nombre de tirages dans une enquête

Bonjour,

Je vois que tu fais appel au coefficient binomial ${n \choose k}$ pour conclure qui s'il y a $n$ personnes et que l'on en choisit une uniformément au hasard, on a $n$ choix possibles. Cela me laisse penser que tu ne comprends pas ce que tu fais. D'ailleurs la suite est fausse. Je te propose de réfléchir simplement et concrètement plutôt que d'essayer de coller à des formules que tu as vues quelque part :
— que signifie $X=1$ ? avec quelle probabilité cela peut-il se produire ?
— que signifie $X=2$ ? avec quelle probabilité cela peut-il se produire ?
— $\ldots$
— que signifie $X=8$ ? avec quelle probabilité cela peut-il se produire ?
— $\ldots$

$n=12$ ??? la variable aléatoire $X$ ne peut prendre ses valeurs que dans $\{1,2,3,4,5,6\}$ ...

c'est marrant cette commande \choose (que je ne connaissais pas) ...

@Educ , j'ai l'impression qu'en additionnant toutes tes valeurs, on risque d'avoir une somme nettement supérieure à $1$ ... @P. a donné toutes les solutions, par exemple : $\mathbb{P}(X=3) = \mathbb{P}(\text{FFH}) = \dfrac{5}{12} \dfrac{4}{11} \dfrac{7}{10} = \dfrac{7}{66}$ ...

c'est un jeu de déduction ...

(juste survolé l'énoncé de l'exercice, donc je n'ai aucune idée de ce qu'il faut trouver) ...
mais avec $\mathbb{P}(X>1)$ c'est la même chose que $\mathbb{P}(X=1)$ car, sachant que $X \in [1;6]$, $\mathbb{P}(X=1)=1-\mathbb{P}(X>1)$ ...
puis $\mathbb{P}(X=2)=1-\mathbb{P}(X>2)-\mathbb{P}(X=1)$ ... et caetera ...

as i mentioned it before, i have not a single clue ... perhaps should you try to google 'discrete probability laws' ...

Bon, si on passe en anglais : Educ, there is no reason for the law of $X$ to have a name. About what you wrote there : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,1193523,1193667#msg-1193667, can you develop, explain your answer? I told you to stop trying to mimic formulae you have seen somewhere.
$X=1$ means the first person that we pick is a man, there are 7 men and 5 women so what is $P(X=1)$? Then what about $X=2$?

The expression of $P(X > k)$ is nicer than that of $P(X=k)$ in general and that is why P. computed this (and then $P(X=k) = P(X > k-1) - P(X>k)$); we may discuss that later but first, I think you should calculate $P(X=2)$ and $P(X=3)$.

Dans les problèmes de temps d'attente discret, il est le plus souvent utile de s'intéresser d'abord à l'antirépartition, ou fonction de survie $P(X>k)$, avant la fonction de distribution $P(X=k)$.

Dans le cas présent, l'ensemble des valeurs de $X$ est : $X(\Omega )=\{1,2,3,4,5,6\}$.
L'événement $[X>k]$ signifie que les $k$ premières personnes tirées (!) sont toutes des femmes, d'où :
$P(X>1)=\frac{5}{12}$,
$P(X>2)=\frac{5}{12}\cdot \frac{4}{11}$,
$P(X>3)=\frac{5}{12}\cdot \frac{4}{11}\cdot \frac{3}{10}$,
$P(X>4)=\frac{5}{12}\cdot \frac{4}{11}\cdot \frac{3}{10}\cdot \frac{2}{9}$,
$P(X>5)=\frac{5}{12}\cdot \frac{4}{11}\cdot \frac{3}{10}\cdot \frac{2}{9}\cdot \frac{1}{8}$.
Avec bien sûr $P(X>0)=1$ et $P(X>k)=0$ pour $k\geq 6$.

