Livres sur étagères
Voici une autre question du QCM :
Trois livres identiques ont été rangés aléatoirement dans une armoire contenant cinq étagères, la probabilité pour que les trois livres se trouvent sur la même étagère est:
1/5
1/7
3/10
15/64
En faisant des calculs et des schémas j'obtiens la probabilité de 5/65 soit 1/13 mais cette réponse ne figure dans celles proposées. Du coup je dois commettre une erreur mais je ne sais pas laquelle..
Trois livres identiques ont été rangés aléatoirement dans une armoire contenant cinq étagères, la probabilité pour que les trois livres se trouvent sur la même étagère est:
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En faisant des calculs et des schémas j'obtiens la probabilité de 5/65 soit 1/13 mais cette réponse ne figure dans celles proposées. Du coup je dois commettre une erreur mais je ne sais pas laquelle..
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Réponses
$3$ livres identiques dans une armoire de $5$ étagères.
Quelle est le nombre total de configurations ?
Une configuration est une suite formée de $x$ pour signifier qu'un livre est placé là et de séparateurs $/$ pour signifier qu'on change d'étagère. Par exemple, $x/ /xx/ / $ signifie qu'un livre est sur la première étagère, aucun sur la seconde, deux livres sont sur la troisième et aucun sur les quatrième et cinquième.
Le nombre de configurations est alors le nombre de façons de placer $3$ livres parmi $5-1+3 = 7$ éléments (formés des $5-1=4$ séparateurs et des $3$ livres), c'est donc $\displaystyle C_7^3 = {7! \over 3! 4!}.$ On peut aussi dire que c'est le nombre de façons de placer $5-1=4$ séparateurs parmi $5-1+3 = 7$ éléments (formés des $5-1=4$ séparateurs et des $3$ livres), c'est donc $\displaystyle C_7^4 = {7! \over 4! 3!}.$ On retrouve bien sûr le même résultat. On a donc $35$ configurations.
Quelle est le nombre de configurations désirées ?
On veut imposer que les $3$ livres sont sur une même étagère. Alors, pour le premier livre, on a $5$ choix. Pour le second livre, on a qu'un choix possible : la même étagère. Pour le troisième livre, de même. Donc le nombre de configurations désirées est $5 \times 1 \times 1 = 5.$ On peut aussi raisonner autrement : il n'y a que $5$ configurations désirées car il s'agit de placer les $3$ livres sur une des $5$ étagères. On peut alors choisir l'étagère en question et on a donc $5$ choix possibles, donc $5$ configurations.
La probabilité est alors : $\displaystyle {5 \over 35} = \frac17.$
Quelle est ta proposition ? On peut trouver l'erreur ensemble...
Les éventualités sont les applications de l'ensemble des livres $\mathcal{L}=\{L_{1},L_{2},L_{3}\}$ dans l'ensemble des étagères $\mathcal{E}=\{E_{1},E_{2},...,E_{5}\}$, lesquelles applications sont au nombre de $5^3$.
Ces éventualités sont équiprobables.
Parmi ces éventualités, celles qui mettent les livres sur la même étagère sont au nombre de $5$. Etc.
Solution 2, probabilités.
La probabilité que le livre numéro $i$ soit sur l'étagère numéro $j$ est $\frac{1}{5}$.
La probabilité que les trois livres soient tous sur l'étagère numéro $j$ est donc : $(\frac{1}{5})^{3}$.
La probabilité qu'ils soient tous sur la même étagère est donc : $5\times (\frac{1}{5})^{3}$.
Non ?
F. Ch.
Non !
Les livres sont identiques.
Je suis physicien et non mathématicien, comme mes erreurs mathématiques répétées le montrent. Les particules élémentaires sont indiscernables.
On prend un exemple pour bien comprendre (à la physicienne) :
Soit $2$ livres différents et $2$ étagères. Les configurations sont :
x / y
xy /
y / x
/ xy
On ne distingue pas de différence entre $xy$ et $yx$ : si les deux livres sont sur une même étagère, c'est la même configuration même s'ils ont été placés $x$ d'abord puis $y$, configuration $xy$, ou $y$ d'abord puis $x$, configuration $yx.$
Maintenant, on considère les livres identiques. Les configurations sont obtenues en écrivant $y=x$ :
x / x
xx /
x / x
/ xx
Le nombre de configurations totale est $3$ : soit ils sont sur la première étagère, soit sur la seconde, soit un sur chaque étagère.
