sujet concret: kinder surprise

D'après l'article Wikipédia cité par Cidrolin, l'espérance du temps pour finir la collection de 24 objets est de 90,6...
Vos observations vont dans ce sens.

Une petite précision : la valeur trouvée (91 dirons-nous) dans l'article est le nombre moyen de boîtes qu'il faut acheter pour avoir toute la collection.


Cependant, cela ne correspond pas à "pour être quasiment sûr d'obtenir toute la collection".
Il faudrait regarder de plus près, par exemple avec l'écart type. Ou avec Bienayme-Tchebychev.
On aurait un résultat du type "pour être sûr à 95% d'avoir la collection complète, il faut en acheter ...".


L'écart-type dans l'article de Wiki est d'environ 34.
Je ne sais plus s'il faut calculer 91+34 ou plutôt 91+2x34, là mon esprit devient confus...(le digestif n'a pas du contribuer à ce que je donne une réponse précise...).

Un coup de main ?

Ou de collectionner le chocolat et de manger les jouets !

N'oublions pas : 1 Kinder = 1 verre de lait.
Ni plus ni moins que "=".

Si, si, ils l'ont dit !

Faux, ils ont dit que c'était "=" à un verre de lait.
Sinon, n'auraient-ils pas été condamnés ?

Retour au probleme : quelqu'un sait faire l'estimation du nombre de boîte avec une confiance de 95% ?

Si $X_1,\dots,X_n,\dots$ sont iid a valeurs dans $\{S,E\}$ et si $\Pr(X_n=E)=p=1-q$ soit $T=\inf\{n; X_n=E\}.$ Alors $\Pr(T>n)=q^n$, donc $\Pr(T=n)=pq^{n-1}$, $f_T(z)=\mathbb{E}(z^T)=pz/(1-qz)$, $\mathbb{E}(T)=f'_T(1)=1/p$, $\mathbb{E}(T(T-1))=f''_T(1)=2q/p^2$ et donc
$ \sigma^2(T)=\mathbb{E}(T^2)-\mathbb{E}(T)^2=q/p^2.$ On dit que $T$ suit une loi geometrique $G(p).$


Soit ensuite $Y_1,\dots,Y_t,\dots$ iid de loi uniforme sur $\{1,2,\dots,N\}$ et soit $S_n=\inf\{t; |\{Y_1,Y_2\dots,Y_t\}|=n\}.$ Alors les
$T_n=S_{n+1}-S_n$ sont independants et $T_n\sim G((N-n)/N).$ On est interesse par la loi de $S_N=T_1+\cdots+T_{N-1}$. En particulier
\begin{eqnarray}\mathbb{E}(S_N)&=&N\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{N-1}\right)\equiv N\log N,\\\sigma^2(S_N)&=&N\left(N-1+\frac{N-2}{2^2}+\frac{N-3}{3^2}+\cdots+\frac{1}{(N-1)^2}\right)\equiv N(N\frac{\pi^2}{6}-\log N),\\
\mathbb{E}(z^{S_N})&=&z^N\prod_{n=1}^{N-1}\frac{N-n}{N-nz}.\end{eqnarray}


Application: $N=24.$

Ajoutons qu'il s'agit d'un cas concret où l'on rencontre cette fameuse série harmonique dont on entend parler depuis le lycée.

.

Et il y a aussi la non moins fameuse série des inverses carrés, j'espère qu'on en entend parler aussi.

Remarquez qu'on ne parle que d'espérance et de variance, alors que normalement lorsqu'on propose l’étude d'une variable aléatoire discrète, la première question c'est la fonction de distribution (ou de répartition).

Prenez par exemple la loi binomiale, la loi hypergéométrique, ou la loi de Pascal. On peut calculer leur fonction de distribution, et ensuite en déduire espérance et variance par des procédés purement calculatoires, avec oubli de l'origine probabiliste du problème. Mais il peut sembler plus astucieux (et plus probabiliste...) d'exprimer dans chaque cas la variable aléatoire en question comme somme de variables aléatoires plus simples et déjà connues, Bernoulli ou géométriques, indépendantes ou non. Ceci montre qu'on peut trouver l'espérance et la variance sans passer par la fonction de distribution.

