Inégalité stricte dans le lemme de Fatou

Bonsoir,

Voilà dans un exercice on me demande d'appliquer le lemme de Fatou sur la suite de fonctions: $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que $f_{2n} = \mathbb{1}_A$ et $f_{2n+1}=\mathbb{1}_A^c$ où $A \in \mathcal{A}$ et $(X,\mathcal{A},\mu)$ espace mesuré où $\mu(A)>0$ et $\mu(A^c)>0$
L'exercice nous demande d'en tirer une conséquence. J'intuite que c'est un exemple d'inégalité stricte dans le lemme de Fatou.
La limite inférieur des intégrales des $f_n$ vaut le minimum entre $\mu(A)$ et $\mu(A^c)$ . Donc strictement positif.
Donc suivant ce que j'ai intuité, je pense qu'il faut montrer que l'intégrale de la limite inférieur des $f_n$ vaut 0. Cependant je ne vois pas pourquoi cela vaudrait 0.
En particulier je ne vois pas pourquoi la limite inférieur des $f_n$ vaudrait 0.

Je vous remercie par avance pour toute indication qui me permettrait de venir à bout de l'exercice,
Cordialement
Marie