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loi binomiale et courbe en cloche

Envoyé par ju'gle 
loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
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Bonjour
Voilà mon problème. Je cherche à comprendre pourquoi la loi normale s'exprime en fonction de e ?
Je comprends sa structure dans le sens ou un produit de probabilités indépendantes peut s'exprimer en puissances mais en quoi la puissance de e est-elle plus proche que toutes les autres des valeurs recherchées ... ??? Comment justifier cela ??
Bref, je ne sais pas vraiment si je me fais comprendre, du bas de mon niveau en math ...
Merci pour votre attention ...
:)

"To be AND not to be, that's the quantic...."



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
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Je pense que ce n'est pas ça la question que tu veux poser.

Tu te demanderais pas plutôt pourquoi une loi binomiale sous certaines hypothèses s'approcherait d'une (ou par une) loi normale ?

Parce que là pour répondre à ta question telle qu'elle est posée c'est extrêmement simple. C'est la définition de la loi normale qui fait que $e$ intervient. C'est tout, ça ne va pas plus loin, on l'a défini comme ça.
P.
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
Tu sais, $e$ debarque en math avec la limite du polynome $\left(1+\frac{x}{n}\right)^n.$
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
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Peut être sa question est pourquoi cette loi qui a cette densité qui s'exprime par e est appelée loi de la nature ?, autrement dit sous des conditions normales, pourquoi un phénomène naturel évolue suivant cette loi comme le poids et la taille?.

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
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Le poids et la taille ne suivent clairement pas une loi normale.
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
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@skyffer
[public.iutenligne.net]

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
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Ça a beau être marqué, ça n'en est pas moins faux. C'est du baratin habituel pour introduire la loi normale, ça n'a aucune valeur.

Premièrement, approcher une loi à support compact par une loi à support non compact est osé. Deuxièmement, il n'y a qu'à voir les histogrammes de taille et surtout de poids pour voir que ça ne ressemble pas vraiment à une loi normale (ou alors on a qu'à dire que n'importe quelle fonction croissante puis décroissante est une gaussienne ...).



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par skyffer3.
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
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J'ai dis dans des conditions normales: Dans des conditions de croissances naturelles, le poids et la taille suivent une loi Normale

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par gebrane0.
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
Esprit de dlzlogic, sors de ce corps ! smiling bouncing smiley
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
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En faisant une recherche sur dlzlogic, j'ai compris le sens de la phrase de Gabu, il croit que l'esprit de Dlzlogic ( un forumeur unique dans son genre) hante le corps de gebrane 0

dans ce cas gerard0 va trancherwinking smiley

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par gebrane0.
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
Une loi qui peut prendre des valeurs négatives avec probabilité strictement positive ne peut représenter le poids et la taille...
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
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Donc mon prof me racontait des salades et wiki aussi : des mesures faites sur une population de grande taille donnent des valeurs qui sont distribuées selon une loi similaire à la loi normale, par exemple la taille des femmes adultes d'une population donnée ou le poids des graines de pois de senteur3 extrait de [fr.wikipedia.org]

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
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Oui c'est n'importe quoi. Tu es en train de citer un passage qui te dit que dès que la population est grande les échantillons sont distribués suivant une loi normale et ça ne te choque pas ?

Le TCL est souvent mal interprété, c'est un résultat qui porte sur la somme des résultats, ça ne change rien à la distribution initiale de la population.



Edité 4 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par skyffer3.
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
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Je comprends maintenant pourquoi je suis nul en proba, une fois j'ai demandé à ce prof pourquoi le Calcul de $\frac {P(A\cap B)}{P(B)}$ exprime effectivement la chance de réalisation de l’événement A sachant que l’événement B est déjà réalisée, sa réponse fut: tu ne travailles pas les définitions de ton cours. Il n'a même pas essayer de comprendre le sens de ma question

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par gebrane0.
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
Citation

sachant que l’événement B est déjà réalisée
Tu introduis un soupçon de temporalité qui n'a rien à faire dans l'histoire. On peut (exemple idiot) demander quelle est la probabilité que le premier tirage de dé soit un $4$ sachant que la somme des points obtenus après trois tirages est $11$.

Au fait, quel est le sens de ta question, celui que ton prof n'a pas compris ?
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
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Je confirme ce que dit skyffer3. La taille de l'échantillon ne fait rien à l'affaire.
Si tu demandes aux élèves d'un établissement de lancer chacun un dé et de noter, pour chacun(e), le nombre de lancers qu'il (elle) a du faire pour avoir un 6, l'histogramme des fréquences des résultats observés ne ressemblera absolument pas à une gaussienne.