Le nombre de configurations désirées est $2$ (évident). La probabilité est $\displaystyle \frac23.$
On retrouve ce résultat avec mon raisonnement : on a $\displaystyle C_{2-1+2}^{2} = C_3^2 = {3! \over 2! 1!} = 3$ configurations différentes. Et $2$ configurations désirées (les deux livres sur chacune des $2$ étagères), donc $\displaystyle \frac23.$
Avec ton raisonnement, tu trouverais :
La probabilité que le livre numéro $i$ soit sur l'étagère numéro $j$ est $\displaystyle \frac12.$
La probabilité que les deux livres soient tous sur l'étagère numéro $j$ est donc : $\displaystyle (\frac12)^2.$
La probabilité qu'ils soient tous sur la même étagère est donc : $\displaystyle 2 \times (\frac12)^2 = \frac12.$
Regarde les configurations plus haut : tu comptes les cas x / y et y / x comme s'ils étaient distincts. Ils ne le sont pas.
D'accord ?
"Le nombre de configurations totale est 3 "
Certes, mais elles ne sont pas équiprobables. Livres discernables ou pas, les configurations x / y et y / x sont différentes!
La réponse est bien $1/25$.
Cela ne vous gêne pas de donner une réponse qui n'est pas dans le QCM ? C'est peut-être une indication forte que vous faites une erreur. Je vous invite à travailler sur des exercices corrigés et vous trouverez certainement matière à comprendre la conséquence de l'indiscernabilité.
@Lucas, ce que tu écris, que les configurations x / y et y / x sont différentes, si $x=y$, c'est-à-dire si les éléments sont identiques, est absurde, non ? Aussi, si le fait que les livres sont identiques ou pas ne jouait aucun rôle, l'énoncé le préciserait-il ?
Je vous laisse faire des exercices corrigés et on en reparle.
1) Ca arrive très souvent que dans un QCM aucune réponse ne soit correcte (même si c'est parfois involontaire...).
2) Est-ce que tu crois que vraiment que si on coloriait ces trois livres de 3 couleurs différentes pour les rendre discernables cela changerait cette expérience physique et donc le résultat? (à supposer que des gens trient réellement des livres indépendamment et uniformément au hasard...).
On peut (et on doit) toujours supposer que les objets sont discernables pour bien dénombrer.
3) T'inquiète pas pour moi, pour préserver mon niveau en probas à défaut de progresser je fais un effort particulier pour ne pas faire d'exos corrigés par des gens comme ceux qui ont rédigé ce QCM.
Allez, sans rancune!
.
Je ne me suis pas énervé et j'espère ne pas t'avoir énervé.
Si je tombe sur des exercices corrigés qui présentent et expliquent un cas similaire, je les posterai.
Et je maintiens que ce n'est pas du tout la même chose avec ou sans discernabilité. Les électrons le savent aussi...
Si tu as $3$ livres, "identiques" ou non - et d'ailleurs que signifie "identiques" ? -et que tu les places au hasard sur $5$ étagères, ça se passe comme j'ai dit.
En fait si j'ai bien percé les intentions de l'auteur de cet énoncé, il faut dénombrer les répartitions de nos $3$ livres "identiques" sur $5$ étagères qui, elles, ne sont pas "identiques" : c'est le nombre de $5$-uplets d’entiers naturels dont la somme est $3$, et qui seraient les éventualités équiprobables,
Ce nombre est le nombre de combinaisons avec répétitions $\Gamma _{5}^{3}=(_{3}^{7})=35$. Ces répartitions sont réputées équiprobables, au mépris de tout bon sens.
Parmi ces éventualités, il y en a $5$ pour lesquelles nos $3$ livres sont sur le même étagère, et la probabilité attendue par l'auteur de cet énoncé est "donc" : $\frac{5}{35}=\frac{1}{7}$.
Je serais curieux de voir comment réaliser une simulation de cette expérience aléatoire conduisant à cette "probabilité".
Remarquez , les étagères aussi pourraient être "identiques", ça ferait un autre génial énoncé...
Pauvres élèves...
Bonne soirée.
F. Ch.
Peu importe où nous plaçons le premier livre, la probabilité de chacun des deux autres est sur le même rayon que le premier livre est $\dfrac{1}{5}$
@Chaurien, I agree the probability is $\dfrac{1}{25}$
C'est le nombre de "combinaisons avec répétition" de trois éléments pris parmi 7 (avec remise)
C'est $\binom {5+3-1}{3}=35$
Il y a 5 cas favorables puisque les 3 bouquins peuvent se trouver sur chacune des 5 étagères.