C'est ce qu'on fait ici.

Mais on peut de plus trouver distribution et répartition de $X$ au moyen des nombres de Stirling de seconde espèce. On se demande pourquoi Wikipédia n'en souffle mot, même en anglais.

Bizarre, bizarre...

Bonne soirée.
F. Ch.

Voici comme on peut calculer la fonction de distribution de notre variable aléatoire $X$.

Pour $n \in \N^*$ et $p \in \N^*$ on note $S(n,p)$ le nombre de partitions d'un $n$-ensemble en $p$ classes.
C'est le nombre de Stirling de seconde espèce. A l'heure d'Internet il n'est pas nécessaire que j'en dise plus.
Le nombre de surjections d'un $n $-ensemble sur un $p$-ensemble est donc : $p!S(n,p)$.
On remarque que la relation entre partitions et surjections est la même qu'entre combinaisons et arrangements.

Pour en venir à notre problème de vignettes, l’événement $[X\leq k]$ se réalise ssi, en $k$ achats, l’on a obtenu toutes les $N$ vignettes.
Les éventualités possibles en $k$ achats successifs sont les $k$-suites de $\{1,2,...,N\}$, ce sont les applications de $\{1,2,...,k\}$ dans $\{1,2,...,N\}$, qui sont au nombre de $N^k$, équiprobables.
L'événement $[X\leq k]$ se réalise ssi si l'application en question est surjective, et les éventualités correspondantes sont donc au nombre de $S(k,N)N!$. En conséquence : $P(X\leq k)=\frac{S(k,N)N!}{N^{k}}$.

On en déduit la fonction de distribution : $P(X = k)=\frac{S(k-1,N-1)N!}{N^{k}}$.


On peut en tirer pas mal de conséquences, égalités ou inégalités. Par exemple, pourrait-on prouver le caractère unimodal de cette distribution ?

Bonne journée.
F. Ch.

Merci, mais je ne crois pas avoir inventé ça. Ça dort dans mes papiers depuis quelques années, j'ai fait ce petit article en 1999, mais j'ai égaré les sources.
Bonne soirée.
F. Ch.

Reprenant ce problème, il m'est venu l'idée d'une autre approche pour la fonction de distribution.
Changement de notation.
Je note désormais $X_{i,N}$ la v. a. r. égale au nombre de tirages (c'est-à-dire d'achats) permettant d'obtenir une $i$-ème vignette différente des précédentes après qu'on en a obtenu $i-1$ différentes. Avec $X_{1,N}$=1.
Et je note $X_N$ la variable aléatoire en question, qui est le nombre d'achats propres à obtenir la collection complète.
On a vu que les $X_{i,N}$ sont indépendantes et que leur somme est $X_{N}$. On en a déduit l’espérance et la variance de $X_N$.
On peut aussi en déduire la fonction génératrice de $X_N$ : $ \displaystyle G_{X_{N}}(t)=\underset{i=1}{\overset{N}{\prod }}G_{X_{i,N}}(t)=\underset{i=1}{\overset{N}{\prod }}\frac{(N-i+1)\frac{t}{N}}{1-(i-1)\frac{t}{N}}=N!\underset{i=1}{\overset{N}{\prod }}\frac{\frac{t}{N}}{1-(i-1)\frac{t}{N}}$.
Alors : $\displaystyle G_{X_{N}}(t)=N!\Phi _{N}(\frac{t}{N})$, avec : $ \displaystyle \Phi _{N}(x)=\underset{i=1}{\overset{N}{\prod }}\frac{x}{1-(i-1)x}=\underset{j=0}{\overset{N-1}{\prod }}\frac{x}{1-jx}$.
On pose : $\displaystyle \Phi _{N}(x)=\underset{k=1}{\overset{+\infty }{\sum }}a_{k,N}x^{k}$ et l'on peut étudier ces $a_{k,N}$ qui sont les nombres de Stirling décalés, mais alors il n'est pas indispensable de le savoir.
J' y reviendrai tantôt.
Bonne journée.
F. Ch.

