Trois points uniformes sur une circonférence

Voici une approche graphique:
Le premier point placé définit l'origine pour l'expression de la longueur des arcs
Je considère donc que $X=0$, quitte à remplacer $Y$ et $Z$ par $Y-X$ et $Z-X$

Les cas favorables se trouvent alors dans le papillon bleus et pas ailleurs
Oui, je sais, c'est mal rédigé.;-)

@Chaurien : c'est également dans le fil cité par Cidrolin

Bonsoir,
Pour 4 points sur une sphère, je pense qu'on peut échafauder un raisonnement similaire :
Si on place 3 points A,B,C sur la sphère, on pourra les relier deux à deux par des petits arcs de grands cercles. On définit ainsi un petit triangle et un grand triangle qui est la région complémentaire du petit triangle.
Plaçons un 4e point D sur la sphère. Le centre O de la sphère appartiendra au tétraèdre ABCD si et seulement si D se trouve dans le petit triangle diamétralement opposé du petit triangle ABC.

La probabilité du succès sera l'aire moyenne du triangle ABC rapportée à l'aire de la sphère.

Il reste juste à la calculer (:P)

Qu'en pensez-vous ?

Il n'y a pas à s'excuser pour une référence en langue étrangère, même si l'on est patriote. Ne peut-on pas trouver cet article en ligne ?
Voici une autre référence, toujours en anglais :
http://www.mathpages.com/home/kmath327/kmath327.htm
Bonne soirée.
F. Ch.

@ jacquot.
Quiche je ne connaissais pas l'expression pour dire mauvais, pourtant c'est bon une quiche lorraine :-).
Moi non plus je ne suis pas bon en anglais courant. Je ne peux lire un journal ni un roman, ni suivre un film en anglais, et je le regrette. Mais quand il s'agit de mathématiques, ça va tout seul, car les structures de phrases sont simples, le vocabulaire est réduit à celui de notre discipline, et même beaucoup de mots ressemblent aux mots français. Avec un anglais purement scolaire, que l'on apprend au lycée, on arrive à s'en sortir. Et c'est indispensable car malheureusement un grande quantité d'informations mathématiques sont en anglais. Je suis certain que si tu t'y mets, ça ira.
Par contre, je suis très critique envers les Français qui négligent et méprisent leur langue maternelle et publient en anglais exclusivement, mais c'est une autre histoire.
Bonne soirée.
F. Ch.

Bonjour,
@ P. Ta question des 4 points placés au hasard sur une sphère m'aura valu une recherche intéressante sur les triangles sphériques et leurs aires. Je me souvenais qu'il existait une relation entre la sommes des angles du triangle sphérique et son aire Une recherche sur Internet m'a permis de retrouver le théorème de Girard et sa géniale démonstration. J'ai été étonné par sa simplicité.

Ça m'a donné des idées pour le calcul de l'aire moyenne d'un triangle sphérique.
Il faut d'abord préciser que, A, B, C étant trois points placés au hasard sur la sphère, je noterai A',B',C' leurs antipodes (voir figure) et j'appellerai triangle ABC le petit triangle, c'est à dire la région de sphère limitée par les petits arcs de grands cercles AB, AC et BC qui ne contient aucune des antipodes A'B'C'.

Choisissons donc trois points A,B, C sur la sphère ( de rayon unitaire) selon une loi de probabilité uniforme et notons $S_0$l'aire du (petit) triangle $ABC$
En complétant les tracés des grands cercles AB, AC et BC, on voit apparaître 7 autres triangles : $ABC', AB'C, AB'C', A'BC, A'BC', A'B'C$ et $A'B'C'$ d'aires respectives $S_1,\dots, S_7$. La réunion des 8 triangles est la sphère toute entière (voir figure).

Comme A, B et C ont été choisis selon une loi uniforme, il n'y a pas de raison de choisir ABC plutôt que ABC' ou A'BC etc. comme triangle initial, les 8 variables aléatoires $S_0,\dots S_8$ ont donc des espérances égales.:-S
Par ailleurs $\displaystyle \sum_{i=0}^7 S_i = 4\pi$ donc $\mathbb E (S_0)=\frac \pi 2$, soit 1/8 de l'aire de la sphère.

On peut alors revenir à la question des 4 points :
A, B, C étant placés, le centre O de la sphère est à l'intérieur du tétraèdre ABCD si et seulement si $D\in A'B'C'$
La probabilité conditionnelle de cet événement est alors $\frac {S_7}{4\pi}$
et plus généralement Pour 4 points choisis au pif sur la sphère, la probabilité que O soit dans le tétraèdre ABCD sera $\boxed{P=\dfrac {\mathbb E(S_7)}{4\pi}=\dfrac 1 8}$

Il y a sans doute beaucoup à redire dans ma rédaction :-S, mais je pense que l'idée directrice tient la route, non ?
Amicalement. jacquot