module de continuité

rebellin · August 2017

Je suis tombé aujourd'hui sur un vieux sujet d'examen de Master 2. A l'époque j'avais séché sur une question... Je n'y arrive pas plus aujourd'hui !

Voici le contexte :
Il existe un processus gaussien centré $X$ de fonction de covariance
$$R(t,s)=\text{e}^{-\left|t-s\right|},\qquad t,s\in\mathbb{R}$$ (ça vient du fait que la fonction $R$ est définie positive). De plus $X$ est strictement stationnaire (parce que $R(t,s)$ ne dépend que de $t-s$ et que la stationnarité à l'ordre 2 implique la stationnarité stricte).

Et voici la question :
Estimer le module de continuité de $X~:$
$$\omega_X(\delta)=\sup_{\left|t-s\right|\leq\delta}\left|X(t)-X(s)\right|.$$

Quelqu'un aurait-il une idée ?

Moi, à part dire que $X$ centré et strictement stationnaire entraîne
$$\omega_X(\delta)=\sup_{\left|t\right|\leq\delta}\left|X(t)\right|,$$ je ne vois pas... Je connais bien des résultats sur le supremum d'un processus gaussien, mais ils étaient loin de figurer dans mon cours de Master 2. Et réinventer ces résultats le jour de l'examen, ça semble difficile. Il devrait donc y avoir une solution "simple"...

Chalk · August 2017

Je pose mes questions idiotes, pour faire remonter ton fil.

Tu dis que $X$ est strictement stationnaire, mais c'est pas plutôt les accroissements de $X$ qui sont strictement stationnaires ?

Du coup moi j'aurais plutôt vu : $$\omega_X(\delta)=\sup_{\left|t\right|\leq\delta}\left|X(t) - X(0)\right|\,.$$

Le processus est centré mais je ne vois tout de même pas comment ça éliminerait la variable $X(0)$.

Ensuite, ce n'est pas clair pour moi ce que tu appelles $\sup$ dans ce contexte. J'imagine que c'est un supremum essentiel ? Et $\omega_X(\delta)$ est une variable aléatoire on est d'accord ?
Du coup il faut préciser sa loi ?

rebellin · August 2017

Merci de t'intéresser à la question !

La loi de $\left(X_{t_1},\dots,X_{t_n}\right)$ est la même que celle de $\left(X_{t_1+h},\dots,X_{t_n+h}\right),$ puisque chacune des $X_t$ est centrée et puisque $$\text{cov}\left(X_{t_i},X_{t_j}\right)=\text{cov}\left(X_{t_i+h},X_{t_j+h}\right)=\text{e}^{-\left|t_i-t_j\right|}$$
(les processus gaussiens sont caractérisés par leur espérance et leur covariance). Le processus est donc bien strictement stationnaire.

Pour le $X(0),$ je l'ai effectivement oublié !

Concernant la formulation de la question et son imprécision, il faut dire qu'elle était posée exactement sous cette forme dans l'énoncé de mon examen. Du coup, je me sens libre de l'interpréter comme je veux. Disons donc qu'il s'agit d'une variable aléatoire (le plus naturel pour moi), définie donc presque sûrement (ce qui fait que la question du sup ou du sup essentiel disparaît).

Trouver l'espérance de $\omega_X(\delta),$ avec des arguments simples, me paraîtrait déjà formidable.
Ou peut-être s'agit-il d'une loi simple cachée ?

Chalk · August 2017

Oui tu as raison pour la stationnarité ! J'avais pas exactement cette définition en tête, ta définition consiste donc bien à dire que les lois des accroissements sont indépendantes du temps, on dit la même chose ;-)

Disons que les processus gaussiens j'ai un peu vu ça mais ce n'est pas ce que j'ai le plus étudié jusqu'à présent ... 8-)

Bon sinon si la loi de $\omega_X(\delta)$ n'est pas une loi simple alors la question demande à être préciser. Il y a des résultats ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,692834,693769 C'est exactement la même question que toi. C'est une question très similaire mais dans un cadre un peu plus général que la tienne.

Comme je ne suis pas expert des processus à temps continu, t'es mieux placé que moi pour voir si ça peut aider, mais visiblement pas de solution triviale ou de loi simple pour le module de continuité.

Edit : je dis une bêtise, dans le lien que je donne les accroissements sont non stationnaires, toi tu as la stationnarité et en plus on connaît la fonction de covariance.

rebellin · August 2017

C'est rigolo, fuglsang, c'est moi il y a six ans ! J'avais oublié que j'avais un jour utilisé ce pseudo...

A l'époque j'ai utilisé des résultats puissants (mesures majorantes) pour régler un problème similaire. Bien sûr je pourrais faire la même chose ici, mais mon idée était d'utiliser des techniques plus élémentaires.

