Convergence uniforme et interversion
Bonjour,
J'ai un exercice qui me semble en apparence simple mais me pose problème:
Soit: $(X,\mathcal{A},\mu)$ espace mesuré et $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions de $\mathcal{L}_{\mathbb{R}} ^1 (\mu)$ qui converge uniformément vers une fonction $f$.
Il s'agit de montrer que si $\mu(X) < + \infty$ alors on peut intervertir l'intégrale et la limite des $f_n$.
Avec l'hypothèse $\mu(X) < + \infty$ j'ai pensé à utiliser le théorème de convergence dominée, mais il faudrait pour cela majorer la suite des $|f_n |$ par une constante positive. Je sais, comme la convergence de la suite est uniforme que la limite des $\sup_{x \in X} |f_n (x) - f(x)|$ est 0. Mais je n'arrive pas à trouver une majoration des $|f_n |$ par une constante positive avec l'inégalité triangulaire.
En vous remerciant par avance pour toute piste, ou aide pour résoudre l'exercice,
Cordialement
J'ai un exercice qui me semble en apparence simple mais me pose problème:
Soit: $(X,\mathcal{A},\mu)$ espace mesuré et $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions de $\mathcal{L}_{\mathbb{R}} ^1 (\mu)$ qui converge uniformément vers une fonction $f$.
Il s'agit de montrer que si $\mu(X) < + \infty$ alors on peut intervertir l'intégrale et la limite des $f_n$.
Avec l'hypothèse $\mu(X) < + \infty$ j'ai pensé à utiliser le théorème de convergence dominée, mais il faudrait pour cela majorer la suite des $|f_n |$ par une constante positive. Je sais, comme la convergence de la suite est uniforme que la limite des $\sup_{x \in X} |f_n (x) - f(x)|$ est 0. Mais je n'arrive pas à trouver une majoration des $|f_n |$ par une constante positive avec l'inégalité triangulaire.
En vous remerciant par avance pour toute piste, ou aide pour résoudre l'exercice,
Cordialement
Réponses
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Si la suite converge uniformément, elle vérifie un critère de Cauchy uniforme: il existe $N$ tel que pour $n,p\ge N$, $|f_n-f_p|_{\infty}\le 1$, donc pour $n\ge N$, $|f_n|\le |f_N|+1$.
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Le résultat résulte aisément de
$$\left|\int f\,d\mu -\int f_n\,d\mu\right| \leq \int |f-f_n|\,d\mu \leq \mu(X)\,\varepsilon$$
Il n'y a pas lieu d'utiliser ici le théorème de la convergence dominée. -
De mon téléphone : dans le fil http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1513132 ce genre de choses est discuté dans sa généralité.
Dans le cas présent quand on voit la réponse d'Archimède on se dit que la norme L-1 a l'air bornée par la norme L-infini quand mû(X) est fini.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Attention, il faut quand même justifier l'intégrabilité de $f$.
-
Ah oui d'accord, merci beaucoup pour vos réponses.
Effectivement le lien de christophe est une interrogation légitime suite à la réponse d'Archimède.
Cordialement
Pour l'intégrabilité de $f$: Comme $|f_n - f|_{\infty}$ tend vers 0, en particulier on peut fixer $N \in \mathbb{N}$ tel que $|f| \leq \epsilon + |f_N|$. Donc f est intégrable par critère de majoration.
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Bonjour!
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