Exercice fonction mesurable et intégrable

Bonjour,

J'ai vraiment un problème sur l'exercice suivant:
Soit $(X,\mathcal{A},\mu)$ un espace mesuré.
Soit $f: (X, \mathcal{A}) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})$ mesurable.
Il s'agit de montrer l'équivalence:
$$f \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1 (\mu) \Leftrightarrow \displaystyle \sum_{n \in \mathbb{Z}}^{} 2^n \mu (\left\{ 2^n \leq |f| < 2^{n+1} \right\}) \, < +\infty$$

J'ai exploré plusieurs pistes:
1) J'ai d'abord essayé d'utiliser l'inégalité de Markov afin d'obtenir une série convergente. Seulement ça ne marche que pour $n <0$ dans la sommation ci-dessus. Et je ne parviens pas à montrer que la série pour $n \geq 0$ de la même sommation converge avec l'inégalité de Markov.

2) Je me suis dis qu'il fallait essayer un tout autre raisonnement, j'ai donc réussi à montrer par le théorème de convergence monotone: $$\displaystyle \sum_{n \in \mathbb{Z}}^{} 2^n \mu (\left\{ 2^n \leq |f| < 2^{n+1} \right\}) \, = \displaystyle \int_{X}^{} (\sum_{n \in \mathbb{Z}}^{} 2^n \mathbb{1}_{ \left\{2^n \leq |f| < 2^{n+1} \right\} })\, \mathrm{d}\mu$$.
Mais je ne vois pas comment utiliser ce résultat pour montrer un sens ou l'autre de l'équivalence.

Je vous remercie par avance pour toute indication ou aide,
Bien cordialement
Marie