Mais avec le choix de cet univers, les événements élémentaires ne sont pas équiprobables. Ainsi le quotient $\frac 5{35}$ ne donne pas la bonne probabilité.
En effet l'événement $\{e_1,e_1,e_1\}$ a beaucoup mois de chances que l'événement $\{e_1,e_2e_3\}$ en effet
si les trois bouquins sont de couleur différentes, beige, mauve et gris, l'événement $\{e_1,e_2,e_3\}$ pourra se décliner en 6 triplets puisqu'il y a 6 façons de permuter les trois couleurs.
L'événement $\{e_1,e_1,e_1\}$ lui, ne pourra toujours être réalisé que d'une seule façon.
Un daltonien pour lequel tous les livres sont gris ne distinguera pas les bouquins, mais il n'y a pas de raison que la probabilité change selon que l'observateur soit daltonien on non
Dire que les bouquins sont indiscernables revient à présenter une chausse-trappe aux étudiants, mais ici il semble que ce n'était pas l'intention de l'auteur du problème puisqu'il n'a pas donné la bonne réponse parmi les choix proposés dans son QCM.
Le corrigé proposé par Educ est court et convaincant.
Edit :Mon message fait un peu double emploi avec celui de Chaurien, du moins pour la partie technique. jacquot
Je vois que presque tout le monde refuse le résultat qui tient compte de l'indiscernabilité des livres. L'énoncé de l'exercice est sans doute mal posé puisque nous ne sommes pas d'accord sur la solution. Pourtant, je perçois ce que l'auteur de l'énoncé veut dire.
J'essaie une nouvelle fois. Voici une autre façon de raisonner.
On dispose de deux livres identiques.
On a deux étagères (haute et basse).
On demande à des personnes de répartir les livres sur les étagères. On ne sait pas comment ils font, on s'en moque.
Il n'y a que trois possibilités :
- soit deux livres sont sur l'étagère haute ;
- soit deux livres sont sur l'étagère basse ;
- soit un livre est sur la haute et un autre livre est sur la basse.
Sommes-nous d'accord jusqu'ici ?
Maintenant, on demande à un grand nombre de personnes de faire la répartition. Après chaque répartition, on note la configuration.
On cherche la probabilité d'avoir deux livres sur la même étagère.
C'est ici que la compréhension diffère. Comme il y a $3$ configurations possibles, il est raisonnable de considérer que les personnes vont se répartir uniformément parmi ces configurations : chacune a une probabilité $1/3$ d'être choisie par une personne donnée.
Le résultat recherché est donc $2/3$ ($2$ cas favorables sur $3$ possibles).
Votre raisonnement consiste à dire que les personnes ne vont pas se répartir uniformément sur les $3$ configurations. Vous supposez que les personnes vont tirer aléatoirement l'étagère sur laquelle elles posent chaque livre. Pensez-vous vraiment que si on fait l'expérience chacune des personnes va réellement tirer aléatoirement l'étagère pour chaque livre ? On peut au contraire considérer que chaque personne va comprendre qu'elle a trois possibilités de configurations et en choisir une parmi ces trois.
C'est ce que l'auteur de l'énoncé essaie de faire comprendre.
Moi je le comprends... peut-être parce que je suis habitué à l'indiscernabilbité des particules... alors je "vois" ce que l'auteur veut dire, même si son expression est sans doute fautive.
Alors voici ma question pour vous :
Comment réécrire l'énoncé pour que la réponse correcte soit effectivement $2/3$ dans le cas des deux livres et deux étagères, et soit $1/7$ pour les trois livres et cinq étagères ?
Tu connaîs sûrement le "problème" de la somme de deux dés ?
On a 11 possibilités. Et il n'est pas raisonnables de penser que les possibilités sont équiprobables.
Que les dés soient de même couleur ou pas.
C'est en ce sens que je ne te suis pas (le raisonnement suivant est fâcheux "répartition uniforme car trois possibilités").
Le texte suggère que toutes les répartitions de livres sont équiprobables (pourquoi pas, il suffit d'énumérer toutes les répartitions, de les numéroter puis de choisir un no au hasard).
Autrement dit le cas (A) les trois livres sont sur l'étagère 1 et le cas (B) deux livres sur l'étagère 1 et un sur l'étagère 2 ont la même probabilité.
