Exercice fermé et fonction mesurable
Bonjour,
J'ai un petit problème pour conclure l'exercice suivant:
Soit $(X,\mathcal{A},\mu)$ un espace mesuré ($\mu$ positive).
Soit $f \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1 (\mu)$. On considère un fermé $F$ de $\mathbb{R}$ tel que $\forall A \in \mathcal{A}$ si $\mu(A) >0$ alors $\dfrac{1}{\mu(A)} \displaystyle \int_{A}^{} f \, \mathrm{d}\mu \in F$.
Il s'agit de montrer que $f \in F \ \mu$-p.p.
J'ai donc d'abord écrit le complémentaire de $F$ qui est un ouvert comme une réunion d'intervalles ouverts (je note $I_n$ ces intervalles) de $\mathbb{R}$ (2 à 2 disjoints). Il s'agit de montrer que $\mu ( f^{-1} (F^c) )=0$.
Par $\sigma$- sous additivité de la mesure $\mu$ j'obtiens $\mu ( f^{-1} (F^c) ) \leq \displaystyle \sum_{n>0}^{} \mu ( f^{-1} (I_n) ) \,$.
Donc pour conclure j'aimerais montrer par l'absurde que si on se donne un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ alors $\mu ( f^{-1} (I) )=0$.
Je suppose donc $\mu ( f^{-1} (I) )>0$, par hypothèse de l'énoncé, comme $f$ est mesurable on a $f^{-1} (I) \in \mathcal{A}$ et on a donc $(\dfrac{1}{\mu(f^{-1} (I))} \displaystyle \int_{f^{-1} (I)}^{} f \, \mathrm{d}\mu) \in F$.
Je sens bien que la contradiction réside dans le fait que $(\dfrac{1}{\mu(f^{-1} (I))} \displaystyle \int_{f^{-1} (I)}^{} f \, \mathrm{d}\mu) \in I$ Comme $I \subset F^c$, on pourra conclure sur l'absurdité.
Mais je ne vois pas comment "proprement" (sans argument passé sous le tapis) montrer ce dernier point (qui me semble vrai).
Je vous remercie par avance pour toute aide éventuelle,
Bien cordialement.
J'ai un petit problème pour conclure l'exercice suivant:
Soit $(X,\mathcal{A},\mu)$ un espace mesuré ($\mu$ positive).
Soit $f \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1 (\mu)$. On considère un fermé $F$ de $\mathbb{R}$ tel que $\forall A \in \mathcal{A}$ si $\mu(A) >0$ alors $\dfrac{1}{\mu(A)} \displaystyle \int_{A}^{} f \, \mathrm{d}\mu \in F$.
Il s'agit de montrer que $f \in F \ \mu$-p.p.
J'ai donc d'abord écrit le complémentaire de $F$ qui est un ouvert comme une réunion d'intervalles ouverts (je note $I_n$ ces intervalles) de $\mathbb{R}$ (2 à 2 disjoints). Il s'agit de montrer que $\mu ( f^{-1} (F^c) )=0$.
Par $\sigma$- sous additivité de la mesure $\mu$ j'obtiens $\mu ( f^{-1} (F^c) ) \leq \displaystyle \sum_{n>0}^{} \mu ( f^{-1} (I_n) ) \,$.
Donc pour conclure j'aimerais montrer par l'absurde que si on se donne un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ alors $\mu ( f^{-1} (I) )=0$.
Je suppose donc $\mu ( f^{-1} (I) )>0$, par hypothèse de l'énoncé, comme $f$ est mesurable on a $f^{-1} (I) \in \mathcal{A}$ et on a donc $(\dfrac{1}{\mu(f^{-1} (I))} \displaystyle \int_{f^{-1} (I)}^{} f \, \mathrm{d}\mu) \in F$.
Je sens bien que la contradiction réside dans le fait que $(\dfrac{1}{\mu(f^{-1} (I))} \displaystyle \int_{f^{-1} (I)}^{} f \, \mathrm{d}\mu) \in I$ Comme $I \subset F^c$, on pourra conclure sur l'absurdité.
Mais je ne vois pas comment "proprement" (sans argument passé sous le tapis) montrer ce dernier point (qui me semble vrai).
Je vous remercie par avance pour toute aide éventuelle,
Bien cordialement.
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