Probabilité des voisins

Bonjour.

En l'état, cet énoncé n'est pas utilisable :
"On distribue au hasard des points" Où ? (*) comment ? (**) Combien
"voisins selon la distance d " ??

Cordialement.

(*) Dans un plan ? Une zone plane bornée ? Un volume borné ? Un espace à m dimensions ?.
(**) que veut dire au hasard dans cette situation ? de façon équiprobable ? Sur une droite ou dans un plan, ce n'est pas possible.

Ça veut dire quoi un voisin ?

Oui, mais quelle est cette distance donnée justement ? Tu veux la probabilité pour tous les seuils de distance possibles comme voisinage ?

Après ça dépend à quel niveau il se place. Pour la plupart des non-matheux distance veut dire distance euclidienne et aléatoire veut dire distribution uniforme. Pour le reste tu as raison, c'est pas clair ce qu'on attend sur ces voisins, et ça n'a rien à voir avec l'aspect mathématique du problème donc aucune excuse.

"pour un point quelconque on a 19 voisins( sauf ce point) selon la distance d "

donc le nombre de voisins est toujours 19 et P(n=0)=0, P(0<n<4)=0, P(n>4)=1.

C'est quand même évident, non ?

On peut enfin soit estimer $p$ par simulation, soit le calculer explicitement mais à cause des bordures du carré c'est sûrement fastidieux car il faut découper des aires si $X_1$ est proche d'une bordure.

Ah mais je compte m'arrêter là. J'ai interprété au mieux le plus sincèrement possible la question, très peu claire il faut l'avouer. J'ai donné une solution pratique. Et je ne compte pas calculer explicitement $p$ :-D De toute façon le calcul risque de faire apparaître des intégrales non simplifiables, autant ne pas prendre de risque et simuler.

Bonjour,

Je suis un peu étonné de la condescendance avec laquelle vous traitez Mardorr. Évidemment que le problème est mal décrit, formaliser une question est toujours la partie la plus difficile pour un non-matheux.
Je comprends pas tout à fait pourquoi on serait bienveillant avec un étudiant de MPSI qui pose une question de calcul qu'il aurait pu résoudre tout seul en 5', et pas avec quelqu'un d'extérieur aux maths qui cherche de l'aide.

Je n'ai pas tellement mieux compris que Gérard et skyffer mais on peut préciser que si on néglige les effets de bord (ce qui devrait aller si $d$ n'est pas trop grand), alors
$$
\mathbb{P}(n=0)=\mathbb{P}(X_1\text{ est à distance au moins $d$ de tout le monde}) = \left( \frac{LM-\pi d^2}{LM}\right)^{19}.
$$
En réalité c'est un peu plus que ça. Si tu as peur des effets de bord effectivement le mieux c'est de faire des simulations (même avec Excel c'est gérable).

Mais attention, ça c'est si on a fixé $X_1$. Pour la proba qu'aucun couple ne soit à distance $\leq d$ c'est une autre affaire. Là aussi le mieux c'est de faire des simulations.

Je suis tout à fait d'accord pour dire que tu as clairement passé beaucoup de temps à essayer de comprendre la question (d'ailleurs le 1er message de Mardorr a évolué, ça ressemble à quelque chose maintenant). Ma remarque portait plutôt sur la forme.

J'ai retrouvé cela, envoyé je ne sais quand sur le forum sur la distance moyenne entre deux points choisis uniformément dans le carre...
Soit $(X_1,Y_1,X_2,Y_2)$ iid uniformes sur (0,1). Alors $D_i=X_i-Y_i\sim (1-|x|)1_{\{-1,1\}}(x)dx$ et $U_i=D_i^2\sim (1-\sqrt{u})1_{\{0,1\}}(u)\frac{du}{\sqrt{u}}=f(u)du.$ Donc $V=U_1+U_2\sim g(v)dv$ avec
$g(v)=\int f(u)f(v-u)du.$ Trivialement $g(v)=0$ si $v\notin [0,2]$. Notons $m=\max(0,v-1)$ et $M=\min(1,v)$ alors $g(v)$ est $$
\int_m^M\Big(\frac{1}{\sqrt{u}}-1\Big)\Big(\frac{1}{\sqrt{v-u}}-1\Big)du=2\arcsin \sqrt{\frac{M}{v}}-2\arcsin \sqrt{\frac{m}{v}}-2\sqrt{M}+2\sqrt{m}-2\sqrt{v-m}+2\sqrt{v-M}+M-m
$$ Si $ 0\leq v\leq 1$ alors $m=0,\ M=v$ et $$ g(v)=\pi-4\sqrt{v}+v. $$
Si $ 1\leq v\leq 2$ alors $m=v-1,\ M=1$ et $$g(v)=4\arcsin\frac{1}{\sqrt{v}}-\pi+4\sqrt{v-1}-v-2.$$ Reste`\`a calculer $I=\int_0^2\sqrt{v}g(v)dv.$ La partie difficile se calcule par le changement de variable $v=1/\sin^2 t$ avec $\pi/4\leq t\leq \pi/2$, puis une intégration par parties. C'est
\begin{eqnarray*}H&=&\int_1^2\sqrt{v}\arcsin\frac{1}{\sqrt{v}}=2\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{t\cos t\, dt}{\sin ^4t}=\left[-\frac{2}{3}\frac{t}{\sin^3t}\right]_{\pi/4}^{\pi/2}+\frac{2}{3}\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{ dt}{\sin ^3t}\\&=&\left(\sqrt{2}-1\right)\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{ds}{(1-s^2)^2}=\left(\sqrt{2}-1\right)\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{3}\log(1+\sqrt{2}).\end{eqnarray*} Moins difficile est l'intégrale suivante, traitée par le changement de variable $v=\cosh ^2t$ avec $0\leq t \leq a$ avec $a=\log(1+\sqrt{2})$ tel que $2=\cosh^2 a :$ $$
G=\int_1^2\sqrt{v-1}\sqrt{v}dv=-\frac{1}{4}\log(1+\sqrt{2})+\frac{3}{4}\sqrt{2}.
$$ Finalement $$\int_0^2\sqrt{v}g(v)=\frac{2+\sqrt{2}}{15}+\frac{1}{3}\log(1+\sqrt{2})=0,52140\ldots$$