Fonction mesurable
Sur un cours en ligne je lis:
" Théorème: Une fonction $f$ est mesurable (pour la tribu borélienne $\cal{B}(\mathbb{R}^{n})$) si et seulement si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe une fonction continue $\varphi$ continue telle que $\mu( \left\{x | \varphi(x)\neq f(x)\right\})<\varepsilon$.
Corollaire: $f$ est limite simple de fonctions continues "
(je pense que $\mu$ doit être la mesure de Lebesgue).
Est-ce que cela signifie que $f$ est continue presque partout?
" Théorème: Une fonction $f$ est mesurable (pour la tribu borélienne $\cal{B}(\mathbb{R}^{n})$) si et seulement si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe une fonction continue $\varphi$ continue telle que $\mu( \left\{x | \varphi(x)\neq f(x)\right\})<\varepsilon$.
Corollaire: $f$ est limite simple de fonctions continues "
(je pense que $\mu$ doit être la mesure de Lebesgue).
Est-ce que cela signifie que $f$ est continue presque partout?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
L'indicatrice des rationnels vaut $0$ presque partout, elle est mesurable et continue presque partout.
Je ne vois pas ce qu'on peut en tirer.
Ce que je cherche à savoir, c'est s'il existe ou pas des fonctions mesurables (pour la tribu $\cal{B}(\mathbb{R}^{n}$)) qui ne sont pas continues presque partout.
Si une fonction $f=g$ presque partout avec $g$ continue, alors $f$ est continue presque partout.
est-ce que, pour toute fonction $f$ intégrable au sens de Lebesgue (donc mesurable et d'intégrale finie), il existe une fonction $g$ continue telle que $f=g$ presque partout?
Merci pour le contre exemple. Et si on rajoute l'hypothèse que $f$ est finie partout?
edit je reformule la question d'une maniere precise; je suppose que l'ensemble de discontinuité de f est denombrable ( f;$\R\to \R$), montrer que f est mesurable à la cc
1) rappel: une fonction continue nulle sur un dense est constante nulle. La relax "epsilon" est inévitable
2) @gebrane: je ne me rappelle jamais ce que veut dire mesurable (j'hésite entre appartenir à la tribu engendrée par les produits de A croix B quand A est dans la tribu de départ et B d'arrivée ou, à la manière des continues quand l'image réciproque d'un elt de la tribu d'arrivée est dans la tribu de départ). Mais dans la deuxième option les antécédents des éléments de ]a,b[ par ta fonction son t les éléments d'un ouvert auxquels on ajoute un ensemble dénombrable (les antécédents qui sont des points de discontinuité). Mais je ne pense pas que je t'apprenne ici quelque chose:-S
> est-ce que, pour toute fonction $f$ intégrable au sens de Lebesgue (donc mesurable et d'intégrale
> finie), il existe une fonction $g$ continue telle que $f=g$ presque partout?
Pour revenir à cette question qui semble s'être perdue en cours de route. La réponse est évidemment non, sinon la vie serait triste. Comme contre-exemple, on peut prendre la fonction caractéristique d'un ensemble de Cantor gras. Plus généralement, on ne peut rien espérer de plus que le théorème de Lusin.
j'utilise aussi l'option 2. C'est à dire, pour démontrer la mesurabilité de f, il faut démontrer que l'image réciproque de tout borélien de $\R$ est un borélien de $\R$
edit
@Skyffer
Stp, on sait que qu'une fonction continue presque partout est Lebesgue-mesurable mais peut-tu me rappeler un exemple d'une fonction continue presque partout qui n'est pas boréllienne? et merci d'avance
mais la question n'etait pas perdue, j'ai donné un contre exemple http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1510372,1510448#msg-1510448
Flo157 :
> Merci pour le contre exemple. Et si on rajoute l'hypothèse que $f$ est finie partout?
à laquelle ton contre-exemple répond aussi, n'était pas plutôt dans l'esprit « Et si on rajoute l'hypothèse que $f$ est bornée ? »
Je pense trouver un contre dans le cas où $f$ est bornée.
On prend $f(0)=0$ et $f(x)=\sin(\frac 1x),\quad \forall x\in ]0,1]$ $f$ est bornée et Lebesgue intégrable sur $[0,1]$, mais ne coïncide presque partout avec aucune fonction continue sur $[0,1]$.
@cc
Je suis dans la confusion totale ! Voir les définitions dans le papier joint.
Si toute application $f:\R\to\R$ (sous ZF) est mesurable alors toute application de $f:\big(\R,B(\R)\big)\to \big(\R,B(\R)\big)$ est borélienne, mais il y a un contre-exemple dans ce papier (que je viens de voir) http://www.daniel-saada.eu/fichiers/33-Fonctions-continues-presque-partout.pdf
edit j'ai oublié de joindre le fichier
> est-ce que, pour toute fonction $f$ intégrable au sens de Lebesgue (donc mesurable et
> d'intégrale finie), il existe une fonction $g$ continue telle que $f=g$ presque partout ?
La fonction caractéristique de $[0,1]$ ne fait pas l'affaire comme contre-exemple pour $f$ ?
* point trop d'excès... cf message de GaBuZoMeu plus bas.
1°) Ce n'est pas vrai.
2°) Pourquoi "prendre la fonction caractéristique d'un ensemble de Cantor gras" ?
@Gebrane: il y a vraiment une enooooooooorme différence entre borélienne et mesurable.
> @Remarque :
> 1°) Ce n'est pas vrai.
J'ai été un peu excessif certes. Mais enfin, disons plutôt que pas mal de fonctions caractéristiques font l'affaire.
> 2°) Pourquoi "prendre la fonction caractéristique d'un ensemble de Cantor gras" ?
Pourquoi pas ? C'est une fonction caractéristique comme une autre qui fait l'affaire et c'est rigolo de voir ce que le théorème de Lusin dit dessus.
Tu nous caches des choses :-D, tu as répété 3 fois le théorème de Lusin. Je ne connais que la version de wiki https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Lusin qui exige que l'ensemble de départ soit un compact. J'aimerais bien savoir comment appliquer ce théorème pour construire un contre-exemple de ceci. edit
ll y a un point que je trouve contre intuitif avec ce théorème. Si on applique Lusin à $f$ l'indicatrice de $\Q$ sur $[a,b]$, ça nous donne une fonction continue $g$ égale à $f$ sur un compact de mesure aussi grande qu'on le souhaite, d'où $g$ est nulle, donc on a un compact de $[a;b]$ aussi grand que l'on souhaite inclus dans $\R \setminus \Q$. :-S
edit2 @Gabu
Merci pour ton contre-exemple, simple et efficace; j'ai honte avec mon $ x\mapsto \sin(1/x)$.