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Espérance conditionnelle

omarovomarov
dans Probabilités, théorie de la mesure
Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes et intégrables.
Pour $n\geq 1$, $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$.

Montrer que $\mathbb E(S_n \mid S_1,...,S_{n-1}) =\mathbb E(S_n \mid S_{n-1})$ et calculer cette quantité.

Réponses

  • ChalkChalk
    Décompose $S_n$ comme $S_n=S_{n-1}+X_n$, puis utilise la linéarité de l'espérance conditionnelle, puis l'indépendance de $X_n$ avec $S_1,...,S_{n-1}$ ainsi que la mesurabilité de $S_{n-1}$ par rapport à $\sigma(S_{n-1}) \subset \sigma(S_1,...,S_{n-1})$.

    Bref, ça ne demande que les propriétés les plus élémentaires de l'espérance conditionnelle.
  • omarovomarov
    Je sais que $\mathbb E(S_n \mid S_1,...,S_{n-1})=S_{n-1} + \mathbb E(X_n)=\mathbb E(S_{n-1} \mid S_{n-1}) +\mathbb E(X_n | S_{n-1})$ ce qui égal exactement à $\mathbb E(S_n \mid S_{n-1})$. ça pour la démonstration

    Mais comment je peux calculer cette quantité ??


    Autre : Montrer que $\mathbb E(X_1 \mid S_n,S_{n+1},...)=\mathbb E(X_1|S_n)$.
  • ChalkChalk
    Je ne vois pas ce que tu veux simplifier de plus, ça y est tu l'as calculé ton espérance conditionnelle.
  • omarovomarov
    Je m'excuse mais dans la question il y a deux choses.

    Montrer l'égalité (ce qui nous avons montré) et après calculer la quantité.
  • omarovomarov
    C'est-à-dire comment je peux calculer $\mathbb E(S_n \mid S_{n-1})$ ??
  • ChalkChalk
    Peux-tu arrêter le langage sms et les triples points d'interrogation s'il te plaît ??????

    Tu as déjà calculé $\mathbb E(S_n \mid S_{n-1})$, puisque tu viens de me dire que :
    omarov a écrit:
    $\mathbb E(S_n \mid S_1,...,S_{n-1})=S_{n-1} + \mathbb E(X_n)=\mathbb E(S_{n-1} \mid S_{n-1}) +\mathbb E(X_n | S_{n-1})$ ce qui égal exactement à $\mathbb E(S_n \mid S_{n-1})$

    Comment tu veux simplifier $S_{n-1} + \mathbb E(X_n)$ encore plus, pour n'importe quelle suites de variables aléatoires indépendantes ?
  • omarovomarov
    Ok, merci.

    Et pour $\mathbb E(X_1 \mid S_n,S_{n+1},..)=\mathbb E(X_1 \mid S_n)$ comment je peux le démontrer ?
  • ChalkChalk
    Le résultat me paraît clairement vrai, cela correspond à l'indépendance de $X_1$ avec $S_{n+1},S_{n+2},...$ conditionnellement à $S_n$, car les $X_i$ sont indépendantes.

    Mais là je n'ai pas d'argument pour le prouver.
  • aléaaléa
    Comme $S_{n+k}=S_n+X_{n+1}+\dots X_{n+k}$, il s'ensuit que $\sigma(S_n,S_{n+1},\dots)=\sigma(\sigma(S_n),\mathcal{B})$, avec $\mathcal{B}=\sigma(X_{k},k>n)$.

    Maintenant, il faut invoquer un résultat utile, mais qui n'est pas toujours donné dans les cours sur l'espérance conditionnelle:


    Voir par exemple http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Olivier.Garet/livre-pps/ (publicité)61588
  • ChalkChalk
    Merci aléa (tu)
    aléa a écrit:
    Comme $S_{n+k}=S_n+X_{n+1}+\dots X_{n+k}$, il s'ensuit que $\sigma(S_n,S_{n+1},\dots)=\sigma(\sigma(S_n),\mathcal{B})$, avec $\mathcal{B}=\sigma(X_{k},k>n)$.

    Connais-tu une manière rapide de vérifier cela ?
  • aléaaléa
    On procède par double inclusion et on utilise que $\sigma(Y_i)\subset\mathcal{F}$ (tribu) si et seulement si pour tout $i$, $Y_i$ est $\mathcal{F}$-mesurable.
    Comme $S_n$, $X_{n+1}$, $\dots$, $X_{n+k}$ sont chacune $\sigma(\sigma(S_n),\mathcal{B})$ mesurables, la mesurabilité de $S_{n+k}$ par rapport à $\sigma(\sigma(S_n),\mathcal{B})$ s'ensuit, d'où l'inclusion $\sigma(S_n,\dots)\subset \sigma(\sigma(S_n),\mathcal{B})$.
    Dans l'autre sens, on utilise, pour $k>n$: $X_k=S_k-S_{k-1}$.
  • ChalkChalk
    Ok merci, je vais essayer de regarder cela de plus près (j'ai de la chance, j'ai ton livre :-D).
  • omarovomarov
    Merci skyffer3 (tu)
    Merci aléa (tu)
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