Espérance et proba

moustache · August 2017

Bonjour

J'ai une v.a X d’espérance 1 et de variance 2.
Je dois répondre par oui ou pas non à ces affirmations:

A- E(2X+1)=3
B- Var(2X+1)=9
C- P( !X-1! >=2) <=1/2
D- P[X>=3]<= 1/2
E-P[X>=1]=0.

Pour la A et B c'est facile.
Par contre pour la C, D et E je ne vois comment à partir de la valeur de l’espérance calculer les probas.

Un grand merci de m'orienter.

paf · August 2017

Bonjour,

Il ne s'agit pas de calculer les probas mais de les majorer si possible. Pour la C, tu peux par exemple utiliser l'Inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

moustache · August 2017

Mais bien sûr c'est impardonnable de ne pas avoir penser à l'inégalité de B-T c'est complètement logique. Du coup la C est vraie bien sûr.
Pour la D si je retranche 1 des deux côtés de l'inégalité, je ne sais apres comme va comporter X--1 vu que je ne connais pas l'intervalle de X. Si X>3 je pourrai appliquer du B-T et sa sera faux la réponse. Donc je dirai qd mm faux la D.
Pour la C je dirais vrai.

Que penses tu PAF?

Merci encore

moustache · August 2017

Pour la D je pourrai appliquer la B-T ganeralisée et du coup la D est fausse. Si dans ll' exo on remplace le 1/2 par 1/3 la
D sera juste.

Nn?

paf · August 2017

Pour la D, l'inégalité de Markov peut aider. Comme elle s'applique normalement à un $\mathbb P(X>a)$ avec une v.a. $X$ positive, il faut être un peu malin, par exemple avec $X':=\max(X,0)=X.\mathbb 1_{X\geq 0}$.

moustache · August 2017

Oui effectivement.

moustache · August 2017

PAF j'ai un autre style d'exercice:

Soit X une v.a admettant pour fonction de répartition:

F_X(x) = 0 si x<0
F_X(x) =x/2 si 0<= x<1.
F_X(x) = 1 si x>=1.

A) P[X<=1/2]=1/4 ? pour moi vrai car P[X<=1/2]=1/2/2=1/4.

P[0<=X<=1/]=1 ? Comme P[0<=X<=1/]=F(1)-F(0)= 1/2-0=1/2 tu es ok?
C)P[X=1]=1/4 ? 1-P[X<=1]= 1-1/2 = 1/2 donc faux ??
D) la v.a possède une densité? pour moi oui car F continue par morceau donc dérivable.
E) la v.a X est discrète? Pour moi nn par contre je ne sais pas comment le démontrer ?

Que penses-tu PAF?

paf · August 2017

A) Ok.

Non, quelle est la valeur de F(1) ?
C) Il y a de l'idée mais c'est mal justifié. Note que $P(X=1)=P(X\leq 1)-P(X<1)$. (edit : et pas $P(X\geq 1)-P(X<1)$). Reste à calculer $P(X<1)$.
D) Attention à ne pas écrire n'importe quoi. Il existe des fonctions continues par morceaux mais non dérivables.
E) La fonction de répartition d'une v.a. discrète est d'un type très particulier, lequel ?

moustache · August 2017

la valeur de F(1) est 1 donc B vraie.
C) P[X>=1)=1-P[X<=1]= 1-1/2=1/2 et P[x<1]=1/2 donc P(X=1)=0 dc faux?
D)Oui t'as raison dans ce cas D fausse.
E) Je ne sais pas, je dirai loi uniforme discrète?

paf · August 2017

J'ai édité mon message précédent.

moustache · August 2017

Oui donc P[X<1]=1/4? J'ai tracé la fonction F et c'est un triangle ( entre 0 et 1) donc l'air c'est 1/4. Mais je ne sais pas l'écrire sous forme probla je n'arrive pas à l'écrire, Mis à part peut être P[x<1]=P[0<=X<1] nn ?

Sinon pour la B c'est correcte ? F(1) c'est bien 1?

J'ai du mal avec les inégalités et les inégalités de ce genre
Merci encore

paf · August 2017

Oui F(1) vaut 1.

Par contre, au début de ton message, tu m'as l'air de confondre densité de probabilité et fonction de répartition. Relis la définition d'une fonction de répartition... Note aussi que $\displaystyle P(X<1)=\lim_{x\to 1^-} P(X\leq x).$

P. · August 2017

$X\sim \frac{1}{2}1_{]0,1[}(x)dx+\frac{1}{2}\delta_1(dx).$

moustache · August 2017

Donc dans ce cas P[X<1]=1/2. ??

Par contre pour la densité je ne vois pas comment le démontrer proprement

moustache · August 2017

Delta 1 Kroneker?

paf · August 2017

Oui, P(X<1)=1/2.
Pour la D, suppose par l'absurde que X est à densité $f$ et compare $P(X\in [0;1[)$ et $P(X\in [0;1])$ en les écrivant comme des intégrales.
Pour la E, une v.a. discrète a une fonction de répartition en escalier.

Le $\delta_1$ est la mesure de Dirac au point 1.

moustache · August 2017

Bonjour PAF,

J'ai une question avec les lois conditionnelle.

J'ai une v.a thêta qui suit une loi Gamma de paramètre ( p,a) ( avec p un entier naturelle supérieur à 1 et a >0 ).Soit N une variable aléatoire telle que, sachant que thêta=t, la loi de N suit une loi de Poisson de paramètre t

J'aimerais calculer P[N=n]??

Pour cela je suis passé par les proba conditionnelle, P[N=n I thêta=t] = P[N=n ; thêta=t] / P(N=n]. Le numérateur je sais pas comment le calculer.?

aléa · August 2017

$P(N=n|\theta=t)=\mathcal{P}(t)(n)=e^{-t}\frac{t^n}{n!}$

moustache · August 2017

Un grand merci mais tu peux m'expliquer stp le passage?

aléa · August 2017

C'est juste la définition de la loi conditionnelle.

Ca n'a rien à voir avec la formule de Bayes puisque $P(\theta=t)=0$.
Je te conseille de te rapporter à un cours.

Espérance et proba

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