Espérance conditionnelle de deux variables

pedro38000 · August 2017

Bonjour à tout le monde.
J'ai essayé de faire l'exo en pièce jointe. j'ai avancé un peu mais je rencontre qq quelques soucis. J'ai besoin d'un peu d'aide SVP.

$ E(X_1\mid X_1 + X_2) = \frac{X_1 + X_2}{2}$

parce que par linéarité de l'espérance conditionnelle :
$ E(X_1\mid X_1 + X_2) + E(X_2\mid X_1 + X_2) = E(X_1+X_2\mid X_1 + X_2)$ presque sûrement. On déduit que :
$ E(X_1\mid X_1 + X_2) + E(X_2\mid X_1 + X_2) = X_1+X_2$.
Puis on utilise une fonction $f$ borélienne bornée, tel que : $E(X_1\mid X_1 + X_2) = f(X_1 + X_2)$
et une autre $E\big(X_1g(X_1 + X_2)\big) = E\big(f(X_1 + X_2)g(X_1 + X_2)\big)$

Et ainsi par Fubini je trouve : $ E(X_1\mid X_1 + X_2)=E(X_2\mid X_1 + X_2) = \frac{X_1 + X_2}{2}$

Maintenant comment l'appliquer pour la loi de Bernoulli et Poisson ?

paf · August 2017

Sais-tu calculer la loi d'une somme de 2 v.a. discrètes et indépendantes ?
$\displaystyle\mathbb P(X_1+X_2=n)=\sum_{k\in\mathbb N} \mathbb P(X_1=k,X_2=n-k)...$

pedro38000 · August 2017

Bonjour,

$\displaystyle\mathbb P(X_1+X_2=n)=\sum_{k\in\mathbb N} \mathbb P(X_1=k,X_2=n-k)$ devient

$\displaystyle \mathbb P(X_1=k)=\frac{\sum_{n\in\mathbb N} \mathbb P(X_1=k) * \mathbb P(X_2=n-k)}{\sum_{k\in\mathbb N} \mathbb P(X_1=k,X_2=n-k)}$

SI $f$ et $g$ sont les lois de probabilité de $X_1$ et $X_2$ alors :

$\sum_{n=1} ^ \infty f(n) g(n-k)$.

et on retrouve une loi binomiale de paramètre $(n,\frac{ \lambda_1}{\lambda_1 +\lambda_2})$ dont l'espérance est $\frac{ n\lambda_1}{\lambda_1 +\lambda_2}$

C'est bien ça ?

pedro38000 · August 2017

Mais on fait comment pour passer à l'espérance conditionnelle ?

pedro38000 · August 2017

AH oui, mon raisonnement est faux, car les deux lois ici sont discrètes, mes résultats auraient été bons si c'était dans le cas d'une variable continue, c'est bien ça ?

Siméon · August 2017

Ton argument « par Fubini » n'est pas justifié et la conclusion en est erronée (que les variables soient discrètes ou continues).

Il y a cependant une solution astucieuse qui utilise une idée proche de ce que tu fais : remarquer que $X_1$ a la même loi qu'une somme de $n_1$ variables de Bernoulli de paramètre $p$ indépendantes (et de même pour $X_2$). Ceci permet d'éviter les calculs avec les coefficients binomiaux.

Espérance conditionnelle de deux variables

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