Si on observe la gaussienne souvent dans la nature, c'est (enfin on peut le penser) parce que plein de phénomènes naturels sont le résultant de sommes de variables aléatoires plus ou moins indépendantes et que très souvent, ce genre de choses converge vers une gaussienne.
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
Gebrane0,

le mot "normale" pour la loi de Gauss est une erreur énorme des statisticiens du dix-neuvième siècle qui croyaient que sauf cas bien particulier, la répartition des valeurs était analogue à celle des erreurs de mesure en astronomie.
On a continué à utiliser à tort le mot, la loi de Gauss s'étant révélée de nombreuses façons une loi centrale (voir le théorème limite central). nLa grande généralisation a été de justifier que si une variable aléatoire est somme de nombreuses variables continues, indépendantes et de même ordre de grandeur, alors cette loi est approximativement gaussienne.

Pour les poids des graines de senteur, pas de souci. Pour les femmes adultes, il y a maintenant des populations pour lesquelles l'approximation par une loi Normale de la répartition est très incorrecte (étalement dû à l'obésité, avec une forte "queue de distribution"). Cependant, si on choisit bien la population, si elle est suffisamment homogène, on pourra assimiler les valeurs à celle d'un échantillon de même taille d'un tirage d'une loi Normale.

En prenant les bonnes précautions, on pourra expliquer clairement que, au voisinage de la moyenne, on peut approximer des probabilités qu'une variable binomiale sont entre 2 valeurs par la probabilité qu'une variable gaussienne de même moyenne et même variance soit entre ces deux valeurs.

Mais on s'est bien éloigné de la question initiale, que je ne comprends pas vraiment, puisque la loi Normale est donnée avec e dans sa définition (mais c'est anecdotique, c'est parce qu'on ramène généralement les fonctions $a^x$ à l'exponentielle).

Tiens, c'est peut-être ça la réponse : on peut se passer de e et l'écrire avec un $2^{...}$ si on veut.

Cordialement.
Dom
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
Une question similaire est peut-être : comment a-t-on trouvé cette expression de la loi normale ?

Le $e$ mais aussi le $\pi$ et le radical etc.

D'où sort cette expression ?
Une limite d'une suite de fonction ?
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
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Citation
gebrane0
une fois j'ai demandé à ce prof pourquoi le Calcul de $\frac {P(A\cap B)}{P(B)}$ exprime effectivement la chance de réalisation de l’événement A sachant que l’événement B est déjà réalisée

Pour le comprendre, il vaut mieux le voir ainsi. C'est quoi la probabilité d'avoir $A$ et $B$. On a envie de dire que c'est la probabilité d'avoir $A$ sachant $B$ fois la probabilité de $B$. En effet, c'est la proportion des cas où on a bien $B$, et parmi cette proportion on prend celle où on a aussi $A$ mais sachant déjà qu'on a $B$. Bon je sais pas si j'étais clair smoking smiley

GBZM a bien sûr raison en disant cela :
Citation
GBZM
Tu introduis un soupçon de temporalité qui n'a rien à faire dans l'histoire.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par skyffer3.
Dom
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
Après relecture du fil, le message de @P. me semble être la réponse attendue :
le $e^x$ intervient comme limite de $(1+\dfrac{x}{n})^n$.

L'article de wiki nous renseigne sur l'historique de cette loi : [fr.m.wikipedia.org]
Cela répond à mon message précédent («d'où ça vient») : d'abord du "binomial" apparemment.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Dom.
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
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En réponse à [www.les-mathematiques.net]

GaBuZoMeu écrivait:

> Au fait, quel est le sens de ta question, celui
> que ton prof n'a pas compris ?

Le sens de ma question, pourquoi la formule mathématique exprime la signification littéraire de la phrase " la probabilité d'avoir A sachant B "
Veux-tu m'expliquer ce soupçon de temporalité que j'essaie d'introduire ?

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
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Merci à tous pour votre participation.

En fait, j'ai revisité wikipedia. Je ne comprennais que peu le concept d'équation caractéristique.
P. précisait avec importance une égalité concernant e(x). Je crois que la démonstration du TCL
( [fr.wikipedia.org]) est pertinente.

merci encore

"To be AND not to be, that's the quantic...."
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
Gebrane0,

comme l'univers a pour mesure 1 (proba totale), la proba de A est la mesure de A. Si on considère B comme réalisé quand on va s'intéresser à la proba de A, c'est que l'univers se restreint à l'événement B, donc il va falloir rétablir l'équilibre en divisant par P(B) pour que le nouvel univers soit B. Quant à la réalisation de A, ce ne peut être que celle de $A\cap B$ puisque les seuls événements élémentaires possibles sont dans B. D'où la formule.
Il faut bien saisir qu'il s'agit d'une nouvelle probabilité, liée à celle de départ, mais différente, d'où la notation plus correcte $P_B$.

Cordialement.

