Loi géométrique tronquée
Bonjour à tous,
J'étais sur un exercice classique de politique nataliste :
Pour limiter le nombre de filles dans un pays (imaginaire?), on décide que :
- Chaque famille aura 4 enfants au maximum
- Dès qu'un garçon naît, la famille arrête de procréer.
On considère que chaque enfant à une chance sur 2 d'être un garçon, et que le sexe d'un enfant à naître ne dépend pas des enfants précédents.
Ce choix a-t-il la conséquence attendue de diminuer la proportion de filles parmi la population ?
Les compositions possibles des familles sont : G ; FG ; FFG ; FFFG et FFFF
On pose X la variable aléatoire de la proportion de garçons dans une famille.
Déterminons sa loi de probabilité:
p( X = 1 ) =p(G)= 1/2 p(X =1/2 )=p(FG) =1/2*1/2=1/4 p(X =1/3 ) =p(FFG) = 1/8
p (X =1/4 ) = p (FFFG) = 1/16 p (X = 0 ) = p (FFFF) = 1/16
Calculons maintenant l'espérance de X :
E(X) = 1*1/2 + 1/2*1/4 + 1/3*1/8 + 1/4*1/16 = 131/192
Ce résultat est faux , en fait il faut diviser l'espérance du nombre de garçons par celle du nombre d'enfants et on obtient bien 1/2.
Ma question est de savoir ce qui cloche dans la détermination de l'espérance de la proportion de garçons, j'ai l'intuition que c'est parce qu'on ajoute des proportions qui portent sur des ensembles différents, mais j'aimerais un avis éclairé sur la faille de raisonnement.
J'étais sur un exercice classique de politique nataliste :
Pour limiter le nombre de filles dans un pays (imaginaire?), on décide que :
- Chaque famille aura 4 enfants au maximum
- Dès qu'un garçon naît, la famille arrête de procréer.
On considère que chaque enfant à une chance sur 2 d'être un garçon, et que le sexe d'un enfant à naître ne dépend pas des enfants précédents.
Ce choix a-t-il la conséquence attendue de diminuer la proportion de filles parmi la population ?
Les compositions possibles des familles sont : G ; FG ; FFG ; FFFG et FFFF
On pose X la variable aléatoire de la proportion de garçons dans une famille.
Déterminons sa loi de probabilité:
p( X = 1 ) =p(G)= 1/2 p(X =1/2 )=p(FG) =1/2*1/2=1/4 p(X =1/3 ) =p(FFG) = 1/8
p (X =1/4 ) = p (FFFG) = 1/16 p (X = 0 ) = p (FFFF) = 1/16
Calculons maintenant l'espérance de X :
E(X) = 1*1/2 + 1/2*1/4 + 1/3*1/8 + 1/4*1/16 = 131/192
Ce résultat est faux , en fait il faut diviser l'espérance du nombre de garçons par celle du nombre d'enfants et on obtient bien 1/2.
Ma question est de savoir ce qui cloche dans la détermination de l'espérance de la proportion de garçons, j'ai l'intuition que c'est parce qu'on ajoute des proportions qui portent sur des ensembles différents, mais j'aimerais un avis éclairé sur la faille de raisonnement.
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Réponses
Pour ta question : pourquoi $E(X)$ (proportion moyenne de garçon dans les enfants d'une famille) serait-il égale à la proportion de garçons dans la population (même en oubliant les problèmes de mélanges de générations etc.) ?
> Une petite remarque sur le modèle : tu sembles
> supposer que chaque famille essaye d'avoir le
> maximum d'enfants autorisés.
Oui, j'avais pas précisé, chaque famille continue jusqu'à avoir un garçon ou avoir 4 filles
>
> Pour ta question : pourquoi $E(X)$ (proportion
> moyenne de garçon dans les enfants d'une famille)
> serait-il égale à la proportion de garçons dans
> la population (même en oubliant les problèmes de
> mélanges de générations etc.) ?
C'est là que je bloque oui, si toutes les familles sont issues du modèle , la proportion de garçon n'est pas la moyenne des proportions de garçons dans chaque type de familles pondérée par les proportions de ces familles dans la population ?
La proportion de garçons dans la population est
$$
\frac{1+1+1+0}{2+2+1+3+4}
$$
que tu peux réécrire si tu veux ainsi
$$
\frac{2\frac12 + 2\frac12 + 3\frac 13 + 4\frac04}{2+2+3+4}.
$$
Tu vois que c'est la moyenne de la proportion de garçons dans les différentes fratries pondérée par la taille de la fratrie en question. Tu as bien tenu compte de la fréquence des différents type de fratries mais tu as oublié la pondération par la taille de la fratrie.
Effectivement ton calcul ramène à la bonne solution, à savoir l'espérance du nombre de garçons (en pondérant la proportion du nombre de garçons par fratrie par la taille de la fratrie, c'est bien ce qu'on obtient) divisée par l'espérance du nombre total d'enfants (le nombre d'enfants par fratrie pondéré par la fréquence de ces fratries).
Je vois bien sur d'autres exemples que le calcul d'espérance de proportions ne marche pas, mais je pige toujours pas pourquoi
Edit: En fait si, j'ai compris, c'est bien à cause d'un calcul de proportion sur des ensembles de taille différente... dire que j'emm... mes 3emes et 2de avec ce genre d'exercices quand ils font les pourcentages (:P), comme quoi...
On considère une suite de vecteurs aléatoires $(G_n,N_n)_n$ i.i.d. où $G_n$ modélise le nombre de garçons dans la famille $n$ et où $N_n$ modélise le nombre d'enfants dans la même famille.
On s'intéresse, pour $n$ grand, à :
$$
\frac{G_1+\dots+G_n}{N_1+\dots+N_n} = \frac{ \frac{G_1+\dots+G_n}n}{\frac{N_1+\dots+N_n}n}.
$$
Cela s'étudie par la loi des grands nombres.
Si on tiens à faire apparaître les proportions dans chaque famille, on peut écrire :
$$
\frac{G_1+\dots+G_n}{N_1+\dots+N_n} = \frac{ N_1\frac{G_1}{N_1}+\dots+N_n\frac{G_n}{N_n}}{N_1+\dots+N_n}
$$
puis à nouveau diviser en haut et en bas par $n$ pour être dans le cadre d'application de la loi des grands nombres mais on tourne en rond !
Quoi qu'il en soit, on ne s'intéresse pas à :
$$
\frac{\frac{G_1}{N_1}+\dots+\frac{G_n}{N_n}}{n}
$$
dont le comportement au premier ordre est donné par $E(X)$.
Sinon (mais je crois que le vois) il y a un argument conceptuel tout simple (mais sans doute pénible à écrire) permettant d'affirmer que la proportion reste $1/2$.
Je n'ai pas regardé de plus près, mais "l'argument conceptuel" que tu évoques, n'est-il pas simplement que pour chaque enfant à naître, il y a une chance sur deux pour que ce soit une fille ?
Oui. Si on veux construire le processus on peut commencer par se donner une suite de v.a.i.i.d. symétriques $(X_n)_n$ à valeurs dans {garçon,fille} puis découper la suite en tranche pour obtenir les différentes fratries. On visualise assez bien je trouve le résultat avec cette vision des choses.