Fonction de répartition

$X\sim \frac{1}{7}(\delta_1+3\delta_3+2\delta_4+\delta_5).$ Ce que tu as ecrit est correct.

Yes.

Deux choses: (1) si $\pi(d\theta)$ est la loi de $\Theta$ et si la loi conditionnelle de $X$ sachant $\Theta=\theta$ est le noyau de transition $K(\theta,dx)$ alors la loi jointe de $(\Theta,X)$ est
$$\pi(d \theta)K(\theta,dx).$$ Si tu veux la loi $\mu(dx)$ de $X$ pas conditionnee il te faut integrer en $\theta:$$$\mu(dx)=\int \pi(d \theta)K(\theta,dx).$$

(2) Une loi negative binomiale de parametres $r\in (0,1)$ et $b>0$ est la loi sur les entiers
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(b)_n}{n!}r^b(1-r)^n\delta_n(dx)$$
avec $(b)_n=b(b+1)\ldots(b+n-1)$ symbole de Pochhammer. Apres la theorie, la pratique. $$\pi(d\theta)=e^{-a\theta}\theta^{p-1} a^p\frac{d\theta}{\Gamma(p)},\ \
K(\theta,dx)=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-\theta}\frac{\theta^n}{n!}\delta_n(dx).$$ Donc
$$\mu(dx)=\sum_{n=0}^{\infty}\delta_n(dx)\int_0^{\infty}e^{-\theta}\frac{\theta^n}{n!}e^{-a\theta}\theta^{p-1} a^p\frac{d\theta}{\Gamma(p)}$$

Rappel $\int_0^{\infty}e^{-ct}t^{\alpha-1}dt=c^{-\alpha}\Gamma(\alpha).$ Avec cela tu calcules l'integrale et tu trouves que $\mu(dx)$ est une loi negative binomiale de parametres $r=a/(a+1)$ et $b=p.$

Donne toi la peine de lire l'avant dernier message, il contient la reponse a ta question -et montre que tu te gourres copieusement.