Chalk · August 2017

Je connais pas ces techniques puissantes, donc si jamais je trouve une solution elle sera forcément élémentaire :-D

aléa · August 2017

Voir ce document que j'ai écrit il y a longtemps (mais si il y a des erreurs, je suis preneur, comme d'hab)

rebellin · August 2017

Merci Aléa. Je connais bien cette démonstration, je m'en suis déjà souvent inspiré.

Mais elle ne répond pas vraiment à ma question... et les arguments sont trop évolués.

girdav · August 2017

Bonjour rebellin,

Est-ce que tu peux donner les questions qui suivent ? Pour le moment, on ne sait pas quel type d'estimation est attendu : moments, inégalités sur la queue ?

Chalk · August 2017

Et pourquoi pas les questions qui précèdent aussi, peut-être peuvent-elles servir.

rebellin · August 2017

Je recopie l'énoncé sans changer une virgule :

1. Montrer que la fonction $$R(t,s)=\text{e}^{-|t-s|},\qquad t,s\in\mathbb{R}^1$$ est définie positive.
[Indication : Utiliser la famille $\left\{\varphi_s\right\}_{s\in\mathbb{R}^1},$
$\varphi_s(u)=\text{e}^{-s}\mathbb{1}_{\left[0,\text{e}^{2s}\right]}(u),~u\in\mathbb{R}^1,$
des éléments de l'espace de Hilbert $\mathbf{L}^2\left[0,\infty\right].$]

2. D'après 1, il existe un processus $X(t)$ gaussien centré de fonction de covariance $R(t,s).$
Montrer que ce processus est stationnaire.
Est-il strictement stationnaire ?

3. Estimer le module de continuité de$X$
$$\omega_X(\delta)=\sup_{\left|t-s\right|\leq\delta}\left|X(t)-X(s)\right|.$$

C'était l'ex 1, à faire en 1h environ...

Chalk · August 2017

Ah oui, c'est 1 minute pour les 2 premières questions et 59 pour la troisième :-D

rebellin · August 2017

C'est un peu ça... Les autres exercices étaient un peu plus équilibrés, avec des questions faisables et pas complètement triviales. Il a dû me rester 45 min à la fin pour traiter cette fameuse question sur le module de continuité, et 11 ans après je n'ai toujours pas la réponse...

Chalk · August 2017

Le pire c'est que la question n'est pas claire. A part si la loi est triviale (je ne sais pas), qu'entendent-ils par estimer ? Il y a peut-être une expression simplifiée de cette variable.

Ou alors il faut se servir de la question 2 pour dire simplement que le module de continuité est le même que pris en 0 :-D

rebellin · August 2017

Après une petite recherche, je réalise qu'il y a vraisemblablement un lien avec les processus d'Orstein-Uhlenbeck...

Chalk · August 2017

Je te laisse creuser le lien alors B-)-

De mon côté, j'avoue que j'ai pas bien saisi l'indication pour la question 1). Moi j'aurais simplement dit que $\phi(t) = e^{-|t|}$ est la fonction caractéristique d'une loi de Cauchy, d'où le fait que ta fonction de covariance est bien un kernel.

rebellin · August 2017

Pour la 1), il faut calculer : si $t>s,$
$$\langle\varphi_s,\varphi_t\rangle=\text{e}^{-s-t}\int_0^{\text{e}^{2s}}du=\text{e}^{s-t}=\text{e}^{-|s-t|}.$$
Donc $$\sum_{i,j}a_ia_jR\left(t_i,t_j\right)=\sum_{i,j}a_i a_j\langle\varphi_{t_i},\varphi_{t_j}\rangle=\left\|\sum_i a_i\varphi_{t_i}\right\|\geq 0.$$
La fonction $R$ est donc définie positive.

En réalité, c'est réglé dès que l'on voit que $R(t,s)=\langle\varphi_s,\varphi_t\rangle.$ Mais ton argument avec la loi de Cauchy est encore plus rapide !...

Chalk · August 2017

Désolé de dévier de ta question initiale (d'ici à ce qu'on y voit plus clair 8-)), mais est-ce que $Q(s,t)=e^{|s-t|}$ est une fonction définie positive ? J'imagine que non mais là j'ai pas d’argument.

P. · August 2017

$\left[\begin{array}{cc}1&a\\a&1\end{array}\right]$ avec $a=e^{|t_1-t_2|}>1$ n'est pas une matrice semi definie positive mon cher Skyffer.

Chalk · August 2017

Je cherchais directement un exemple en dimension $n$, j'aurais dû faire simple. Promis, dès que le livre de Greg est sorti je me replonge dans l'algèbre :-D

module de continuité

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