Donc la modélisation par des applications de $\{ 1 , 2, 3 \}$ dans $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ n'est pas bonne car elle donne trois fois plus de chances au cas (B) qu'au cas (A).
Conclusion la réponse $\frac 1 {25}$ ne respecte pas l'énoncé.
Cela oblige à se placer dans un cas précis.
Dire que les livres ont été rangés de façon aléatoire ne donne pas suffisamment d'information sur la nature de cet aléa.
N=10000 function x=etagere(a,b,c) x=0 if a==b then if b==c then x=1 end end endfunction clf for k=1:10 livres=grand(3,N,'uin',1,5) ouiounon=zeros(1:N) for i=1:N ouiounon(i)=etagere(livres(1,i),livres(2,i),livres(3,i)) end testfrequence=cumsum(ouiounon)./(1:N) plot(1:N,testfrequence) end plot(1:N,ones(1:N)/25,'r')[Edit : apparté stupide retirée]
Comme il est tard, voici mon dernier poste sur ce sujet.
Si l'énoncé portait sur trois objets quelconques et distincts deux à deux : un livre, une montre, une tasse à café, vous trouveriez le même résultat $1/25$, n'est-ce pas ?
L'énoncé écarte ce cas, maladroitement j'en conviens, pour bien préciser qu'il s'agit de trois objets identiques. Il essaie de dire : "et ne déconnez pas en répondant comme si les objets étaient quelconques et distincts deux à deux ; répondez en considérant que les configurations sont équiprobables et pour vous y inciter, on insiste non seulement sur le fait que ce sont les mêmes objets : des livres, mais en plus, pour bien enfoncer le clou, qu'ils sont identiques ; enfin, si vous ne comprenez pas avec ça, alors c'est pas bien grave, vous aurez $0$ à cet exercice. :-P"
Plus sérieusement, en physique des particules, il est indispensable de bien comprendre que les fermions sont indiscernables. Ceci a des consèquences fondamentales sur leur répartition et leurs propriétés physiques et chimiques. La physique statistique qui s'intéresse par exemple aux configurations d'électrons adsorbés sur des surfaces doit compter le nombre de telles configurations (quel est le nombre de configurations si deux électrons peuvent être adsorbés par quatre trous sur la surface ?) afin de calculer l'entropie et toutes les propriétés thermodynamiques du gaz d'électrons. On apprend aux physiciens à compter ces configurations fermioniques par le mot magique de "indiscernables" ou "identiques". Ceci est "un code" pour dire : "et ne déconnez pas en répondant comme si les objets étaient quelconques et distincts deux à deux ; répondez en considérant que les configurations sont équiprobables..."
La discussion n'est pas mathématique mais porte sur le modèle choisi. Et visiblement le cas du modèle où ''les trois livres sur la même étagère'' et ''deux livre sur l'étagère 1 et un sur l'étagère 2'' ont la même probabilité peut paraître irréaliste. Mais il faut se méfier car si j'ai bien compris, si on parlait de particules élémentaires, ça pourrait très bien se produire.
D'accord quand-même pour dire que l'énoncé est mal fait.
Personne, sauf à se méprendre, ne met toutes les sommes équiprobables.
[small]Je conviens qu'avec l'image du dé, on est dans l'uniforme plus facilement.[/small]
.
Pour autant, l'exercice n'est pas présenté comme un problème de modélisation, où l'on justifierait la modélisation choisie: c'est un bête QCM, présenté comme un exercice de mathématiques, ce qui sous-entend que l'expérience aléatoire du monde réel est suffisamment naturelle pour qu'elle impose au lecteur la modélisation. Je rejoins une remarque de Chaurien: si on entreprend de chercher une expérience aléatoire menant à cette modélisation, on s'apercevra bien vite que la réponse n'est pas soutenable.
Crois-tu que lorsqu'on dispose trois livres un peu au hasard et qu'on les répartisse sur 5 étagère, on prenne chaque livre, on le place au pif sur une des 5 étagère puis indépendamment du livre précédemment placé on place le suivant, etc.
Bref la situation n'est pas modélisable selon moi sauf à avoir davantage de précision. Donc ok pour dire que l'énoncé pêche mais je ne suis pas d'accord avec le modèle qui mène à $\frac 1 {25}$
Si on l'accepte, l'énoncé est clair sur un point: il s'agit d'une expérience aléatoire, donc régi par un protocole d'expérience.
Un protocole a été proposé qui mène à la réponse $1/25$, je n'en ai vu aucun qui mène à la réponse $1/7$.
