mode d'une loi binomiale
Bonjour à tous,
Veuillez d'abord m'excuser pour le caractère élémentaire de ma question. Etant enseignant dans le secondaire depuis plusieurs années, cela fait longtemps que j'ai perdu la quasi-totalité de mes capacités de réflexion mathématique déjà assez réduites lorsque j'étais encore étudiant...
En construisant un exercice d'algorithmique pour mes élèves, j'ai été amené à me poser la question du mode d'une loi binomiale de paramètres n et p. Ne le connaissant pas, tout en me doutant qu'il serait autour de np, je zyeute Wikipédia (paresse intellectuelle oblige) qui m'indique que c'est la partie entière de (n+1)p. Ne comprenant pas d'où cela sortait, j'ai cherché à le démontrer et je n'y suis pas arrivé. L'un d'entre vous pourra-t-il m'éclairer ?
D'avance merci !
Veuillez d'abord m'excuser pour le caractère élémentaire de ma question. Etant enseignant dans le secondaire depuis plusieurs années, cela fait longtemps que j'ai perdu la quasi-totalité de mes capacités de réflexion mathématique déjà assez réduites lorsque j'étais encore étudiant...
En construisant un exercice d'algorithmique pour mes élèves, j'ai été amené à me poser la question du mode d'une loi binomiale de paramètres n et p. Ne le connaissant pas, tout en me doutant qu'il serait autour de np, je zyeute Wikipédia (paresse intellectuelle oblige) qui m'indique que c'est la partie entière de (n+1)p. Ne comprenant pas d'où cela sortait, j'ai cherché à le démontrer et je n'y suis pas arrivé. L'un d'entre vous pourra-t-il m'éclairer ?
D'avance merci !
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Réponses
Hier cela ne me posais aucun problème mais à y réfléchir je crois que quelque chose m'échappe.
Soit $n$ un entier naturel.
Soit $p$ un nombre entre 0 et 1. (Inutile pour ce qui suit mais la loi binomiale doit jouer un rôle...)
On considère $n+1$ nombres entre 0 et 1 dont la somme vaut 1 : $p_0$, $p_1$, ..., $p_n$.
On souhaite chercher l'entier $k$ entre 0 et n tel que $p_k$ soit majorant des autres $p_i$.
On établit :
pour tout $k$, entre 0 et $n-1$.
$p_k<p_{k+1}$ <=> $k$<$(n+1)p$.
Pourquoi cela permet d'affirmer que l'indice cherché est $E[(n+1)p]$ ?
Pardon si c'est trivial 8-)
Cette relation dit que les $p_k$ augmentent tant que k<(n+1)p, puis diminuent ensuite (éventuellement, si p est faible, ne font que diminuer, ou si p est proche de 1, ne font qu'augmenter).
Cordialement.
J'ai cru qu'il fallait savoir qu'une loi binomiale se comportait ainsi (complètement décroissant ou croissant/décroissant ou complètement croissant) pour pouvoir conclure.
Mais en fait, ça le démontre.:-D
La suite $k \mapsto p_k$ est croissante sur $0;PartieEntiere((n+1)p)$ et décroissante ailleurs
[small]Petite coquille à corriger, @P., au dénominateur, un "!" au lieu d'un "1".[/small]