Probabilité que Z² soit recouvert percolation

Bonjour,

J'étudie un modèle d'automate cellulaire, le modèle de la bootstrap percolation, dont la définition est la suivante :

Présentation du modèle :
- Au temps t=0, indépendamment, chaque site de $\mathbb{Z}^d$ est dit actif avec une probabilité p.
- Si un site est actif au temps t, il le restera au temps $t+1$. Si un site est inactif au temps $t$, il devient actif au temps $t+1$ si et seulement si au moins $k$ de ses voisins sont actifs.

On appelle voisin de $x$ tout élément de $V(x)=\{y\in\mathbb{Z}^d, ||x-y||=1\}$, avec $||.||$ la norme euclidienne.

Je m'intéresse ici tout d'abord au cas $d=k=2$.

Ma question :
Si l'on note $S_t$ l'ensemble des sites de $\mathbb{Z}^2$ actifs à un instant $t$, alors comment montrer que $S_{\infty} = \mathbb{Z}^2$ presque sûrement ?

Les papiers sur le sujet que j'ai trouvé ont tous posés ce même formalisme :
- On note $P_p$ la mesure de probabilité produit de paramètre p associé à la tribu produit de $\{0;1\}^{\mathbb{Z}^2}$.
- Si l'on fixe une boite de taille $L$, alors on note $I(p,L)$ la probabilité que la configuration finale soit égale à la boite (qu'elle soit entièrement "recouverte"par des sites actifs). Je n'ai pas trouvé de définition plus précise malheureusement.

Je pense que l'on peut utiliser deux méthodes : utiliser $I(p,L)$ et montrer que sa limite lorsque $L\rightarrow \infty$ est nulle. Ou alors ne pas l'utiliser.

J'aimerai à terme montrer la même propriété pour $d$ quelconque et $k\leqslant d$.

Ce sur quoi je bloque :

- Formaliser le problème clairement. Les publications que j'ai lues se dispensent du formalisme et montrent d'autre résultats.
- Savoir si les deux méthodes sont possibles et choisir entre les deux.

Je vous remercie par avance.