Comment utiliser Fubini ici ?

Bonjour, je ne vois pas comment le théorème de Fubini-Tonelli permet d'obtenir la dernière égalité, en effet $\mathbb{E}Mf=\int_\Omega( \int_E f(x)M (w,dx))\mathbb{P}(dw)$
Le problème est que ici on a pas une mesure produit de deux mesures déterministes, mais la mesure elle-même dépend de $\omega \in \Omega$. J'ai essayé de chercher g tel que $\int_E f(x)M (w,dx) = \int_{Ex\Omega} g(x,w) N(dx)$ où N est une mesure déterministe mais à part le cas particulier où la mesure aléatoire admet p.s une densité, ce n'est pas vraiment possible.
Je vois aussi qu'on peut passer par les fonctions étagés et prendre la limite mais je me demandais si on pouvait vraiment s'en tirer en appliquant Fubini.