Écart entre deux variables aléatoires i.i.d.
Bonjour à tous,
Soit $A=\{C\geq 0 \, : \,\mathbb P(|X-Y|\leq 2) \leq C\,\mathbb P(|X-Y|\leq 1) \text{ pour tout } X,Y \text{ i.i.d.}\}$.
Dans le cadre d'un exercice j'ai appris que $C=\inf A$ existe, et que $3\leq C \leq 5$.
Peut-on être plus précis, est-ce qu'on connaît la valeur exacte de $C$, ou est ce qu'on sait mieux l'encadrer ?
Merci d'avance ;-)
Soit $A=\{C\geq 0 \, : \,\mathbb P(|X-Y|\leq 2) \leq C\,\mathbb P(|X-Y|\leq 1) \text{ pour tout } X,Y \text{ i.i.d.}\}$.
Dans le cadre d'un exercice j'ai appris que $C=\inf A$ existe, et que $3\leq C \leq 5$.
Peut-on être plus précis, est-ce qu'on connaît la valeur exacte de $C$, ou est ce qu'on sait mieux l'encadrer ?
Merci d'avance ;-)
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Réponses
$|X-Y| \leq 2 \subset |[X]-[Y]| \leq 2$. Je note $X' = [X]$ et $Y'=[Y]$ qui sont alors deux variables aléatoires discrètes et i.i.d. Je note $p_i = \mathbb P(X'=i)$.
On a donc \begin{align*} \mathbb P(|X'-Y'| \leq 2) &= \sum_{i=-2}^2 \mathbb P(X'=Y'+i) \\
&= \sum_{i=-2}^2 \sum_{n\in\Z} \mathbb P(X'=Y'+i, Y'=n) \\
&= \sum_{i=-2}^2 \sum_{n\in\Z} p_{n+i}p_n \leq \sum_{i=-2}^2 (\sum_{n\in\Z} p_{n+i}^2)^{1/2}(\sum_{n\in\Z} p_{n}^2)^{1/2} \end{align*} par Cauchy-Schwarz. Or $\sum_{n\in\Z} p_{n+i}^2 = \sum_{n\in\Z} p_{n}^2$ et donc $\mathbb P(|X'-Y'| \leq 2) \leq 5 \sum_{n\in\Z} p_{n}^2 = 5\mathbb P(X'=Y') \leq 5\mathbb P(|X-Y|\leq 1)$ car $[X]=[Y] \subset |X-Y| \leq 1$.
Donc $\inf A \leq 5$, et $\inf A \geq 3$ se démontre en considérant la loi uniforme sur $\{2,4,6,...,2N\}^2$ pour le couple $(X,Y)$.
Crédit : livre d'aléa de l'intégration aux probabilités.
Oui c'est malin, j'avoue que je n'y aurais jamais pensé sans indication.
Moi aussi j'ai trouvé le résultat intéressant. Du coup ma question est que sait-on sur cette fameuse constante $C$ ?
$$\Pr(|X-Y|<1)=\lim_{T\to \infty}\frac{1}{\pi}\int_{-T}^T|\varphi_X(t)|^2\frac{\sin t}{t}dt=f_X$$ Si on pose $f_X(a)=f_{X/a}$ la question posee est celle du calcul de $C=\inf _Xf_X(2)/f_X(1)$ et en fait plus generalement de celle de
$$C(a,b)=\inf _X\frac{f_X(a)}{f_X(b)}.$$
Je me suis pose la question du calcul de $f_X(a)$ quand $X$ est uniforme sur $[0,1]$ ce qui m'a conduit a l'integrale 3.763 (4) dans Gradshtein and Ryzhik qui dit que si $a\geq b$ et $c>0$ alors
$$I=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin at\, \sin bt\, \sin ct }{t^3}dt=bc-\frac{(a-b-c)^2}{8}$$ si $|c-a|<b$ et $I=bc$ sinon. Ceci me parait largement faux car alors $c\mapsto I$ serait discontinu en $a+b.$ On peut interpreter $I$ comme la valeur a l'origine de la densite de $aU+bV+cW$ ou $U,V,W$ sont iid uniformes sur $[-1,1].$
Cher alea, ce probleme de ton livre ne sort pas de nulle part?
$$1_{|x|<1}(x)=\lim_{T\to \infty}\frac{1}{\pi}\int_{-T}^{T}e^{itx}\frac{\sin t}{t}dt.$$
Je up ce fil, au cas où quelqu'un a des infos sur cette fameuse constante.
Note au passage qu'il n'y a pas que des charlots qui s'y sont cassé les dents : Margulis, Peres, ...