Peut être qu'il y a une autre expérience aléatoire qui consiste à prendre un individu au hasard, cet individu a son propre protocole aléatoire, qui donnera un résultat aléatoire. Quel modèle raisonnable pour ça ? Je n'en fais fichtre rien, bien sûr, mais je vois mal pourquoi penser que ça mènerait à $1/7$ plutôt qu'à autre chose.
Après je ne sais pas dénombrer cela à-priori donc je ne sais pas si une réponse du QCM correspondait à ce modèle.
Voir combinaisons avec répétition
Ici ce serait $C_{5+3-1}^3$
En fait, non, c'est moi qui l'ai choisie. :-D C'est clairement celle qui colle le mieux à l'expérience sommairement décrite. Maintenant, le fait que le QCM ne propose pas la bonne réponse ne doit pas guider le choix de la modélisation.
Aux modérateurs : la fonction « répondre » ne semble plus fonctionner ?
Ben non je trouve pas ça si clair, évidemment c'est le modèle qu'on rencontre le plus souvent donc on a tendance à le choisir mais quand on réfléchit un peu plus longuement on se dit qu'il n'est pas si pertinent, d'ailleurs si on faisait le test grandeur nature, avec 1000 personnes qui devraient placer 3 livres identiques, je serais étonné que le modèle que tu as choisi soit validé par les fréquences observées.
On prend en photo toutes les configurations possibles.
On obtient 35 photos distinctes. (On a rejeté les doublons, triplons etc. c'est ici que se situe le débat)
On choisit une photo au hasard en considérant qu'il y a autant de chance d'en tirer une qu'une autre (je parle des photos :-)).
On cherche la probabilité de tirer une photo dans la configuration voulue (5 livres sur la même étagère).
C'est 5/35.
Mais bon, à moins de trouver une modélisation plus convaincante, on peut admettre que c'est moche !
Par contre je répète que je serais bien étonné qu'un test en grandeur nature valide le modèle qui aboutirait à $\frac 1 {25}$...
On peut tomber d'accord sur la crédibilité de l'exercice : personne ne range des livres comme ça.
Cependant, tel qu'il est posé, il me semble que le modèle que tu décris juste là "on lance un dé à 5 faces, on place le livre en fonction du résultat et on recommence pour les deux autres" est celui suggéré (avec toutes les maladresses dénoncées).
Qu'entends-tu par grandeur nature : avec des vraies personnes qui choisissent ? Qui lancent le dé ?
Dans le deuxième cas (lancé de dé), @remarque l'a simulé. Et cela conforte (convainc ?) le 1/25.
Dans le premier cas, même le 1/7 serait incertain je pense. Personne ne sait faire de l'uniforme ni même une répartition "vraiment aléatoire" (pardon pour l'ambiguïté du propos entre guillemets, j'espère être compris dans l'esprit).
La question que tu soulèves m'intéresse cependant (si je l'ai bien comprise) : comment un humain ferait si on lui demandait de ranger cela "n'importe comment" ?
Je suis presque sûr qu'il ne mettrait jamais les trois bouquins sur la même étagère...
Tu recommences mille fois l'expérience et tu notes les fréquences de répartition des livres (2 sur le niveau 1 et 1 sur le niveau 4 ou 3 sur le niveau 5 etc.)
Sinon je répète que remarque a fait un programme qui simule l'expérience avec le modèle qui donne $\frac 1 {25}$ donc forcément qu'il retrouve cette fréquence en faisant la simulation. ça ne prouve rien.
Si le cobaye est conscient du problème, il va poser des questions : "comment ça, comme je veux ?".
Et le protocole devra être explicité à sa demande.
Que veut dire "range ces livres comme tu le veux dans ce meuble" par exemple ?
Si le cobaye n'est pas conscient du problème, je pressens qu'il va toujours les poser sur le même rayon ou bien toujours les poser en vrac (et jamais tous sur le même rayon). Alors on interviendra pour dire "tu peux changer et faire comme tu veux".
Et le protocole devra être détaillé.
C'est une première réflexion sur l'essai grandeur nature.
Je comprends qu'il peut se dire : j'en mets 1 là et les 2 autres ici.
P.S. : (ça me vient en écrivant)
Le protocole serait alors : avec mes livres je fais des paquets 1/1/1 ou 1/2 (pareil que 2/1 ?) ou 3 puis je choisis pour chaque paquet où je le range en mettant un paquet sur un rayon différent.
Est-ce à cela que tu penses ?