Somme de deux densités
Bonjour
J'essaie de résoudre un exercice, qui se trouve en pièce jointe. J'ai 2 questions :
1 - Pour la méthode des moments, j'ai commencé par calculer le 2ème moment, soit $\int_0^{\infty} x^2 f(x)$, après intégration par parties et en profitant du caractère impair de la densité, j'ai trouvé :
$ E(X^2) = \int_0^{\infty} x^2 f(x) = \theta -4$
Par la méthode des moments on résout : $ \theta -4 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i ^2$
et j'ai trouvé : $ \hat{\theta_n} = [ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i ^2 +4 ]$
Est-ce que c'est exact ?
2- Pour la consistance je dois prouver la convergence en probabilité.
Est-ce que ce raisonnement est bon : La fonction qui à $x$ associe $x+4$ est continue et bornée. Et on pose $Y_i = X_i^2$ alors on peut appliquer la loi forte des grands nombres ?
Je vous remercie d'avance.
J'essaie de résoudre un exercice, qui se trouve en pièce jointe. J'ai 2 questions :
1 - Pour la méthode des moments, j'ai commencé par calculer le 2ème moment, soit $\int_0^{\infty} x^2 f(x)$, après intégration par parties et en profitant du caractère impair de la densité, j'ai trouvé :
$ E(X^2) = \int_0^{\infty} x^2 f(x) = \theta -4$
Par la méthode des moments on résout : $ \theta -4 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i ^2$
et j'ai trouvé : $ \hat{\theta_n} = [ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i ^2 +4 ]$
Est-ce que c'est exact ?
2- Pour la consistance je dois prouver la convergence en probabilité.
Est-ce que ce raisonnement est bon : La fonction qui à $x$ associe $x+4$ est continue et bornée. Et on pose $Y_i = X_i^2$ alors on peut appliquer la loi forte des grands nombres ?
Je vous remercie d'avance.
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Réponses
Je ne trouve pas la même chose que toi pour $\mathbb{E}[X^2]$ (ce que tu appelles $\theta$ c'est $p$?). D'ailleurs ton résultat semble louche car on préférerait que $\mathbb{E}[X^2]$ soit positif...
> Est ce que ce raisonnement est bon : La fonction qui à x associe x+4 est continue et bornée.
Ca commence pas très bien un raisonnement qui dit que $x+4$ est bornée. Pourquoi as-tu besoin que ce soit borné d'ailleurs?
Merci pour votre réponse,
Je trouve en fait :$ 5p -4 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i ^2 $
Du coup : $\hat{p_n} =1/5 [ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i ^2 +4 ]$
Pour le côté borné, en fait il ne sert à rien et il n'est pas vrai en plus, on a plus besoin de la continuité de $1/5(x+4)$ qui permet de prouver la convergence en probabilité, soit la consistance.
Pourquoi le moment doit être positif ?
Ben quand même pour $\mathbb{E}[X^2]$ c'est mieux d'être positif non? Et du coup ta nouvelle formule ne marche pas non plus.
Ah oui intégrale d'une fonction positive.
Vous ne trouvez pas : $ E(X^2) = \int_0^{\infty} x^2 f(x) = 5p -4$ ? Vous trouvez quoi comme résultat ?
$ \frac{p}{\sqrt{2\pi}} \int_0^{\infty} x^2 \exp\big(\frac{-x^2}{2}\big) dx + \frac{1-p}{\sqrt{8\pi}} \int_0^{\infty} x^2 \exp\big(\frac{-x^2}{8}\big) dx$
Par une intégration par partie, en dérivant $x$ et intégrant $x \exp(-x^2/2)$
EN plus $\int_0^{\infty} \exp\big(\frac{-x^2}{8}\big) dx = \sqrt{8\pi}$ et $\int_0^{\infty} \exp\big(\frac{-x^2}{2}\big) dx = \sqrt{2\pi}$
Ben je trouve ça du coup...
Moi j'ai $4-3p$. C'est cohérent : si $p=0$ dans la formule de la loi de $X$ on a une $\mathcal{N}(0,4)$, si $p=1$ on a une $\mathcal{N}(0,1)$.
Note que $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb R}x^2e^{-x^2/2}dx$ est l'espérance du carré d'une v.a. suivant la loi normale centrée réduite et c'est donc sa variance, grâce à la formule de Koenig, donc elle se trouve sans calcul. Même chose pour ton autre intégrale...
(Bon, c'est vrai que pour calculer ces intégrales, il faut passer par l'IPP mais je te propose d'aller plus vite en utilisant juste le résultat tel quel.)
Une erreur de signe s'est glissée dans mes calculs... J'avais vérifié pour $p=1$ mais je n'ai pas pensé à étudier le signe de mon résultat.
Bien vu ! et merci
le fait d'intégrer sur $[0;+\infty[$ c'est parce que la fonction est paire.
Après pour ta méthode je ne comprends pas bien le raisonnement ... Peux-tu m'expliquer d'avantage ?