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Fonction mesurable

Envoyé par Flo157 
Fonction mesurable
il y a deux années
Sur un cours en ligne je lis:

" Théorème: Une fonction $f$ est mesurable (pour la tribu borélienne $\cal{B}(\mathbb{R}^{n})$) si et seulement si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe une fonction continue $\varphi$ continue telle que $\mu( \left\{x | \varphi(x)\neq f(x)\right\})<\varepsilon$.
Corollaire: $f$ est limite simple de fonctions continues "

(je pense que $\mu$ doit être la mesure de Lebesgue).

Est-ce que cela signifie que $f$ est continue presque partout?



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Flo157.
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
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Non, regarde l'indicatrice de des rationnels.
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
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l’énoncé est du n'importe quoi, on ne voit pas le rôle que doit jouer $\epsilon$

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
@skyffer3
L'indicatrice des rationnels vaut $0$ presque partout, elle est mesurable et continue presque partout.
Je ne vois pas ce qu'on peut en tirer.

Ce que je cherche à savoir, c'est s'il existe ou pas des fonctions mesurables (pour la tribu $\cal{B}(\mathbb{R}^{n}$)) qui ne sont pas continues presque partout.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Flo157.
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
@gebrane0 : Au temps pour moi, j'ai posté un peu trop rapidemment.
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
L'indicatrice des rationnels continue presque partout ? fatigué de la semaine ?
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
Il me semble que l'indicatrice des rationnels n'est continue en aucun point.
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
@skyffer3,Krokop et Chaurien. Ok, non c'est bon, je n'ai rien dit. Je ne sais pas pourquoi, dans ma tête j'avais :

Si une fonction $f=g$ presque partout avec $g$ continue, alors $f$ est continue presque partout.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
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Si c'etait vrai cc va péter un plomb [www.les-mathematiques.net]

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
Du coup, je vais reposer une question un peu différente (celle que j'avais en tête dès le départ)

est-ce que, pour toute fonction $f$ intégrable au sens de Lebesgue (donc mesurable et d'intégrale finie), il existe une fonction $g$ continue telle que $f=g$ presque partout?



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Flo157.
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
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Est ce que tu peux trouver une fonction continue g sur [0,1] qui coincide avec f presque partout [0,1] avec f definie par $f(x)=\frac 1{\sqrt x}$ et $f(0)=0$ ?

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
@gebrane0

Merci pour le contre exemple. Et si on rajoute l'hypothèse que $f$ est finie partout?
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
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Sa fonction $f$ est finie partout. En revanche on peut trouver une fonction $g$ continue qui coïncide presque partout avec sa fonction $f$ si on autorise $g$ à être à valeurs dans la droite réelle achevée.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par skyffer3.
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
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Si cc passe par la; j'aimerais qu'il nous démontre en deux ligne la réciproque, c'est a dire si f est continue pp alors f est mesurable

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
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Euh là attention gebrane, faut être très vigilent. Cette réciproque est fausse sauf à bien préciser qu'on ne parle plus de fonction Borel-mesurable mais de fonction Lebesgue-mesurable, ce qui ne semble pas être le cas ici.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par skyffer3.
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
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j'ai pris ces hypothèses (Une fonction f est mesurable pour la tribu borélienne ) et je regarde la reciproque
edit je reformule la question d'une maniere precise; je suppose que l'ensemble de discontinuité de f est denombrable ( f;$\R\to \R$), montrer que f est mesurable à la cc

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par gebrane0.
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
De mon téléphone :

1) rappel: une fonction continue nulle sur un dense est constante nulle. La relax "epsilon" est inévitable

2) @gebrane: je ne me rappelle jamais ce que veut dire mesurable (j'hésite entre appartenir à la tribu engendrée par les produits de A croix B quand A est dans la tribu de départ et B d'arrivée ou, à la manière des continues quand l'image réciproque d'un elt de la tribu d'arrivée est dans la tribu de départ). Mais dans la deuxième option les antécédents des éléments de ]a,b[ par ta fonction son t les éléments d'un ouvert auxquels on ajoute un ensemble dénombrable (les antécédents qui sont des points de discontinuité). Mais je ne pense pas que je t'apprenne ici quelque choseconfused smiley

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
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Flo157 écrivait :
-------------------------------------------------------
> est-ce que, pour toute fonction $f$ intégrable au sens de Lebesgue (donc mesurable et d'intégrale
> finie), il existe une fonction $g$ continue telle que $f=g$ presque partout?

