Variable aléatoire constante
Bonjour à tous,
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans l'espace d'état $(\mathbb R^d,\mathcal B(\mathbb R^d))$, $d\in\mathbb N^*$.
Supposons que pour tout borélien $A\in \mathcal B(\mathbb R^d)$, on ait $\mathbb P_X(A) = 0$ ou $1$.
Alors je sais normalement démontrer que $X$ est constante presque sûrement.
Je résume la démo que j'ai en tête vite fait. Je prends un hypercube centrée à l'origine de dimension $r$, alors la mesure sous $X$ de ce borélien vaut $0$ pour $r=0$ (ou alors $X$ vaut $0$ p.s. et c'est fini), tend vers $1$ lorsque $r\to\infty$ (continuité monotone), donc en prenant le sup sur les $r$ tels que la mesure vaut $0$ on peut montrer qu'on obtient le $r$ tel que la surface du cube de dimension $r$ a pour mesure $1$ (par continuité monotone). Puis on recommence en faisant pareil sur chaque face du cube, puis ainsi de suite récursivement jusqu’à tomber sur une arête du cube dont la mesure vaut $1$ (on retombe donc sur le cas de la dimension 1), et on recommence encore en prenant le sup et tombe sur la valeur que prend $X$ p.s.
Mon problème est que je si je devais rédiger proprement cette démonstration ce serait un peu long et technique. Vous n'avez pas des arguments plus simples ou plus courts ?
Merci d'avance,
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans l'espace d'état $(\mathbb R^d,\mathcal B(\mathbb R^d))$, $d\in\mathbb N^*$.
Supposons que pour tout borélien $A\in \mathcal B(\mathbb R^d)$, on ait $\mathbb P_X(A) = 0$ ou $1$.
Alors je sais normalement démontrer que $X$ est constante presque sûrement.
Je résume la démo que j'ai en tête vite fait. Je prends un hypercube centrée à l'origine de dimension $r$, alors la mesure sous $X$ de ce borélien vaut $0$ pour $r=0$ (ou alors $X$ vaut $0$ p.s. et c'est fini), tend vers $1$ lorsque $r\to\infty$ (continuité monotone), donc en prenant le sup sur les $r$ tels que la mesure vaut $0$ on peut montrer qu'on obtient le $r$ tel que la surface du cube de dimension $r$ a pour mesure $1$ (par continuité monotone). Puis on recommence en faisant pareil sur chaque face du cube, puis ainsi de suite récursivement jusqu’à tomber sur une arête du cube dont la mesure vaut $1$ (on retombe donc sur le cas de la dimension 1), et on recommence encore en prenant le sup et tombe sur la valeur que prend $X$ p.s.
Mon problème est que je si je devais rédiger proprement cette démonstration ce serait un peu long et technique. Vous n'avez pas des arguments plus simples ou plus courts ?
Merci d'avance,
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Réponses
Je ferais plutôt le raisonnement dans l'autre sens.
Tu cherches à montrer qu'il existe $a$ avec $P_X(\{a\})=1$.
Tu raisonnes par l'absurde: $P_X(\{a\})=0$ pour tout $a$.
Or, par continuité séquentielle croissante, il y a une boule fermée qui contient toute la masse.
Maintenant, un argument de compacité + peut être partie dénombrable dense devrait permettre de montrer que la mesure est nulle et avoir une contradiction.
Quel argument de compacité as-tu en tête ?
D'après le théorème de continuité séquentielle croissante, il existe $n$ tel que $\mu(B_F(0,n))>0$, soit $\mu(B_F(0,n))=1$.
Je dis qu'il existe $a\in B_F(0,n)$ avec $\mu(\{a\})=1$.
On raisonne par l'absurde et on suppose que pour tout $a\in B_F(0,n)$, $\mu(\{a\})<1$. D'après le théorème de continuité séquentielle décroissante, il existe $r_a>0$ tel que $\mu(B_O(a,r_a))<1$, d'où $\mu(B_O(a,r_a))=0$.
Les boules $B_O(a,r_a)$ forment un recouvrement par des ouverts de $B_F(0,n)$ qui est compact: on peut en extraire un recouvrement fini, d'où l'on déduit que $\mu(B_F(0,n)=0$: contradiction.
Je m'en veux, quand je pense compacité je n'ai pas le réflexe de passer par les recouvrements d'ouverts. Ce sont les mauvais réflexes de prépa où on introduit la compacité séquentielle ...
À côté ma preuve fait vraiment besogneux 8-)
On peut aussi s'inspirer de la démonstration en dimension un. Dans ce cas, on pose
$$t_0:=\inf\left\{t\in\mathbb R,\mathbb P_X\left( \left]-\infty,t\right] \right)=1 \right\},$$
et on montre que $\mathbb P_X\left( \left]-\infty,t_0\right]\right)=1$ et que pour tout $t\lt t_0$, $\mathbb P_X\left( \left]-\infty,t\right]\right) =0$. Ceci montre que $X=t_0$ p.s.
Maintenant, pour la dimension $d$, on procède par récurrence. Le cas $d=1$ est fait. Si on suppose le résultat vrai en dimension $d-1$, on pose
$$t_1:=\inf\left\{t\in\mathbb R,\mathbb P_X\left( \left]-\infty,t\right]\times\mathbb R^{d-1} \right)=1 \right\},$$
et on montre que $$\mathbb P_X\left( \left\{t_1 \right\} \times\mathbb R^{d-1} \right)=1.$$
Puis on note $X'$ la projection de $X$ sur les $d-1$ dernières coordonnées et on lui applique l'hypothèse de récurrence.
Je m'inspire de la preuve du théorème 29 de [Garet:Probabilités et processus stochastiques].
Comme précédemment on raisonne par l'absurde et on suppose qu'aucun singleton n'est de masse 1.
Soit $D$ une partie dénombrable dense de $E$.
Pour $x\in E$, on peut trouver $n_x$ entier naturel tel que $\mu(B_O(x,2/n_x))<1$, soit $\mu(B_O(x,2/n_x))=0$. Prenons $c_x$ quelconque dans $B_O(x,1/n_x)\cap D$.
On a $x\in B_O(c_x,1/n_x)\subset B_O(x,2/n_x)$.
On a donc $E=\cup_{x\in E} B_O(c_x,1/n_x)$.
$E$ s'écrit comme réunion dénombrable de boules de mesure nulle, donc $E$ est de mesure nulle.
Contradiction.
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
En fait il n'y a pas besoin de récurrence : on pose $$
t_i:=\inf\left\{t\in\mathbb R,\mathbb P_X\left(\mathbb R^{i-1}\times \left]-\infty,t\right]\times\mathbb R^{d-i} \right)=1 \right\}
$$ pour $1\leqslant i\leqslant d$ et on montre que $X=\left(t_i\right)_{i=1}^d$ p.s.
Je me suis rappelé du joli contre-exemple suivant : la mesure de Dieudonné. La réponse à ma question est donc oui, même pour une mesure Borélienne sur un espace compact !