NB : Ton prof était effectivement vraiment "léger" smiling smiley
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
Bonjour,

La référence qui est sensée soutenir le passage en discussion est:

Titre Introduction to Probability
Auteurs Grinstead, Charles Miller and Snell, James Laurie
Éditeur American Mathematical Society
Year 1997
ISBN 0821807498, 9780821807491
Longueur 510 pages

Il est amusant de repérer la façon dont Grinstead and Snell a été recraché par Wikipedia, pour être ensuite recraché par gebrane0.

Citation
gebrane0
des mesures faites sur une population de grande taille donnent des valeurs qui sont distribuées selon une loi similaire à la loi normale, par exemple la taille des femmes adultes d'une population donnée.

Dans le contexte où il est utilisé, cet extrait donne l'impression que l'on a une loi similaire à la loi normale parce que l'effectif est grand, ce qui est évidemment une ânerie. On atteint un sommet avec "dans des conditions normales, la loi est normale".

L'extrait de wikipedia est:

Citation
wikipedia, "explication informelle"
Le rôle central de cette loi de probabilité vient du fait qu'elle est la limite d'un grand nombre de lois de probabilité, comme le montre le théorème central limite. [...] Ainsi, des mesures faites sur une population de grande taille donnent des valeurs qui sont distribuées selon une loi similaire à la loi normale, par exemple la taille des femmes adultes d'une population donnée.

Le texte recraché n'est pas très clair, alors que la signification du texte de Grinstead and Snell est toute différente: la distribution est similaire à la loi normale parce qu'il s'agit de la taille des personnes (l'effectif n'intervient ici que pour assurer que la distribution de l'échantillon est similaire à la distribution de la population totale).

Ce n'est pas le seul exemple de pataquès dans cet article de Wikipedia. Ainsi "Ce théorème signifie que tout ce qui peut être considéré comme étant la somme d'une grande quantité de petites valeurs aléatoires indépendantes est approximativement de loi normale" est suivi par "Si une grandeur physique subit l'influence d'un nombre important de facteurs indépendants et si l'influence de chaque facteur pris séparément est petite, alors la distribution de cette grandeur est une distribution gaussienne". La première partie suggère --correctement-- que la distribution de la taille des individus est normale car la taille est obtenue par la somme de divers "épisodes de croissance" (en particulier au niveau des cartilages de conjugaison). La deuxième partie est totalement débile: la loi log-normale est obtenue par l'influence d'un grand nombre de variables indépendantes... lorsque cette influence est multiplicative (exemple: polymérisation).



Quant au texte de Grinstead and Snell il indique que (pages 345-347):

The Normal Distribution and Genetics
When one looks at the distribution of heights of adults of one sex in a given
population, one cannot help but notice that this distribution looks like the normal
distribution. An example of this is shown in Figure 9.10. [...]

A natural question to ask is “How does this come about?”. Francis Galton,
an English scientist in the 19th century, studied this question, and other related
questions, and constructed probability models that were of great importance in
explaining the genetic effects on such attributes as height. In fact, one of the most
important ideas in statistics, the idea of regression to the mean, was invented by
Galton in his attempts to understand these genetic effects.

Galton was faced with an apparent contradiction. On the one hand, he knew
that the normal distribution arises in situations in which many small independent
effects are being summed. On the other hand, he also knew that many quantitative
attributes, such as height, are strongly in?uenced by genetic factors: tall parents
tend to have tall offspring. Thus in this case, there seem to be two large effects,
namely the parents. Galton was certainly aware of the fact that non-genetic factors
played a role in determining the height of an individual. Nevertheless, unless these
non-genetic factors overwhelm the genetic ones, thereby refuting the hypothesis
that heredity is important in determining height, it did not seem possible for sets of
parents of given heights to have offspring whose heights were normally distributed. [...]

En résumé: la loi des tailles est normale, que cela plaise ou non. Et il reste à recoller
les morceaux avec les lois de l'hérédité. C'est ce qui est fait dans la suite du texte.

Cordialement, Pierre.

Edit: bataille avec des "caractères suédois".



Edité 3 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par pldx1.
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
avatar
Citation
pldx1
la loi des tailles est normale, que cela plaise ou non

Faut quand même pas pousser mémé dans les orties. Une loi à support compact qui serait une loi normale ça ne me plaît pas, c'est le moins que je puisse dire.
P.
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
Dialogue de sourds. Le reste du monde appelle loi normale quelque chose qui est tres bien approche par une loi normale des mathematiciens. Confondre les deux donne des batailles amusantes sur les poids ou les tailles negatives.
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
Là encore, il s'agit d'un abus de langage : la distribution des tailles dans une population homogène (*) ressemble de près à celle d'un échantillon de valeurs arrondies d'une loi Normale.
En fait, on constatait ça sur les conscrits au conseil de révision (on a des statistiques sur presque 2 siècles), et très approximativement sur certaines populations animale. Quételet en avait fait un critère de solidité des données, ce qui est absurde. Mais de nombreux scientifiques considèrent que les erreurs de leurs expériences sont gaussiennes (dans ce sens), ce qui leur évite bien de réfléchir aux éventuelles causes d'erreur. Et dans les sciences humaines, cette affirmation devient parfois un dogme, alors même qu'il y a des répartitions tout autres; d'où des tests de Normalité pour des situations où ça n'a pas de sens (valeurs par codage ou échelle de valeurs).

