Doute à propos de l'espérance
Je considère deux variables aléatoires $X$ et $Y$ à valeurs dans un ensemble dénombrable $E$. Je sais que $X$ et $Y$ ont la même loi, c'est-à-dire que : pour tout $z \in E, \; \mathbb{P}(X=z) = \mathbb{P}(Y=z)$. Le doute que j'ai est : peut-on dire que $\mathbb{E}(XY) = \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{E}(Y^2)$ ? Si je reviens à la définition de l'espérance, j'ai :
$$ \mathbb{E}(XY) = \sum_{(x,y) \in E^2} xy \mathbb{P}(X=x, Y=y). $$
Sachant que $X$ et $Y$ ont la même loi, je ne vois pas comment je pourrais simplifier la loi jointe.
Merci pour votre aide.
$$ \mathbb{E}(XY) = \sum_{(x,y) \in E^2} xy \mathbb{P}(X=x, Y=y). $$
Sachant que $X$ et $Y$ ont la même loi, je ne vois pas comment je pourrais simplifier la loi jointe.
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