Écart entre deux variables aléatoires i.i.d.

Est-ce que tu as une preuve rapide que ton ensemble $A$ est non vide ? Ça m'intéresse.

Il me semble qu'il te manque des sommes sur $i$ un peu partout, mais sinon ok merci. Malin le fait de se ramener au cas discret !

Si $\varphi_X$ est la fonction caracteristique de $X$ on voit que
$$\Pr(|X-Y|<1)=\lim_{T\to \infty}\frac{1}{\pi}\int_{-T}^T|\varphi_X(t)|^2\frac{\sin t}{t}dt=f_X$$ Si on pose $f_X(a)=f_{X/a}$ la question posee est celle du calcul de $C=\inf _Xf_X(2)/f_X(1)$ et en fait plus generalement de celle de
$$C(a,b)=\inf _X\frac{f_X(a)}{f_X(b)}.$$


Je me suis pose la question du calcul de $f_X(a)$ quand $X$ est uniforme sur $[0,1]$ ce qui m'a conduit a l'integrale 3.763 (4) dans Gradshtein and Ryzhik qui dit que si $a\geq b$ et $c>0$ alors

$$I=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin at\, \sin bt\, \sin ct }{t^3}dt=bc-\frac{(a-b-c)^2}{8}$$ si $|c-a|<b$ et $I=bc$ sinon. Ceci me parait largement faux car alors $c\mapsto I$ serait discontinu en $a+b.$ On peut interpreter $I$ comme la valeur a l'origine de la densite de $aU+bV+cW$ ou $U,V,W$ sont iid uniformes sur $[-1,1].$




Cher alea, ce probleme de ton livre ne sort pas de nulle part?