Pour revenir à cette question qui semble s'être perdue en cours de route. La réponse est évidemment non, sinon la vie serait triste. Comme contre-exemple, on peut prendre la fonction caractéristique d'un ensemble de Cantor gras. Plus généralement, on ne peut rien espérer de plus que le théorème de Lusin.
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
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@cc
j'utilise aussi l'option 2. C'est à dire, pour démontrer la mesurabilité de f, il faut démontrer que l'image réciproque de tout borélien de $\R$ est un borélien de $\R$
edit

@Skyffer
Stp, on sait que qu'une fonction continue presque partout est Lebesgue-mesurable mais peut-tu me rappeler un exemple d'une fonction continue presque partout qui n'est pas boréllienne? et merci d'avance

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par gebrane0.
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
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bonjour remarque, la vie est heureuse puisque tu es lagrinning smiley
mais la question n'etait pas perdue, j'ai donné un contre exemple [www.les-mathematiques.net]

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
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@gebrane0 : dont acte pour le contre-exemple. Je me demande si la demande supplémentaire

Flo157 :
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> Merci pour le contre exemple. Et si on rajoute l'hypothèse que $f$ est finie partout?

à laquelle ton contre-exemple répond aussi, n'était pas plutôt dans l'esprit « Et si on rajoute l'hypothèse que $f$ est bornée ? »
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
Pour info, il est consistant avec ZF que toutes les applications de $\R^n\to \R^p$ sont mesurables. Se rappeler cet énoncé, même sans en connaitre de preuve peut permettre de se faire un avis plus averti sur des questions comme celles du fil ou d'autres. Autrement dit, toute fonction construite sans l'axiome du choix sont mesurables.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
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@remarque
Je pense trouver un contre dans le cas où $f$ est bornée.
On prend $f(0)=0$ et $f(x)=\sin(\frac 1x),\quad \forall x\in ]0,1]$ $f$ est bornée et Lebesgue intégrable sur $[0,1]$, mais ne coïncide presque partout avec aucune fonction continue sur $[0,1]$.
@cc
Je suis dans la confusion totale ! Voir les définitions dans le papier joint.
Si toute application $f:\R\to\R$ (sous ZF) est mesurable alors toute application de $f:\big(\R,B(\R)\big)\to \big(\R,B(\R)\big)$ est borélienne, mais il y a un contre-exemple dans ce papier (que je viens de voir) [www.daniel-saada.eu]

edit j'ai oublié de joindre le fichier

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.


Re: Fonction mesurable
il y a deux années
Flo157 écrivait :
> est-ce que, pour toute fonction $f$ intégrable au sens de Lebesgue (donc mesurable et
> d'intégrale finie), il existe une fonction $g$ continue telle que $f=g$ presque partout ?

La fonction caractéristique de $[0,1]$ ne fait pas l'affaire comme contre-exemple pour $f$ ?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
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N'importe quelle* fonction caractéristique fait l'affaire (sauf celles de l'ensemble vide et celle de l'ensemble tout entier). grinning smiley Mais ce qui est plus intéressant, au risque de me répéter, c'est le théorème de Lusin, et comment il s'applique dans tous ces différents cas.

* point trop d'excès... cf message de GaBuZoMeu plus bas.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par remarque.
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
@Remarque :
1°) Ce n'est pas vrai.
2°) Pourquoi "prendre la fonction caractéristique d'un ensemble de Cantor gras" ?
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
De mon téléphone d'un aéroport: je pense que remarque pensait à [0,1] plus qu'à IR. La constante nulle est presque partout égale à la fonction caractéristique de IQ.

@Gebrane: il y a vraiment une enooooooooorme différence entre borélienne et mesurable.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
avatar
GaBuZoMeu écrivait :
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> @Remarque :
> 1°) Ce n'est pas vrai.

J'ai été un peu excessif certes. Mais enfin, disons plutôt que pas mal de fonctions caractéristiques font l'affaire.

