérée sur $F_p$. J'ai déja vu ce calcul dans le Artin (algèbre géométrique) ainsi que dans le Hindry d'arithmétique (qui utilise astucieusement des sommes de Gauss). La présentation est soignée, et il n'y a rien à dire.
En revanche, j'ai tiqué sur le terminologie que vous adoptez entre déterminant et discriminant.
Tout le monde sait qu'une forme quadratique (non dégénérée) n'a pas de déterminant (et encore moins une trace), mais elle a ce que tout le monde appelle en France un discriminant, qui est la classe modulo les carrés non nuls du déterminant d'une quelconque matrice qui la représente dans une base. Vous choisissez plutôt la terminologie de Scharlau dans son célèbre livre " Quadratic and Hermitians Forms" et aussi celle de Lam dans son livre "Introduction to quadratic forms over Fields": le déterminant de $q$ est la classe du déterminant d'une matrice représentant $q$.
Vous optez aussi comme Scharlau (traduit en anglais) et (T.Y. Lam, chinois anglophone) pour appeler en revanche discriminant la classe de $(-1)^n det q $ ( où la dimension est 2n ou 2n+1) dans $K^*/K^{*2}$, notion qui s'accomode bien au passage au groupe de Witt, mais également pour présenter les résultats sur le cardinal du cône isotrope (cardinal bien plus simple en dimension impaire que paire) . En page 153-154, vous vous justifiez en disant que votre choix pour la terminologie choisie est dicté entre autre par l'uitilité de la notion. Autement dit, vous utilisez l'utilité de la notion $-(1)^n det q $ pour justifier vos choix terminologiques !
Enfin, vous rapprochez votre discriminant d'une forme quadratique en deux variables avec le discriminant réduit d'une équation du second degré, ce qui n'est pas très convaincant.
Dans un cours donné aux étudiants de P7, j'ai entendu parler de discriminant et de discriminant signé. Je trouve cela plus joli. L'avis de Mr Bu m'intéresse d'ailleurs au plus haut point.
D'ailleurs encore, Bruno Kahn a écrit un livre dense sur les formes quadratiques. Est-ce que quelqu'un peut nous dire les choix que fait ce monsieur en la circonstance ?
Pour conclure, je vous envoie une petite fleur : votre approche pour la classification sur les corps finis, je ne la connaissais, mais elle me semble voisine de celle du Lam ?
Bravo pour votre "invitation", en tout cas. -
@Discriminon
Bruno Kahn préfère utiliser le terme discriminant comme étant le "signed discriminant" de Lam, Scharlau etc..
Tu vouvoies dSP maintenant? ;-)
Eric -
Bonjour à tous et à Clément en particulier.
Un ami concerné par l'agreg, familier du forum (mais qui n'y intervient pas), m'a demandé pour quelles leçons d'oral le livre de notre ami DSP pourrait servir. Je voulais lui dresser une liste des développements que l'on pourrait trouver dans ce livre très riche et puis j'ai pensé que l'auteur pourrait bien m'aider dans cette tâche, s'il a un peu de temps. Mais, j'imagine qu'il est en train d'écrire une nouvelle somme et qu'il n'est peut-être pas disponible en ce moment pour cela. Ou peut-être Clairon pourrait faire ça, elle qui est si savante apparemment avec les formes quadratiques et qui a si je ne me trompe pas un exemplaire du livre.
Je sais en tout cas qu'il y a deux leçons d'oral qui concernent explicitement les fq, mais une mine d'autres choses figurent dans ce livre, comme par exemple la réduction des opérateurs normaux dans les espaces euclidiens, ou l'étude des automorphismes du groupe symétriques S_6, etc. Et puis, il y a les groupes, la dualité, les quadriques affines et le calcul différentiel et les corps finis. Cela dit, il s'agit de faire des efforts, car la matière n'est pas formatée agreg. -
Chère Myrtille,
Tant que je fais partie du jury du concours de l'agrégation externe,
je ne peux intervenir directement sous forme de conseils précis de préparation à l'oral.
Rendez-vous donc en juillet prochain ;-) -
Amis des formes quadratiques et des matrices symétriques, bonjour,
puisque nous sommes entre nous, je vous propose un petit exo (je ne l'ai pas encore trouvé dans le dSP mais, vu les mille pages, il a de fortes chances de s'y trouver).
À la matrice réelle symétrique {\em positive} décrite par bloc $M=\begin{pmatrix}A&^tB\\B&C\end{pmatrix}$ on associe la matrice $M=\begin{pmatrix}A&0\\B&0\end{pmatrix}$.
Quelle est l'image de cette application ?
