Espérance et cartes
Bonjour
J'ai trouvé un problème de probabilité.
Quelle est l’espérance du nombre de cartes tirées dans un jeu (52 cartes) afin de trouver le premier as ?
La réponse est 53/5=10.6. La méthode proposée est assez subtile. J'ai résolu le problème à ma façon, et je trouve ... 10.5998190045249. Je m'explique.
Soient $X_1,X_2,X_3$ et $X_4$ les as du jeu, ils sont repartis uniformément dans un tableau de taille 52. Chaque case ne peut contenir qu'une seule carte. On cherche donc à calculer l’espérance de $Y=\min(X_1,X_2,X_3,X_4)$.
La probabilité d'avoir $Y=k$ où $k$ est compris entre 1 et 48 (le scenario ou les 4 dernières cartes sont des as), est égal à
$P(Y=k)=4P(X_1=k,X_2>k,X_3>k,X_4>k)=\frac{4(52-k)(51-k)(50-k)}{(52\times 51\times 50\times 49)}\cdot$
L’espérance vaut donc (calculée sur une feuille excel) : $$E(Y)=\sum_{k=1}^{48}{kP(Y=k)}=10.5998190045249$$
J'ai trouvé un problème de probabilité.
Quelle est l’espérance du nombre de cartes tirées dans un jeu (52 cartes) afin de trouver le premier as ?
La réponse est 53/5=10.6. La méthode proposée est assez subtile. J'ai résolu le problème à ma façon, et je trouve ... 10.5998190045249. Je m'explique.
Soient $X_1,X_2,X_3$ et $X_4$ les as du jeu, ils sont repartis uniformément dans un tableau de taille 52. Chaque case ne peut contenir qu'une seule carte. On cherche donc à calculer l’espérance de $Y=\min(X_1,X_2,X_3,X_4)$.
La probabilité d'avoir $Y=k$ où $k$ est compris entre 1 et 48 (le scenario ou les 4 dernières cartes sont des as), est égal à
$P(Y=k)=4P(X_1=k,X_2>k,X_3>k,X_4>k)=\frac{4(52-k)(51-k)(50-k)}{(52\times 51\times 50\times 49)}\cdot$
L’espérance vaut donc (calculée sur une feuille excel) : $$E(Y)=\sum_{k=1}^{48}{kP(Y=k)}=10.5998190045249$$
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Réponses
Probleme resolu
Ta méthode est sans doute bonne puisqu'elle donne le bon résultat, mais ta façon de l'exposer est confuse. D'abord il faut préciser que tu disposes d'un jeu de 52 cartes bien battu et que tu en extrais les cartes une par une, successivement, sans remise.
Tu numérotes les As : $1 ,2,3,4$ et tu désignes par $X_i$ le rang d'apparition de l'As numéro $i$ dans ta suite de tirages. Tu désignes par $Y$ le rang d'apparition du premier As et il est bien vrai que $Y=\min(X_1,X_2,X_3,X_4)$. Mais on ne voit pas quel usage faire de ce formalisme car les variables aléatoires $X_i$ ne sont pas indépendantes.
Il est bien vrai que $P(Y=k)=4P(X_1=k,X_2>k,X_3>k,X_4>k)$, mais on ne voit pas pourquoi cette probabilité a la valeur que tu dis, et qui est exacte.
Tout est sans doute dans ce tableau que tu as eu l'idée d'utiliser et dont je n'ai pas idée. Bravo pour ton intuition, mais tu devrais formaliser davantage ta solution, voir comment calculer ton espérance sans excel, et voir comment calculer la variance.
Et voir aussi si tu peux généraliser. Tu as une urne avec des boules blanches et des boules noires et tu les tires une par une sans remise, jusqu'à ce que tu obtiennes une boule blanche. Plus généralement, tu peux t'intéresser au rang d'apparition de la $r$-ème boule blanche. Dans ton exemple, le premier As, d'accord, mais aussi le deuxième, etc.
Cette variable aléatoire est du type hypergéométrique négative, et nous en avons parlé il y a peu sur ce forum :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,1193523,1194487#msg-1194487
Bonne soirée.
F. Ch.
Si j'ai utilise excel , c'est que je n ai pas pu trouve une formule fermee de la somme.
J'ai essaye d'introduire la fonction $x->x^{52-k}$, et de travailler sur les derivees, mais le terme en "k" dans la somme me cause probleme.