> 2°) Pourquoi "prendre la fonction caractéristique d'un ensemble de Cantor gras" ?

Pourquoi pas ? C'est une fonction caractéristique comme une autre qui fait l'affaire et c'est rigolo de voir ce que le théorème de Lusin dit dessus.
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
De mon téléphone : ça va sans dire mais disons-le grinning smiley Les fonctions caractéristiques d'ensembles qui ne sont approximables à négligeable près par une continue sont celles qui ne sont constantes sur aucun ensemble co-négligeable. Charge est laissée à flo de traduire ce franchouillard téléphonique en énoncé précis. C'est juste du au fait qu'une continue devra passer de 0 à 1 et la phase de transition ne sera pas négligeable.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
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@remarque
Tu nous caches des choses grinning smiley, tu as répété 3 fois le théorème de Lusin. Je ne connais que la version de wiki [fr.wikipedia.org] qui exige que l'ensemble de départ soit un compact. J'aimerais bien savoir comment appliquer ce théorème pour construire un contre-exemple de ceci.
Citation

Est-ce que, pour toute fonction $f \in L^1(\R)$ il existe une fonction $g$ continue sur $\R$ telle que $f=g$ presque partout $\R$ ?
edit

ll y a un point que je trouve contre intuitif avec ce théorème. Si on applique Lusin à $f$ l'indicatrice de $\Q$ sur $[a,b]$, ça nous donne une fonction continue $g$ égale à $f$ sur un compact de mesure aussi grande qu'on le souhaite, d'où $g$ est nulle, donc on a un compact de $[a;b]$ aussi grand que l'on souhaite inclus dans $\R \setminus \Q$. confused smiley

edit2 @Gabu
Merci pour ton contre-exemple, simple et efficace; j'ai honte avec mon $ x\mapsto \sin(1/x)$.

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
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@ gebrane0 : si elle ne peut pas être égale pp (ce que ne montre pas le théorème de Lusin) à une fonction continue sur un compact, comment pourrait-elle être égale à une fonction continue pp sur $\R$ ? De toutes façons, ce n'est pas cela que fait le théorème de Lusin, il ne construit pas de contre-exemple, il indique une sorte de maximum de continuité que l'on peut attendre d'une fonction mesurable quelconque. Pour l'indicatrice des rationnels, c'est un exemple pas amusant avec effectivement $g=0$ pour tout $\varepsilon>0$. J'ai donné un exemple plus amusant.
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
Un exemple peut être plus intéressant à chercher mais c'est un sujet où la précision des mots est vitale (clin d'œil à flo) c'est une fonction mesurable $f$ tel qu'il n'existe pas de partie négligeable $N$ telle que la restriction de $f$ à $\mathbb R\setminus N$ est continue en tant que fonction définie seulement sur $\mathbb R\setminus\mathbb N$.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
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Merci remarque pour ces explications et surtout d'avoir rappeler ce beau théorème de Lusin que je trouve paradoxal ( exemple de l'indicatrice des rationnels) et j'espere qu'on a pas interrompu tes vacances avec ce fil , mais sache que pendant ton absence il y a des chevaliers qui défendent l'analyse ( moi je ne suis qu'un pion grinning smiley) Les chevaliers se reconnaîtront winking smiley

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
De mon téléphone : un phénomène similaire à Lusin est que toute partie mesurable pour Lebesgue et pas négligeable a des zones "noires" ie des intervalles où elle contient plus de 99% des points de l'intervalle par exemple. Bref des grumeaux. Il n'est pas possible de faire un zolie partie uniformément grise où que tu regardes. Lusin dit essentiellement ça (les variations de gris peuvent être choisies continûment).

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
@remarque: je voulais bien dire bornée. Merci pour tous les exemples (c'est vraiment pas joli la fonction caractéristique d'un Cantor gras).
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
@christophe c : ça revient à trouver une fonction mesurable telle que $f$ n'est pas égale presque partout à une fonction continue presque partout?
Re: Fonction mesurable
il y a deux années
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C'est plutôt lié aux points de Lebesgue de la fonction caractéristique. La densité d'un tel ensemble est presque partout 0 ou 1.
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