Additionner deux lois normales indépendantes
Voici un lien que j'ai trouvé pour m'aider à faire mon modèle mathématique dans mon sujet de recherche : http://vekemans.free.fr/Proba/node149.html
Seul problème je n'ai pas compris la démarche. Je voudrais bien avoir quelque chose de plus détaillé ou de plus clair et surtout je voudrais savoir le 'x' dans l'intégrale comment il est apparu ? :-S
Je vous remercie énormément.
Seul problème je n'ai pas compris la démarche. Je voudrais bien avoir quelque chose de plus détaillé ou de plus clair et surtout je voudrais savoir le 'x' dans l'intégrale comment il est apparu ? :-S
Je vous remercie énormément.
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Réponses
Tu as le choix entre deux méthodes :
* ne pas t'occuper de cette démonstration et faire confiance à ce résultat classique (attention, il faut qu'il y ait indépendance)
* ou prendre un bouquin de probabilités de niveau L3/M1, pour apprendre comment on obtient la loi de la somme de deux variables aléatoires indépendantes (produit de convolution des densités) et alors le x te paraîtra tout à fait évident.
En tout cas, le document que tu cites utilise ici des règles qui ont probablement été définies dans les pages précédentes, et est relativement clair.
Cordialement.
Ensuite tu dois savoir que si $f$ et $g$ sont les densites des variables aleatoires independantes $Y$ et $Z$ alors la densite $h$ de $X=Y+Z$ est
$$h(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x-z)g(z)dz.$$ Si $f$ et $g$ sont les densites de lois $N(0,a^2)$ et $N(0,b^2)$ le calcul de $h$ montre que c'est la densite de $N(0,c^2)$ avec $c^2=a^2+b^2,$ la partie ennuyeuse consistant a ecrire le trinome du second degree en $z$
$$\frac{1}{a^2}(x-z)^2+\frac{1}{b^2}z^2$$ sous la forme canonique
$$\frac{c^2}{a^2b^2}\left(z-\frac{xb^2}{c^2}\right)^2+\frac{x^2}{c^2}.$$
Il existe des démonstrations de cette propriété, mais aucune qui soit directement compréhensible à celui qui ne connaît pas les bases mathématiques des probabilités continues. D'où mon conseil.
J'avais oublié une troisième possibilité dans mon premier message : T'énerver et reprocher aux autres ta propre incompétence. Je vois que c'est ce que tu as choisi. Dommage !
Maintenant, si tu es en université, tu trouveras probablement dans une BU des ouvrages de probabilités ou probas/stats qui traitent la question. Mais la preuve sera la même ! Ou utilisera des outils encore plus élaborés (fonctions de transfert). De même qu'on ne traite pas les questions complexes de mécanique sans une bonne formation, on ne comprendra pas une preuve de mathématiques avancées sans la formation nécessaire.
Cordfialement.
- Preuve que la densité de la variable aléatoire somme de deux variables aléatoires indépendantes est la convolée des densités de ces variables.
- Preuve que la convolée des densités respectives de deux variables aléatoires indépendantes suivant toutes deux une loi normale donne ce qui est annoncé.
Je n'ai pas vérifié si ces preuves étaient correctes.