Variables tronquées corrélées

Un petit up.

Par le théorème de convergence monotone, si $X.1_{X\leq n}$ et $Y.1_{Y\leq n}$ sont décorrélées pour tout $n$ assez grand, alors $X$ et $Y$ le sont aussi.

Mais la réciproque n'a aucune raison d'être vraie, donc on devrait pouvoir construire l'exemple recherché.

Merci de t'intéresser au problème.

J'ai pas très bien compris. Si $X$ et $Y+Z$ sont indépendantes alors $X.1_{X\leq n}$ et $(Y+Z).1_{Y+Z\leq n}$ aussi.

J'aurais peut-être dû effacer toute référence aux probas et poster l’énoncé suivant en analyse :-D

Existe-t-il une suite double $p_{i,j} \geq 0$ telle que $\sum_{i,j\geq 0} p_{i,j}=1$, et $\sum_{i,j\geq 0}ij p_{i,j} = \sum_{i\geq 0} ip_i\sum_{j\geq 0} jp_j$, et pour tout $n\geq 1$, $\sum_{i,j \leq n}ij p_{i,j} \neq \sum_{i \leq n} ip_i\sum_{j\leq n} jp_j$.

J'attends de voir si on trouve une solution ici, sinon j'essayerai de berner les analystes 8-)

J'avais rien testé jusqu'à présent parce que je voyais pas comment partir. Là j'ai essayé ton exemple mais je m'en sors pas trop.

Je note $p$ le paramètre de la loi géométrique de $X$, et $q$ le paramètre de la loi de Bernoulli de $Y$.

Alors $\mathbb E(Y)=q$, $\mathbb E(X)=1/p$.

$$\mathbb E(XY) = \sum_n 2n \mathbb P(X=2n) = \sum_n 2n p(1-p)^{2n-1} = \dfrac{2p(1-p)}{(1-(1-p)^2)^2}$$

Je pose donc $q = \dfrac{2p^2(1-p)}{(1-(1-p)^2)^2}$, qui est bien entre $0$ et $1$, et alors on a bien $\mathbb E(XY) = \mathbb E(X)\mathbb E(Y)$.

Maintenant $\mathbb E(X\vert A) = \mathbb E(XY)/\mathbb P(A) =\mathbb E(XY)/p$, donc pour que ce soit égal à $\mathbb E(X)$, il faut et il suffit que $$\dfrac{1}{p} = \dfrac{2(1-p)}{(1-(1-p)^2)^2},$$ qui a bien une solution entre $0$ et $1$. Mais je n'ai pas compris quel intérêt on a de vouloir ça.

$\mathbb E(X.1_{X\leq n}) = p\sum_{k=1}^n k(1-p)^{k-1}$, et $\mathbb E(Y.1_{Y\leq n}) = q$.

$\mathbb E(X.1_{X\leq n}Y.1_{\leq n}) = \mathbb E(XY.1_{X\leq n}) = p\sum_{k=1}^{[n/2]} 2k(1-p)^{2k-1}$.

Je suis pas sûr d'être sur la bonne voie.

Ah mais moi aussi je suis optimiste, cf mon premier post où je dis qu'on peut très probablement restreindre une des deux variables à une Bernoulli. C'est juste que j'arrive pas à construire l'exemple pour le moment :-(

Merci de ton aide P.

Tes variables ne sont pas à valeurs positives, pour $X$ ça se rattrape mais pour $Y$ c'est plus problématique.

Oui P je n'avais pas fait gaffe que $Y$ était aussi à support $\geq -1$. Ton exemple a l'air de marcher avec des calculs faciles.

Merci Siméon, ton exemple répond parfaitement à mes attentes. C'est toujours simple quand on le voit mais avant de l'avoir vu ...

Merci à tous d'avoir répondu à mon problème, j'étais sûr qu'on pouvait exhiber un exemple facilement, mais impossible pour moi de démarrer convenablement.