Existence d'un chemin fermé en percolation.

Merci pour vos remarques, et excusez moi pour ces imprécisions. Je vais tacher d'être plus explicite, mais comme je l'ai dis j'ai vraiment du mal à formaliser.

Un chemin pour moi est un uplet de site deux à deux distincts (ou de case pour la grille $\mathbb{Z}^2$) de même nature (actif ou bien inactif), permettant de joindre un point A et un point B.
Un point tout seul est un chemin finalement, selon cette définition, mais ma question porte sur les chemin non réduits à un point. Ce qui devrait faire l'affaire pour ma question, car les points sont deux à deux distincts (il faut pour visualiser imaginer une boucle ou un laçot de case non active sur le réseau carré en dimension 2, celui de plus petite taille étant un carré dont les cases formant les côtés sont collées les unes aux autres).

Merci d'avoir formulé comme il fallait le problème.

Oui c'est cela que je demandais (inversé, je cherchais une boucle de sites fermés, mais c'est équivalent finalement, donc partons sur cette formulation).

Je vais essayer de le montrer dans le cas $S={0}$ :

Soit $p>0$. Notons $S=\left \{0 \right \}$.
Alors, pour tout $x\in \mathbb{Z}^2, \forall y \in S, x+y=x$.
Donc finalement, $P(\text{ x+y est ouvert})=p>0$ dans notre cas. Là mes connaissances en probabilité me limitent pour la suite, je ne sais pas comment raisonner pour montrer l'existence avec une probabilité égale à $1$ qu'il existe un tel $x$.
Peut être que, à $y$ fixé, $P(\exists x, \text{x+y est ouvert}) = \sum_{x\in\mathbb{Z}^2} P(\text{x+y est ouvert})$ ?

J'ai cependant aussi pensé à raisonner par l'absure, car dans le cas $S=\left \{0 \right \}$, si il n'existait aucun $x$ tel que $x+y=x$ est ouvert, alors on aurait une contradiction avec $p>0$.

Comment puis-je poser correctement cette suite de v.a.i.i.d de Bernoulli ? Celle associée à l'état de chaque case peut-être ? Il serait plus évident pour moi de montrer ce résultat grâce à la loi 0-1 de Kolmogorov, car je fois l'utiliser dans mon projet.

Ce résultat me permet de montrer un résultat plus grand : pour la bootstrap percolation, si le nombre $k$ de voisins nécessaires pour qu'une case inactive à la date $t$ s'active à $t+1$ est supérieur strictement à 2 (ou à $d$ dans le cas quelconque), alors $p_c=1$.

Merci beaucoup.

J'ai donc construit comme vous l'avez dit une suite de variables aléatoires, la même que la vôtre en construisant cependant le point $v$ comme le "rayon" du motif +1 pour chaque coordonnée.

Cependant j'ai du mal à comprendre la loi 0-1 de Kolmogorov. (je n'ai que les bases de maths sup, c'est pour cela que j'ai du mal et je m'excuse de ne réussir, finalement, qu'à poser des questions). Quelle version simplifiée pourrait suffire pour que je puisse montrer cela ? Car si je suis la définition de Wikipédia, cela parle de fonction de Baire, notion que je ne connais pas. Mais j'intuite cependant, au vu ce que l'on cherche, que la fonction recherchée est $f:(X_n) \mapsto \cup_{n\geqslant 1} X_n$.

De plus, comme chaque site est ouvert indépendamment avec une probabilité $p$, alors finalement $P(X_n =1) = p^{\text{Card } S}$. Est-ce correct ? Cela me permettra si j'ai bien compris de montrer à l'aide d'inégalités (FKG probablement ?) que la probabilité de l'événement en strictement positive, donc égale à 1 selon la loi 0-1.

D'accord, on pouvait faire comme cela du coup, je comprend beaucoup mieux lorsque cela fait appel aux notions de proba de sup.

Cela dit, si ma compréhension est bonne, il me semble qu'il y ait une problème d'indice dans votre démonstration. Ce serait plutôt $1-a \le P(X_1 = ... = X_N = 0) = q^N$ (le grand N au niveau des v.a). (Je ne cherche pas à vous corriger, loin de là, mais à m'assurer de ma bonne compréhension).

En tout cas déjà, merci beaucoup pour tout le temps que vous avez accordé pour m'aider et m'expliquer, cela m'a été d'une grande aide.