Espérance conditionnelle
Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes et intégrables.
Pour $n\geq 1$, $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$.
Montrer que $\mathbb E(S_n \mid S_1,...,S_{n-1}) =\mathbb E(S_n \mid S_{n-1})$ et calculer cette quantité.
Pour $n\geq 1$, $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$.
Montrer que $\mathbb E(S_n \mid S_1,...,S_{n-1}) =\mathbb E(S_n \mid S_{n-1})$ et calculer cette quantité.
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Réponses
Bref, ça ne demande que les propriétés les plus élémentaires de l'espérance conditionnelle.
Mais comment je peux calculer cette quantité ??
Autre : Montrer que $\mathbb E(X_1 \mid S_n,S_{n+1},...)=\mathbb E(X_1|S_n)$.
Montrer l'égalité (ce qui nous avons montré) et après calculer la quantité.
Tu as déjà calculé $\mathbb E(S_n \mid S_{n-1})$, puisque tu viens de me dire que :
Comment tu veux simplifier $S_{n-1} + \mathbb E(X_n)$ encore plus, pour n'importe quelle suites de variables aléatoires indépendantes ?
Et pour $\mathbb E(X_1 \mid S_n,S_{n+1},..)=\mathbb E(X_1 \mid S_n)$ comment je peux le démontrer ?
Mais là je n'ai pas d'argument pour le prouver.
Maintenant, il faut invoquer un résultat utile, mais qui n'est pas toujours donné dans les cours sur l'espérance conditionnelle:
Voir par exemple http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Olivier.Garet/livre-pps/ (publicité)
Connais-tu une manière rapide de vérifier cela ?
Comme $S_n$, $X_{n+1}$, $\dots$, $X_{n+k}$ sont chacune $\sigma(\sigma(S_n),\mathcal{B})$ mesurables, la mesurabilité de $S_{n+k}$ par rapport à $\sigma(\sigma(S_n),\mathcal{B})$ s'ensuit, d'où l'inclusion $\sigma(S_n,\dots)\subset \sigma(\sigma(S_n),\mathcal{B})$.
Dans l'autre sens, on utilise, pour $k>n$: $X_k=S_k-S_{k-1}$.
Merci aléa (tu)