Roulette russe

Bonjour,

J'espère que le titre de ce fil n'effraiera pas nos aimables modérateurs.
La règle qui figure dans l'exercice n'est pas sans rapport avec lui.

Des joueurs $J1,...,J_N$ doivent tenter une épreuve qu'ils ont respectivement une probabilté $p_1,...,p_N$ (dans $]0,1[$) de réussir; Ils jouent <<cycliquement>>, c'est-à-dire dans l'ordre $1\to2\to3...\to N\to1\to2...$ tant que personne n'a gagné (le jeu s'arrête alors au premier gain).

a) Montrer qu'il existe une variable aléatoire $T$ telle que l'évènement $\{T=k\}$ soit l'évènement <<Le jeu s'arrête au cours du $k$-ème tour>>. Quelle en est la loi ?
b) Quelles relations doivent exister entre les $p_k$ pour que chacun des joueurs ait une chance $\frac1N$ de gagner ?
c)Quelles relations doivent exister entre les $p_k$ pour que, de plus, on ait presque sûrement $T=1$ ?

Podckazka: Un verre de Vodka peut être d'un grand secours (à consommer avec modération).