De l'antirépartition on peut déduire la distribution, par : $P(X=k)=P(X>k-1)-P(X>k)$.
Mais l'espérance peut se calculer directement sur l'antirépartition : $ \displaystyle E(X)=\overset{6}{\underset{k=0}{\sum }}P(X>k)$.
Et la variance aussi, on en reparlera si vous voulez.

Cette distribution est classique. C'est la loi du rang d'apparition de la première boule blanche (ou plus généralement de la $r$-ème boule blanche) dans une suite de tirages successifs sans remise dans une urne comprenant des boules blanches et des boules noires. C'est la loi hypergéométrique négative.

Bonne nuit.
F. Ch.

J'ai tapé mon dernier message sans voir celui de Pennywise, restons en français SVP.

Cette loi n'est pas des plus fréquentes, mais elle a tout de même un nom : loi hypergéométrique négative.

À son sujet, je n'ai pas trouvé grand'chose sur la Toile en français. En cherchant "attente sans remise" ou "temps d'attente dans un tirage sans remise", on peut sans doute trouver quelques renseignements, mais bredouille pour "loi hypergéométrique négative". Par contre, quelques références en anglais pour "negative hypergeometric distribution".

De même pour les livres, je ne puis citer que : Christian Lebœuf, Jean-Louis Roque, Jean Guégand, Cours de probabilités et statistiques, classes préparatoires commerciales, Ellipses 1981, p. 166.

Vous pouvez généraliser, il y a des formules pour espérance et variance.
Dans le modèle de l'urne avec $N$ boules dont $Np$ blanches, si $X$ est le temps d'attente de la première boule blanche, alors :
$E(X)=\frac{N+1}{Np+1}$, $V(X)=\frac{N^{2}(N+1)p(1-p)}{(Np+1)^{2}(Np+2)}$.
Dans le problème posé initialement on a : $N=12$, $p=\frac{7}{12}$.

Et au fait : pourquoi cette appellation : loi hypergéométrique négative ?

Bonne journée.
F. Ch.

Prenons un autre exemple, la loi binomiale négative.

Rappelons la loi binomiale proprement dite $\mathcal{B}(n,p)$ ($n \in \mathbb{N}^*$, $p \in ]0,1[$) ; c'est la loi d'une variable aléatoire $Y$ dont la fonction de distribution est : $P(Y=k)=(_{k}^{n})p^{k}(1-p)^{n-k}$. Remarquons que cette formule est vraie pour tout $k\in \mathbb{N} $. On a de plus : $E(Y)=np$, $V(Y)=np(1-p)$.

Maintenant la loi binomiale négative est la loi d'une variable aléatoire $X$ égale au nombre d'échecs précédant le $r$-ème succès ($r \in \mathbb{N}^*$) dans une suite d'expériences indépendantes avec probabilité de succès $p$ pour chacune ($p \in ]0,1[$).
Pour $k\in X(\Omega )= \mathbb{N} $ on a : $P(X=k)=(_{~~r-1}^{k+r-1})p^{r}(1-p)^{k}$. Et de plus : $E(X)=r\frac{1-p}{p}$, $V(X)=r\frac{1-p}{p^2}$.
On vérifiera que cette distribution s'écrit : $P(X=k)=(_{~k}^{-r})(\frac{p-1}{p})^{k}(\frac{1}{p})^{-r-k}$. C'est la formule de la loi binomiale proprement dite rappelée ci-dessus, où $n$ a été remplacé par $-r$ et $p$ par $\frac{p-1}{p}$. Les formules de l'espérance et de la variance donnent les bonnes valeurs.

Ainsi cette loi binomiale négative pourrait être désignée par : $\mathcal{B}(-r, \frac{p-1}{p})$, deux paramètres négatifs ! C'est sans doute la raison de son appellation.

Eh bien pour "hypergéométrique négative" il en va de même. La distribution de la loi hypergéométrique négative se déduit de celle de la loi hypergéométrique proprement dite en substituant aux paramètres initiaux de nouveaux paramètres qui se trouvent négatifs.

Bonne journée et bonne année 2016.
F. Ch.