Mesure de Lebesgue invariante par dilatation
Bonjour,
Je prends comme définition de la mesure de Lebesgue sur $(\mathbb{R},\cal{B}(\mathbb{R}))$ comme étant l'unique mesure vérifiant $\lambda([0,1])=1$ et l'invariance par translation.
A partir de cette définition, comment peut-on montrer que $\lambda(aA)=|a| \lambda(A)$ pour $a \in \mathbb{R}$ et $A \in \cal{B}(\mathbb{R})$ ? (C'est à dire l'invariance par dilatation).
Bien cordialement,
Et merci d'avance pour votre aide.
Je prends comme définition de la mesure de Lebesgue sur $(\mathbb{R},\cal{B}(\mathbb{R}))$ comme étant l'unique mesure vérifiant $\lambda([0,1])=1$ et l'invariance par translation.
A partir de cette définition, comment peut-on montrer que $\lambda(aA)=|a| \lambda(A)$ pour $a \in \mathbb{R}$ et $A \in \cal{B}(\mathbb{R})$ ? (C'est à dire l'invariance par dilatation).
Bien cordialement,
Et merci d'avance pour votre aide.
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Réponses
Edit : Le titre "Mesure de Lebesgue invariante par dilatation" est bien mal choisi :-P
N'est-ce pas?
Cordialement et merci de vos réponses.
Merci beaucoup pour vos réponses ainsi que pour votre rapidité :-)
Cordialement.
Je ne vois vraiment pas comment conclure du coup..
Tu montres l'égalité des mesures $\lambda(a (. \cap )=|a| \lambda(.\cap $ avec le lemme des classes monotones.
Puis ensuite tu prends un recouvrement dénombrable par des parties de mesure finie intervalles finis $B_n$ et tu utilises la propriété de continuité monotone.
Snif. Sinon je te signale que tu admets presque le truc dont tu demandes une preuve. C'est n peu étonnant!! ("L'unique" mesure ... telle que mû de [0,1] = a risque fort de te donner ton voeau à la ligne suivante).
Je n'ai lu que le post1 pardon si déjà évoqué.
De plus si $A \in \cal{B}(\mathbb{R})$ alors on peut écrire $aA= \bigcup \limits_{n \in \mathbb{N}}^{} {a(A \cap B_n)}$. On a d'après ce qui précède par le lemme des classes monotones: $\lambda (a(A \cap B_n)) = |a| \lambda( A \cap B_n)$
Par continuité à gauche d'une mesure: $\lambda(aA)=\lim\limits_{n \to +\infty} \lambda(a( A \cap B_n)) = \lim\limits_{n \to +\infty}|a| \lambda(A \cap B_n) = |a| \lim\limits_{n \to +\infty} \lambda(A \cap B_n) = |a| \lambda(A)$. Car la suite $(A \cap B_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante.
N'est-ce pas?
PS: J'avoue que j'ai du mal à suivre ce que christophe essaye d'expliquer.
Bien cordialement.
Le problème de Christophe est qu'il fait semblant de croire que l'unicité de la mesure invariante par translation valant $1$ sur $[0,1]$ fait partie des hypothèses, alors que c'est bien entendu ce que Bogdanov98 cherche à démontrer.
Cependant j'ai encore un petit problème pour montrer que $M'= \left\{ A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \ | \ \lambda(a (A \cap )=|a| \lambda(A\cap \right\}$ est une classe monotone sur $\mathbb{R}$.
- On a bien $\mathbb{R} \in M'$.
- Mais pour la stabilité par différence propre, je ne vois pas comment aboutir: Soient $A$ et $C$ dans $M'$ tels que $A \subset C$. Il s'agit de vérifier que $(C \backslash A) \in M'$. On a bien $C \backslash A$ borélien de $\mathbb{R}$ par le caractère de tribu. Cependant $\lambda(a((C \backslash A) \cap ))= \lambda(a((C \cap \backslash A)))$ car $(C \backslash A) \cap B = C \cap A^c \cap B = C \cap B \cap A^c = (C \cap \backslash A$. Et on ne peut rien dire que car $\lambda(aA)$ n'est pas forcément fini et on n'a même pas $A \subset C \cap B$.
Merci d'avance pour votre aide :-)
Cordialement
Bogdanov98 écrivait:
> Je prends comme définition de la mesure de Lebesgue sur $(\mathbb{R},\cal{B}(\mathbb{R}))$ comme étant l'unique mesure vérifiant $\lambda([0,1])=1$ et
> l'invariance par translation.
