Unicité d'une mesure

MedMasi · August 2017

Salut
J'ai une question concernant l'unicité d'une mesure sur un espace polonais $(S,d)$ muni de sa tribu borélienne $B(S)$. Si on suppose que cette mesure est régulière alors on garantie l'unicité .
Dans la preuve (Représentation de Riesz // Livre real and complex analysis : W.Rudin // page 40 ), on va supposer l’existence de deux mesure $\mu _1$ et $\mu _2$, et on montre par la suite qu'elles se coïncident.
et j'ai trouver qu'il suffit de montrer que $\mu _ 1 (K) = \mu _2 (K)$ pour tout compact $K$ de $(S,d)$.
je veux savoir pourquoi c'est suffisant? sachant que pour démontrer la COÏNCIDENCE sur la tribu $B(S)$ il faut démontrer que$ \mu _ 1 = \mu _2 $ sur la classe des parties fermés de $S$

marco · August 2017

Bonjour,

Peut-être a-t-on $\mu(A)=\sup \{\mu(K)~|~K \subset A\}$ pour tout fermé $A$ (où $K$ est un compact quelconque inclus dans $A$) ?

MedMasi · August 2017

Non c'est pour tout $A \in B(S) $ de mesure fini $(\mu (A) < \infty)$ -Par régularité-
la régularité implique aussi ; pour tout ensemble $A $ de $ B(S)$ : $\mu (E) = inf\{\mu (V) \, \, \text{tq} \, E\subset V \, \,\text{et} \, V =\text{ouvert} \}$

Georges Abitbol · August 2017

Bonsoir,

MedMasi - modifié par mes soins a écrit:

pour démontrer la coincidence il faut démontrer l'égalité sur les parties fermées

il ne faut pas, il suffit ! Un lemme qui permet de conclure que deux mesures sont égales est le lemme de classe monotone qui affirme que si deux mesures coïncident sur un $\pi$-système, alors elles coïncident sur la tribu engendrée par ce $\pi$-système. L'ensemble des parties fermées est un $\pi$-système qui engendre la tribu borélienne, certes, mais c'est aussi le cas de l'ensemble des parties compactes, si l'espace est $\sigma$-compact, par exemple. Tu n'as pas d'autres hypothèses sur ton espace polonais ? Pour moi, les théorèmes de Riesz concernent le cadre localement compact...

MedMasi · August 2017

Il y a une version de la représentation de Riesz qui traite le cas des espaces normaux séparés,
et on sais que les espaces métriques, en général, sont à la fois : séparés et normaux
(Voir Infinite Dimensional Analysis, Charalambos D. Aliprantis Kim C. Border, page 491) Voir photo. 66654

Georges Abitbol · August 2017

Je n'ai pas lu le livre, mais déjà, ça parle d'une algèbre et pas d'une $\sigma$-algèbre, et de "charge" ("poids", en français, je crois) et non de "mesure".

MedMasi · August 2017

Je crois que c'est général en fait : toute mesure est une charge (la réciproque n'est pas toujours vrai ) et toute tribu $\sigma$-algèbre est une algèbre . d'où le résultat reste valable

Vous pouvez consultez le même livre.

[Ajout de l'image. Merci de la joindre au message, et pas de mettre un lien. Poirot] 66702

mojojojo · August 2017

Tu ne dis même pas dans quel cadre tu te places... Une fois c'est Rudin complex and real analysis et puis une autre fois tu parles de infinite dimentional analysis.

Toute mesure est effectivement une charge, mais du coup je me demande pourquoi la positivité est dans les hypothèses du théorème (sans doute pour pouvoir écrire $\mu(X)=\Lambda(\mathbf 1)$). Par contre la notion de $\sigma$-algèbre (ou tribu en français) est plus générale que la notion d'algèbre. Une algèbre n'est stable que par unions et intersections finies.

Je te ferai aussi remarquer que ton théorème de représentation suppose directement que $\mu$ est une mesure finie. Donc pas de risque d'avoir $\mu(A)=+\infty$ comme tu l'annonces dans ton deuxième message. Par contre je ne sais pas si on a vraiment régularité de la mesure dans ce cas là... Mais de toute façon cela n'a pas d'importance puisque, dans mon Rudin (si on en revient à ton premier message) les hypothèses sont $X$ un espace séparé et localement compact. Pas de mention d'espace polonais.

Un détail : quand tu fais référence à une page d'un livre ou un théorème etc il est bon de préciser quelle est l'édition du livre. Moi j'ai la 3e édition en français et le théorème de Riesz n’apparaît qu'à la page 50.