Quatrième moment d'une variable

pedro38000 · August 2017

Bonjour tout le monde,

J'essaie de réviser la mesure et probabilité, et je suis tombé sur un problème.

En fait je bloque dès la première question 1-a. Je ne vois pas comment faire pour calculer l'espérance de $S_n^4$.

Je sais que l'espérance est linéaire, mais c'est la puisse 4 qui me pose problème. Est ce que $ E (\sum_{i=1}^\infty X_i)^4 = \sum_{i=1}^\infty E( X_i^4) $ ?

J'ai besoin d'une piste, ou une idée.

Je vous remercie d'avance.

Poirot · August 2017

Ça n'a aucune chance d'être vrai. De toute façon, tu ne calculs pas la bonne espérance, on demande celle de $S_n^4$. $S_n$ est une somme finie, tu n'as qu'à développer cette somme à la puissance $4$ puis passer à l'espérance.

pedro38000 · August 2017

Bonjour,

Merci pour la réponse,

Vous êtes surs que c'est le seul moyen ? Le calcul n'est pas évident...

Ca donne ça : $ X_1^4 + 4 X_1^3 \sum_{i=2}^n X_i + 6X_1^2 (\sum_{i=2}^n X_i)^2 + 4X_1 ( \sum_{i=2}^n X_i )^3 + ( \sum_{i=2}^n X_i )^4$.

Comment faire pour trouver l'espérance de ce terme ?

Poirot · August 2017

Il faut développer complètement la puissance de la somme. On a $$S_n^4 = \sum_{1 \leq i,j,k,l \leq n} X_i X_j X_k X_l.$$ Il reste à rassembler les puissances correctement. L'indépendance et l'hypothèse de moyenne nulle va simplifier l'expression de l'espérance.

pedro38000 · August 2017

AH merci pour ce développement , c'est assez technique quand même.

- Pour la question 1-b j'ai trouvé la majoration : $ \frac{4}{\varepsilon^2} \sum_{i=1}^\infty \frac{E(X_n^2)}{n^2}$

Pour cela il faut appliquer l'inégalité de kolmogorov, cas général de l'inégalité de Tchébychef, sachant que : $|S_n|>\varepsilon^{2^k}$ pour $n>2^{k+1}$.

- Pour la question 1-c c'est la lemme de Borel-Cantelli. Une application directe en utilisant la majoration par une série convergente d ela question d'avant.

C'est bien ça ?

- Par contre je bloque pour la question 1-d, j'ai du mal à manipuler les inclusions... Une aide svp ?

Poirot · August 2017

Je ne sais pas ce qu'est ton inégalité de Kolmogorov mais ça me semble bien trop puissant par rapport à ce qui est attendu pour démontrer la loi des grands nombres $L^4$.

Pour la 1-d, il suffit de dire que si $$\limsup_n |S_n(\omega)/n| > \varepsilon,$$ alors pour une infinité de valeurs de $n$, on a $$|S_n(\omega)/n| > \varepsilon,$$ donc $\omega \in \limsup_n \{|S_n/n| > \varepsilon\}.$

pedro38000 · August 2017

C'est une inégalité que j'ai dans mon cours.

Elle dit que si une suite de v.a.r indépendantes, toutes de carré intégrable, et d'espérance nulle, alors en posant
$S_n=X_1 +...+X_n$ et pour tout $\alpha>0$ on a :
$P(\underset{1\leq k\leq n}{\max}|S_k|\geq \alpha) \leq \frac{1}{\alpha^2} E(S_n^2)$

pedro38000 · August 2017

Merci pour votre aide. J'ai du mal avec le raisonnement ensembliste en probabilité... PAr exemple, la question 1-c et 1-e c'est la même question ? Ou bien il y a une différence, ou bien il faut utiliser un autre raisonnement ?

Poirot · August 2017

Bah non, 1-e c'est une conséquence de 1-c et de l'inclusion de 1-d.

pedro38000 · August 2017

J'ai un gros souci de compréhension, c'est quoi la différence entre : $\omega \in \limsup_n \{|S_n/n| > \varepsilon\}.$ et $ \limsup_n |S_n(\omega)/n| > \varepsilon,$ ? J'ai trouvé les définition suivantes mais c'est un peu ambigu dans ma tête.

$\limsup_n A_n =\bigcap_{n\ge 0}(\bigcup_{k\ge n} A_k).$

Limite supérieure d'une suite de parties $\scriptstyle \Omega$ est l'ensemble $\scriptstyle \limsup_n\, A_n$ des éléments $\scriptstyle \omega$ de $\scriptstyle \Omega$ tels que l'assertion $\scriptstyle \{\omega\in A_k\}$ soit vérifiée pour une infinité d'indices $\scriptstyle k\ge 0$

pedro38000 · August 2017

Et du coup par définition de la convergence presque sure $\forall \epsilon > 0,\qquad \mathbb{P}\left(\liminf_n \{ | X_n - X | < \epsilon \}\right) = 1$ ou $\forall \epsilon > 0,\qquad \mathbb{P}\left(\limsup_n \{ | X_n - X | > \epsilon \}\right) = 0$ on déduit la convergence de la moyenne empirique presque surement vers 0

Poirot · August 2017

$\limsup_n u_n$ est la plus grande valeur d'adhérence de la suite de réels $(u_n)_n$. En particulier si celle-ci est $> a$ alors pour une infinité de valeurs de $n$, on a $u_n > a$. Pour la limite supérieur d'ensembles, tu as la bonne définition, et la caractérisation avec l'appartenance à une infinité de tes événements te donne bien ce qu'il faut.

Je n'ai rien compris à ton dernier message, c'est quoi $X$ ?

pedro38000 · August 2017

C'est une caractérisation du cas général de $X_n$ converge presque sûrement vers $X$, dans notre car $X=0$ et $X_n = S_n/n$

Poirot · August 2017

C'est ça ta définition de convergence presque sûre ? Ça m'étonnerait fortement, ne serait-ce que parce que ce que tu écris est faux, et même en corrigeant, c'est loin d'être la définition la plus claire.

pedro38000 · August 2017

Ben la définition dans le cas général de $X_n$ converge presque sûrement vers $X$ c'est $ \mathbb{P}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}X_n=X\right)=1$ Ce que j'avais écrit c'est une caractérisation

Poirot · August 2017

Mouais, pas besoin de s'embêter avec cette caractérisation. Si pour tout $\varepsilon > 0$, $\limsup_n |S_n/n| \leq \varepsilon$ presque-sûrement, alors $S_n/n \to 0$ presque-sûrement puisque $|S_n/n| \geq 0$.

pedro38000 · August 2017

Ah oui d'accord

Je vous remercie.

Vous maîtrisez bien la mesure et probabilité, vous êtes prof ?

Maintenant on suppose que$ M= \underset{n}{\sup} E(X_n^4) < \infty$

les variables ne sont plus de même loi (pratiquement, le fait qu'elles soient pas de même loi, qu'est ce que ça change ?).

$E(X_n^2) \leq\sqrt{M}$

On sait que les variables sont toujours centrées

pedro38000 · August 2017

J'ai trouvé : L'inégalité de Jensen, avec comme fonction convexe sur les réels $ f(x) = x^2$.

Donc 2-a est fait.

Quatrième moment d'une variable

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