Il suffit alors de montrer que la mesure $\mu(A)=\frac1{|a|}\lambda(aA)$ est telle que $\mu([0,1])=1$. Ce qui ne semble pas faire intervenir de classes monotones et toute cette artillerie, mais plutôt la stratégie évoquée plus haut par aléa.
C'est ce qui est écrit noir sur blanc dans le premier fil...
Et plus j'y réfléchis, moins ça me semble clair que ça change quoi que ce soit à la difficulté de l'exercice de rajouter ce truc d'unicité...
En prenant $b \in \mathbb{R}$ on a $\mu(b+A)= \dfrac{\lambda(a(b+A))}{|a|}=\dfrac{\lambda(ab+aA)}{|a|}=\dfrac{\lambda(A)}{|a|}=\mu(A)$ (on a utilisé l'invariance par translation de $\lambda$). D'où l'invariance par translation de $\mu$. Donc par unicité d'une telle mesure vérifiant les deux points précédents, on a bien $\lambda(A)=\mu(A)=\dfrac{\lambda(A)}{|a|}$ et d'où le résultat.
Est-ce correct?
Merci et cordialement.
Toutefois dans la première preuve, est-ce qu'on est d'accord: $M'$ n'est pas une classe monotone car on ne peut conclure sur la stabilité par différence propre?
Cordialement.
Il est bien connu que deux mesures sur la tribu borélienne de $\mathbb{R}$ qui coincident et sont finies sur les intervalles de type $[c,d[$ coïncident.
Une fois qu'on sait que $\lambda([c,d[)=d-c$, la comparaison de $\lambda$ et $A\mapsto \frac1{|a|}\lambda(aA)$ est alors immédiate.
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
Vous voulez dire que $B$ (dans la définition de $M'$) doit être un intervalle fini de $\mathbb{R}$ ? Car même en supposant cela, j'ai écrit dans un message plus haut, que je ne vois pas comment conclure pour la stabilité par différence propre.
Merci encore, et bien cordialement.
Si $\mu(A\cap =\lambda(A\cap $ et $\mu(A'\cap =\lambda(A'\cap $, avec $A'\subset A$,
pour $A,A'$ dans la classe monotone et $B$ dans le pi système (d'où l'importance que le recouvrement soit dans le pi système pour que la classe monotone contienne bien le pi système) alors on a bien $\mu((A\setminus A')\cap = \mu((A\cap \setminus (A'\cap ) = \mu(A\cap - \mu(A'\cap = \lambda(A\cap - \lambda(A'\cap = \lambda((A\setminus A')\cap $ (d'où l'importance que $B$ soit de mesure finie pour légitimer la soustraction), et donc $A\setminus A'$ appartient bien aussi à la classe monotone.
> (Leb(aX))/a. Et comme c'était un "presque" il m'était difficile de ne pas le signaler à Bogda. Encore aurait-elle supposé à la virgule près le désir j'aurais peut être suspecté ce que semble vouloir évoquer GBZM
@GBZM: J'utilise "fait semblant de croire X" dans les rubriques politiques du forum contre des opposants pour les accuser de ne pas croire X mais de vouloir donner à penser qu'ils croient X. Comme te le signale aléa c'est bizarre dans un fil maths purement technique surtout quand le truc est écrit noir sur blanc.
Si tu voulais dire "fais semblant de ne pas connaitre une convention implicite qui voudrait que quand le demandeur suppose sa conclusion on "annule" son hypothèse et dans ce cas sache que je ne fais pas semblant je ne connais pas cette convention et je n'ai jamais pense que skyffer utilisait une telle convention. D'ailleurs ses cris du 2e posts attestaient à mon sens de sa sincerite.
Je rappelle que j'ai des défauts mais que je ne mens pas (sauf situations spéciales et matérielles) ni ne suis JAMAIS de mauvaise foi. Pas par honnêteté naturelle mais parce que pour des raisons de traumatisme familial j'ai découvert un jour que la vie est bien plus simple sans mauvaise foi. Je n'aurais aucune hésitation à mentir si le jeu en valait la chandelle je ne suis pas en train de me vanter d'être d'une parfaite honnêteté.
Mais dans le Cantal, envoyer des mensonges d'un petit téléphone sur mon forum préféré .... Je ne vois pas trop la chandelle :-D
> Leb(aX) est d'une part une mesure d'autre part invariante par translation. Tu confirmés?