Je continue dans le prolongement de mon dernier message.
On a vu que : $ \displaystyle \Phi _{N}(x)=\underset{k=1}{\overset{+\infty }{\sum }}a_{k,N}x^{k}=\underset{j=0}{\overset{N-1}{\prod }}\frac{x}{1-jx}$, et : $ \displaystyle P(X_{N}=k)=a_{k,N}\frac{N!}{N^{k}}$.
Alors : $ \displaystyle \Phi _{N+1}(x)=\underset{j=0}{\overset{N}{\prod }}\frac{x}{1-jx}=\Phi _{N}(x)\frac{x}{1-Nx}$, d'où :
: $x\Phi _{N}(x)=(1-Nx)\Phi _{N+1}(x)$, soit : $ \displaystyle x\underset{k=1}{\overset{+\infty }{\sum }}a_{k,N}x^{k}=(1-Nx)\underset{k=1}{\overset{+\infty }{\sum }}a_{k,N+1}x^{k}$.
En identifiant le coefficient de $x^{k+1}$ dans les deux membres de cette égalité, il vient~: $a_{k,N}=a_{k+1,N+1}-Na_{k,N+1}$, d'où : $a_{k+1,N+1}=a_{k,N}+Na_{k,N+1}$.
Les conditions initiales sont évidentes : $a_{1,1}=1$ et $a_{k,1}=0$ pour $k\geq 2$ et : $a_{1,N}=0$ pour $N\geq 2$.
Cette relation de récurrence permet de dresser le tableau à double entrée des $a_{k,N}$, qui sont des entiers naturels, strictement positifs si $2\leq k\leq N$ (partie utile du tableau).
Entre nous, $a_{k,N}=S(k-1,N-1)$ mais avec cette attaque, on n'est pas obligé de le savoir...
À suivre...
F. Ch.

Bonsoir @ babsgueye

Je ne vois pas ce qu'il y aurait de "simpliste" à décomposer une variable aléatoire en somme de variables plus simples. Il y a plus d'un exemple d'une telle méthode : loi binomiale, loi hypergéométrique, loi binomiale négative, et sans doute d'autres encore. Il ne faut pas se plaindre, comme on dit, que la mariée est trop belle.

Dans le cas présent,le nombre d'achats à faire pour obtenir la première vignette est bien sûr $X_{1,N}=1$, puisque pour la première n'importe laquelle fait l'affaire. Par la suite, si l'on en a obtenu $i-1$ différentes, $i\geq 2$, la $i$-ème est attendue parmi les $N-(i-1)$ autres, et la probabilité de l'obtenir à chaque nouvel achat est donc : $\frac{N-(i-1)}{N}$. Ces achats étant indépendants, le temps d'attente $X_{i,N} $ de cette $i$-ème vignette suit la loi géométrique $\mathcal {G}( \frac{N-i+1}{N})$. La variable aléatoire $X_N$ qui nous intéresse, qui est le nombre total d'achats à faire pour avoir la collection complète, est : $ \displaystyle X_{N}=\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}X_{i,N}$. Les achats étant indépendants, les variables aléatoires $X_{i,N}$ le sont aussi. Le calcul de l'espérance et de la variance de $X_N$ en découlent immédiatement, comme on l'a vu.

À suivre...
F. Ch.

