problème simple sociologie théorie des jeux

litterraireperdu · June 2017

Bonjour à tous, voici un problème simple que j'ai du mal à résoudre.

Admettons qu'un groupe est composé de deux sous-groupes: le sous-groupe minoritaire et le sous-groupe majoritaire.

Pour l'exemple le groupe est composé de 10 personnes, 3 minoritaires (m) et 7 majoritaires (M).

Tous les individus du groupe se connaissent mais les individus ne se font confiance qu'au sein de leur sous-groupe.

Chaque individu a suffisamment de ressources (temps, informations) pour entretenir une seule relation de confiance avec une personne.

Par exemple dans le groupe de 3 minoritaires, m1 peut choisir m2, m2 peut choisir m1 ou bien m3 etc... On admet qu'il choisit forcément quelqu'un (mais toujours dans son sous-groupe).

Quand la relation de confiance est réciproque (m1 choisit m2 et m2 choisit m1) le risque inhérent à la relation est de 0, quand la relation est unilatérale, le risque inhérent à la relation est de 1.

Si la distribution des relations confiance est aléatoire au sein des sous-groupe, comment calculer le risque moyen au sein d'un sous-groupe?

Vous l'aurez compris l'idée est de montrer qu'on a intérêt à être minoritaire au sein d'une population lorsqu'on développe une activité risquée nécessitant des relations de confiance.

Merci à tous!

Blueberry · June 2017

Et quand il n'y a aucune relation de confiance entre $m_1$ et $m_2$, le risque relativement à $\{m_1, m_2\}$ est 2?

Edit: erreur, ce cas ne peut se produire avec trois éléments.

Blueberry · June 2017

En fait, si on représente les relation de confiance par une matrice $3\times3$ avec $c_{ij}=1$ si $m_i$ a confiance en $m_j$, avec un groupe de 3, une telle matrice pourrait être:
$\begin{pmatrix} 0&1&0\\1&0&0\\0&1&0 \end{pmatrix}$
La matrice n'a forcément que un seul $1$ par ligne, et des $0$ sur sa diagonale. De plus, le risque total s'obtient en faisant sur chaque "contre-transversale" : 2 - la somme de cette contre-transversale.
ça fait $2 -(1+1)+2-(0+0+0)+2-(0+1)=3$ sur cet exemple.

Donc chaque matrice peut être assimilée a une application de $\{1, 2, 3\}$ dans $\{1, 2, 3\}$ sans point fixe.
Il y a $2^3=8$ matrices possibles. Donc chaque ensemble de relations (ou matrice) de confiance a une probabilité de $\dfrac 1 8$.
Après, si on note $X$ la v.a qui à une matrice associe le risque total, c'est l'espérance $\mathbb{E}(X)$ qu'il faut calculer.

afk · June 2017

Ca n'est pas vraiment de la theorie des jeux puisqu'il n'y a aucun aspect strategique si tu supposes la distribution des relations de confiance aleatoire.

C'est du denombrement de graphes.

Chacun ne peut accorder sa confiance qu'a une unique personne donc les aretes du graphe correspondent a une application des $n$ sommets (membres du groupe) dans lui meme. Si on impose a tout le monde d'accorder sa confiance alors il faut se restreindre aux applications sans point fixe. Si personne ne peut recevoir la confiance de plus d'une personne alors il faut se restreindre aux permutations.

Toute permutation est reunion disjointe de cycles et les sommets dans un cycle de longueur 2 sont les seuls a avoir un risque nul.

Prenons une application $\sigma : S\to S$. Soit $T_\sigma = \{ s \in S ~|~ \sigma^2(s) = s \}$. Alors le risque des elements de $T$ est 0 et celui des elements de $S \setminus T$ est 1 donc le risque moyen est $1 - |T_\sigma|/|S|$.

Si on choisit la distribution au hasard, il faut alors moyenner
$$
E[R] = \frac{1}{|S|}\sum_\sigma |S\setminus T_\sigma| p(\sigma)
$$

litterraireperdu · June 2017

Effectivement ce n'est pas de la théorie des jeux.

Je ne comprends pas bien la "contre-transversale", mais je vais me documenter sur les matrices afin de pouvoir montrer qu'un sous-groupe minoritaire est en moyenne moins risqué qu'un sous-groupe majoritaire.

Merci

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