Bien cordialement, j__j -
L'exo n'y est pas mais pourrait venir étoffer la liste d'exos du chapitre VI dans une seconde édition
;-)
Réponse :
une CNS d'appartenance à l'image est que A soit symétrique positive et que
son noyau soit inclus dans celui de B. -
Fastoche JJ: c'est l'ensemble de ces matrices avec $Ker A$ contenu dans $Ker B$ !?
bon dimanche -
Exact chère Myrtille, avec $A$ positive \oe uf corse. C'est aussi l'ensemble des matrices diagonalisables de la forme $\begin{pmatrix}A&0\\B&0\end{pmatrix}$ avec $A$ symétrique positive. Un peu moins fastoche, mais tu peux chercher des tuyaux dans {\em Réduction des endomorphismes} de R.{\sc Mneimné}.
Bien cordialement, j__j -
Oups ! oui, on doit avoir aussi que A est positive !
A propos, cher JJ, vois-tu un rapport entre cet exercice et le résultat qui exprime que le produit de deux matrices positives est diagonalisable. zephir m'a soufflé l'existence d'un tel rapport, mais comme il "souffle" tout le temps, j'attends confirmation de ta part.
bon vent -
Je vais y songer, Myrtille ! Voici en attendant une méthode :
Si $u,v$ sont symetriques positifs, alors $uv$ diagonalisable. En effet, nous écrivons $u=h^{2}$ avec $h$ symétrique positif ; alors $uv=h.hu$
alors que $hu.h$ est symétrique donc diagonalisable. Mais les polynômes minimaux de $h.hu$ et de $hu.h$ sont égaux ou ne diffèrent que par un facteur $X$. Donc de toute façon $h.hu$ est scindé et les indices de ses valeurs propres sont les mêmes que ceux des valeurs propres de $hu.h$, sauf peut-être pour la valeur propre nulle. Il suffit donc de montrer que $uvuv$ et $uv$ ont même
noyau.\par
Or $uvuvx=0\Longrightarrow(vx|uvuvx)=(uvx|vuvx)=0\Longrightarrow vuvx=0$ puis $vuvx=0\Longrightarrow
(x|vuvx)=0=(vx|uvx)\Longrightarrow uvx=0$. Cqfd.
Déjà, puisqu'un projecteur orthogonal $p$ est symétrique positif, cela donne déjà notre exercice précédent comme cas particulier de celui-ci.
Bien cordialement, j_j -
Bonjour,
$ \begin{pmatrix}A&0\\ B&0\end{pmatrix}$=$ \begin{pmatrix}A&^tB\\ B&C\end{pmatrix}$.$ \begin{pmatrix}I&0\\ 0&0\end{pmatrix}$
Amicalement,
zephir. -
Voici une preuve pour ceux comme moi qui sont profondément allergiques aux racines carrées d'endomorphismes positifs (;-)) :
on se donne deux matrices $A$ et $B$ symétriques positives.
(1) Réduction au cas où $A=J_r$.
On réduit $A=PJ_r {}^tP$ avec $P$ inversible, on décompose $B={}^tP^{-1}B'P^{-1}$,
et on remarque que $AB=P(J_r B')P^{-1}$.
(2) On suppose désormais $A=J_r$ et on décompose par blocs $B=\begin{bmatrix}
B_1 & B_3 \\
B_2 & B_4
\end{bmatrix}$ où $B_1$ et $B_4$ sont toutes deux carrées de tailles respectives $r$ et $n-r$.
(3) Quitte à conjuguer simultanément $A$ et $B$ par une même matrice orthogonale, on peut supposer
que $B_1=\begin{bmatrix}
C & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}$ où $C$ est diagonale inversible de taille $s \leq r$.
(4) Comme la matrice symétrique $B$ est positive, son noyau est égal à son cône isotrope,
ce qui prouve que $B_3=\begin{bmatrix}
B'_3 \\
0
\end{bmatrix}$ où $B'_3$ possède $s$ lignes.
(5) Finalement $AB=\begin{bmatrix}
C & B'_3 \\
0 & 0
\end{bmatrix}$ et un simple calcul des dimensions des sous-espaces propres montre que $AB$ est diagonalisable. -
Tout en appréciant les scrupules de DSP, j'aime bien la methode de JJ , le mathematicien impeccable (d'après Gauthier, parlant de Bodlère l'auteur d'une autre Invitation :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Club_des_Hashischins !)
la méthode JJ s'adapte en écrivant u=hh* -
@Myrtille :
$ \begin{pmatrix}A&^tB\\ B&C\end{pmatrix}$ étant positive, $A$ est positive. Si $X$ est dans $\ker A$, $(X,0)$ est isotrope pour $ \begin{pmatrix}A&^tB\\ B&C\end{pmatrix}$ qui est positive, donc $(X,0)$ appartient à son noyau, ce qui implique $BX=0$
Cela étant dit si $X$ est vecteur propre de $A$ pour la valeur propre $a\ne 0$, alors $(X,\dfrac 1 a BX)$ est vecteur propre de $ \begin{pmatrix}A&0\\ B&0\end{pmatrix}$.
Ceci montre que $ \begin{pmatrix}A&0\\ B&0\end{pmatrix}$ est diagonalisable.
Amicalement,
zephir.
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