Cordialement.

(*) donc pas des humains, hommes et femmes mélangés.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par gerard0.
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
  • Le $e$ vient de la formule de Stirling, dont la version faible est $\sqrt[n]{n!} \sim n/e$, tandis que la constante vient de ce que l'aire sous la courbe reste égale à $1$ lorsque l'on passe à la limite.
    $\,$
  • Si l'on considère un Avogadro de bipèdes adultes d'un même sexe, et que l'on modélise les tailles par la loi normale, on trouvera quelques individus avec une taille négative. Exercice: combien ? Mais si l'on veut rester sur Terre, il faut se résigner au fait que la probabilité de croiser un Avogadro de bipèdes est assez nulle.
    $\,$
  • Quand on voit la légèreté avec laquelle gebrane0 cite wikipédia, il semble léger de qualifier ses enseignants de "légers" sur la base d'une citation approximative.



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par pldx1.
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
avatar
@P
Je peux savoir ton explication ( le droit d'apprendre d'un apprenti d'un spécialiste )

@gerard0
merci smiling smiley
mais j'ai un autre souci: soit B un événement négligeable, B peut se réaliser même si sa proba est nulle. Maintenant si je veux calculer la proba d'une événement A en tenant compte de l'information que l’événement B est déjà réalisé, comme procéder vu que la formule mathématiques précédente est incapable de traiter ce cas

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
avatar
Alors on peut rencontrer des problèmes si on ne fait pas attention smiling smiley
[en.wikipedia.org]
[fr.wikipedia.org]
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
gebrane0 écrivait :
-------------------------------------------------------
[Inutile de répéter le message précédent. Poirot]

A priori, tu es dans un autre espace de probabilité, lié à l'événement B de proba nulle. Comme toutes les probas induites sur B par ta proba précédentes sont nulles, tu n'as plus de loi de probabilité à ta disposition. Donc tu ne peux plus parler de proba conditionnelle.

mais si tu connais un cas concret, je veux bien le regarder. En probas géométriques, on a des situations de ce genre, le paradoxe de Bertrand est là pour nous inciter à y regarder à deux fois.

Cordialement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Poirot.
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
avatar
Merci aux intervenants

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
Bonjour.

Il m'a semblé utile de signaler cette discussion sur le bistro de wikipedia.fr. A suivre !

Cordialement, Pierre.
Re: loi binomiale et courbe en cloche
l’an passé
Citation
skyffer3
Premièrement, approcher une loi à support compact par une loi à support non compact est osé
Bah on ne fait "qu'approcher", on ne déclare pas que c'est la même chose.
Cette démarche est légitime au vu des divers théorèmes qui disent essentiellement qu'une mesure finie sur un espace topologique raisonnable est tendue, i.e. "charge" des compacts dans un sens qu'on va préciser plus bas.

1) Si $(X,\tau)$ est localement compact et $P$ une mesure de probabilité de Radon sur $X$ alors pour tout $\varepsilon>0$, il existe une partie compacte $K$ de $X$ telle que $P(K)\geq 1-\varepsilon$.
Bon en fait ça découle trivialement de la définition de mesure de Radon.

2) Plus intéressant: si $(X,d)$ est un espace métrique séparable et $P$ une mesure de probabilité borélienne sur $X$ alors pour tout $\varepsilon>0$, il existe une partie mesurable précompacte $K$ de $X$ telle que $P(K) \geq 1-\varepsilon$.

Noter que si l'espace est complet, l'adhérence d'une telle partie est compacte et vérifie aussi cette inégalité.

Preuve résumée de 2). Soit $D=\{d_n,n\in \N\}$ une partie dénombrable dense de $E$. Soit $\varepsilon>0$. Si $k\in \N$, alors $\bigcup_{n\in \N} B(d_n,2^{-k})=X$, il existe donc $p_k\in \N$ tel que $P\left(\bigcup_{i=0}^{p_k} B(d_i,2^{-k})\right)\geq 1-2^{-(k+1)} \varepsilon$.

On vérifie que $K:=\bigcap_{k\in \N} \bigcup_{i=0}^{p_k} B(d_i,2^{-k})$ a bien les propriétés voulues.
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