Mon téléphone affiche matherror partout où il y a du latex
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Merci de votre réponse, cependant pourquoi a-t-on $(A\setminus A')\cap B = (A\cap \setminus (A'\cap $ ? Il me semble que : $(A\setminus A')\cap B = (A \cap A'^c) \cap B = A \cap B \cap A'^c = (A \cap \setminus A' $ non ?
Cordialement.
Remarque que mon égalité permet d'avoir le deuxième ensemble exclu comme un sous-ensemble du premier et donc d'écrire le mesure comme la soustraction des deux. J'espère que je suis clair sinon je détaillerai plus tard.
Evidemment votre égalité est la plus intéressante car permet de conclure pour la 1ère preuve (celle initiée en début de topic).
Merci beaucoup de votre aide ainsi qu'à tous les intervenants du sujet.
Cordialement.
@BOGDA je ne suis plus sur mon téléhone mais sur mon pc sur le wofo de l'hôtel qui marche moyen. J'essaie de te donner quelques détails que je n'aurais pas pu t'envoyer de mon téléphone.
1) une généralité: la théorie de la mesure a un but très clair et les exercices qui lui sont rattachés sont en quelque sorte "une corvée pour elle si elle pouvait parler", puisqu'elle vise autre chose, mais doit justifier ses dires. En fait, ce que tu regardes semble-t-il dans ce fil sont essentiellement des exos "ensemblistes" purs et durs.
2) Ta question: comme déjà dit, tu avais presque admis ton résultat attendu dans ta question. Soit $a>0$. Si la $m:=$mesure de Lebesgue est la seule telle que blabla, comme $f:X\mapsto m(aX) / a$ est une mesure telle que blabla, il suit que c'est $m$, donc $m(aX)=am(X)$ (car $m(X)=m(aX)/a$). Encore faut-il, comme l'a peut-être évoqué alea prouver que $f$ est une mesure invariante par translation. Mais qu'on utilise une échelle qui dit que c'est évident ou une échelle qui dit que c'est long, de toute façon, ça n'utilise absolument aucun lemme "préparatoires car souvent utiles" des cours classiques de théorie de la mesure, ce sont des exercices de L1 de base pour tester le maniement du langage
3) J'en viens à quelque chose qui t'intéressera, concernant ce qui se passe quand on n'admet plus dans la question le résultat ou presque.
3.1) Comme vu en (2), pourquoi se fatiguer, autant démontrer ce que tu as "maladroitement" admis. Mais pour a, il te faut une définition officielle de la mesure de Lebesgue et comme j'ai arrêté l'école à la seconde et peu lu ensuite, mon académisme est vraiment limité. Par contre, je peux te certifier une chose, c'est qu'on ne parle pas de tribu ni de théorie de la mesure explicitement dans la première définition que j'ai croisée dans ma vie au hasard d'une bibliothèque de ce que veut dire <<mesure de Lebesgue>>. Et pour tout avouer, par flemme,je n'en ai jamais cherché d'autres.
3.2) Toute partie de IR a une mesure extérieure de Lebesgue et une mesure intérieure de Lebesgue. La ME est définie comme suit: ME(X) c'est la borne inférieure de l'ensemble des nombres qu'on peut obtenir en additionnant (somme infinie convergente) les intervalles disjoints dont la réunion recouvre X. Quant à MI(X), tu remplaces inf par sup, etc
3.3) Un ensemble de réels $X$ est mesurable-Lebesgue quand $ME(X)=MI(X)$.
3.4) Avec ça, tu as une définition proprette et des exos "proprets" pour partir du début et déduire formellement les choses jusqu'à ton désir. En gros, ça ressemble à :
3.5) Prouver que les boréliens sont ML
3.6) De manière générale, si T est la plus petite tribu qui contient un ensemble W et que deux mesures coincident sur W, prouve qu'elles coincident sur T
3.7) Arrive à ton résultat
Bien entendu, tout ceci t'a peut-être été présenté plus haut avec des variantes, mais bon, tu as beau avoir choisi un pseudo bizarre :-D , je voulais juste te montrer que je ne t'ai pas laissée tomber en m'en tenant à des posts-sms de 3 lignes. Et n'oublie pas que la tribu borélienne est la plus petit tribu qui contient les intervalles à embouts rationnels (par définition enfin non presque mais peu importe) donc dès qu'une TRIBU contient ces intervalles alors PAR DEFINITION elle contient la tribu borélienne.
Effectivement la vision générale de la mesure de Lebesgue que vous portez, est une variante de celle que j'ai dans mon livre de théorie de la mesure.
C'est intéressant de voir les différentes approches.
Merci encore et bien cordialement.