Poursuivons.
Ce n'est pas moi qui ai inventé cette méthode de décomposition de $X_N$ en somme de variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques, on la trouve un peu partout, notamment sur Wikipedia. Mais bizarrement, sur Wikipedia, il n'y a pas l'expression de la fonction de distribution. Pour avoir cette fonction, j'ai d'abord suivi une approche combinatoire, observant que l’événement $[X_{N}\leq k]$ est réalisé ssi en $k$ achats on a eu toutes les $N$ vignettes.
L'ensemble des éventualités possibles pour $k$ achats successifs est l'ensemble des applications de $\{1,2,...,k\}$ dans $\{1,2,...,N\}$, qui sont au nombre de $N^k$, équiprobables, et l'ensemble de ces éventualités réalisant $[X_{N}\leq k]$ est l'ensemble des surjections, qui sont au nombre de : $S(k,N)N!$, où $S(k,N) $ est le nombre de Stirling de seconde espèce. D'où : $P(X_{N}\leq k)=\frac{S(k,N)N!}{N^{k}}$.
En raison de la relation de récurrence qui régit les $S(k,N)$, la fonction de distribution est donc, pour $k\geq 2$ : $P(X_{N}=k)=P(X_{N}\leq k)-P(X_{N}\leq k-1)=\frac{N!}{N^{k}}(S(k,N)-NS(k-1,N))=\frac{N!}{N^{k}}S(k-1,N-1)$.
Encore vrai pour $k=1$.
On peut même prouver directement ceci. En effet, l'événement $[X=k]$ est réalisé ssi les $k-1$ premiers achats ont donné $N-1$ vignettes différentes et si le $k$-ème achat donne la $N$-ème. Le nombre d'éventualités qui conviennent est : $S(k-1,N-1)(N-1)!N$, d'où la valeur de $P(X_{N}=k)$.
Mais ensuite, pour ce qui est de déduire de cette fonction de distribution l'espérance et la variance, avec les formules de définition, ce n'est pas impossible, mais il faut en savoir plus sur les nombres de Stirling et ceci devient très calculatoire. D'où mon goût pour l'autre méthode.
Bonne soirée.
F. Ch.

@Chaurien
Avec le dé à six faces, de mémoire, on trouvait une moyenne d'environ 13 lancers pour avoir chaque face.

Lol c'est ce que j'ai trouvé ;-)

Bon, moi je me suis exprimé sur le problème classique du collectionneur de vignettes (coupon collector) :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Problème_du_collectionneur_de_vignettes
https://en.wikipedia.org/wiki/Coupon_collector's_problem
http://alea.impa.br/english/index_v11.htm

On peut trouver de nombreuses références à ce problème, qui provient probablement de William Feller, dans les années 1950. Il me semble que cette façon de le traiter donne une approximation raisonnable de l'achat aléatoire de vignettes, si les conditions que j'ai dites sont respectées. D'après les références, il y a eu des applications et généralisations. Maintenant on peut toujours proposer d'autres mathématisations de la situation, mais ce n'est pas mon propos pour l'instant.

En ce qui concerne ce problème classique, j'ai dit que la décomposition en somme de variables aléatoires géométriques donne sans mal l'espérance et la variance. Pour avoir la fonction de distribution, je passais par les nombres de Stirling, mais ceci oblige à un détour par la Combinatoire, qui est un des (nombreux) parents pauvres de l'enseignement en classes préparatoires scientifiques (et même commerciales). C'est pourquoi j'ai pensé à utiliser la fonction génératrice, qui fait apparaître des coefficients que j'ai appelés $a_{k,N}$ dans un message précédent, et dont on peut étudier les propriétés, sans qu'il soit besoin de savoir qu'ils ont un nom.

J'ai posé ceci en colle hier en PSI, et cela s'est bien passé, l'élève a adhéré sans problème à l'interprétation que j'ai rédigée ainsi :

<< Une collection de vignettes comprend $N$ vignettes, numérotées de $1$ à $N$, avec $N\in \mathbb{N}^{*}$. Ces vignettes sont vendues à l'unité, chacune dans un emballage clos. Elles sont toutes éditées à un grand nombre d'exemplaires, le même nombre pour chacune, en sorte qu'à chaque achat d'une vignette, toutes les vignettes ont la même probabilité $\frac{1}{N}$ d'être achetées. Une suite d'achats de ces vignettes peut ainsi être considérée comme une suite de tirages aléatoires indépendants avec remise dans l'ensemble des $N$ vignettes.
On achète successivement des vignettes jusqu'à ce que l'on ait acquis la collection complète, et l'on désigne par $X_{N}$ la variable aléatoire réelle égale au nombre de vignettes qu'il faut acheter pour arriver à ce résultat.>>

Bonne journée.
F. Ch.